Софизмы и их роль в математике"
проект по математике (9 класс) на тему

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

" Средняя общеобразовательная школа №42"

"Софизмы и их роль в математике"

(научно-исследовательская работа)

                                   Выполнил: ученик 9«Б» класса

                                                    Кропотов Андрей

Руководитель: Минаева Л. А.

                                   учитель математики

Пермь 2015

Содержание

1. Введение

2. Основная часть

1. Немного из истории  софизма
2. Софизм – что это такое?
3. Математический софизм

      3.1.Арифметические

     3.2.Алгебраические

     3.3.Логические

     3.4.Софизмы в геометрии

4. Классификация ошибок
5. Математические софизмы с точки зрения их важности для изучения математики.

3. Практическая часть

Сборник задач

5.Исследовательская работа

Приложение

4. Заключение

5. Список используемой литературы

Введение

       Мы очень любим решать задачи и разгадывать математические ребусы, но в математике есть задачи, которые не похожи на другие, они как будто бы правильные, но в то же время неправильные.

      У ученых есть такое свойство: поставят в тупик все человечество, а потом целое поколение или даже несколько поколений с трудом из него выбираются, проявляя чудеса изобретательности и изворотливости.  И одним из средств не только учёных, но и любознательных остроумных людей, любящих ставить окружающих в тупик, является «софизм». Я посчитал эту тему  интересной и актуальной, так как софизмы развивают мышление и логику. Софизмы не самый важный раздел логики. В некоторых учебниках о них упоминается  вскользь.  Однако  я решил все-таки поближе познакомиться с софизмами.

      Софизмы  имеют прямое отношение к математике, с помощью которых можно опровергнуть практически все теоремы и понятные любому, не требующие объяснения, гипотезы, доказав обратное.

      Во-первых, считается, что именно  софисты заставили задуматься о логическом строении геометрии и арифметики.

     Во-вторых, разбор софизмов сам по себе развивает навыки правильного мышления.

     В-третьих,  это просто увлекательно.

       Целью моей работы является всесторонний анализ понятия «софизма», установление связи между софистикой и математикой, доказательство того, что софизмы  являются не просто интеллектуальным мошенничеством, а важным двигателем человеческой мысли.

     Я поставил перед собой задачи:

1. Узнать:

• что же такое софизм?
• важность математических софизмов  для изучения математики.
• как найти ошибку во внешне безошибочных рассуждениях?
• критерии  классификации софизмов.

     2.  Составить сборник задач на софизмы по различным разделам математики для 6-9 классов.

Основная часть

1. Немного из истории софизма

         История появления термина «софизм» была замечена еще в древности. Один из отцов  философии - Аристотель называл это явление мнимыми доказательствами, которые появляются из-за недостатка логического анализа, что приводит к субъективности всего суждения. Убедительность  доводов является всего лишь маскировкой для логической ошибки, которая в каждом софистском утверждении, бесспорно, есть.

        Софизмы существуют и обсуждаются более двух тысячелетий, причем острота их обсуждения не снижается с годами. Если софизмы —  всего лишь хитрости и словесные уловки, выведенные на чистую воду еще Аристотелем, то долгая их история и устойчивый интерес к ним непонятны.

          Возникновение софизмов обычно связывается с философией софистов (Древняя Греция, V—IV вв. до новой эры), которая их обосновывала и оправдывала. В Древней Греции «софисты» (от греческого слова «sofos», означающего мудрость) –  мыслители, люди, авторитетные в различных вопросах. Их задачей обычно было научить убедительно защитить любую точку зрения. Однако софизмы существовали задолго до  философов-софистов, а наиболее известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под влиянием Сократа философских школах.

        Термин “софизм” впервые ввел Аристотель, охарактеризовавший софистику как мнимую, а не действительную мудрость. К софизмам им были отнесены и апории Зенона, направленные против движения и множественности вещей, и  рассуждения собственно софистов, и все те софизмы, которые открывались в других философских школах. Это говорит о том, что софизмы не были изобретением одних софистов, а являлись скорее чем-то обычным для многих школ античной философии.

2.Софизм – что это такое?

         Чтобы ответить на этот вопрос, нужно рассмотреть пример древнего нарушения логики: «Имеешь то, что не терял. Терял рога?  Значит, у тебя есть рога». Здесь есть упущение.  Если первую фразу видоизменить: «Имеешь все, что не терял», тогда вывод становится верным, но довольно неинтересным. Одним из правил первых софистов было утверждение о том,  что необходимо наихудший аргумент представить как лучший, а целью спора являлась только победа в нем, а не поиск истины.

       Софисты утверждали, что любое мнение может быть законным, тем самым отрицая закон противоречия, позднее сформулированный Аристотелем. Это породило многочисленные виды софизмов в разных науках.

       Софизм в переводе с греческого означает дословно: уловка, выдумка или           мастерство.    Этим термином называют утверждение,  являющееся ложным, но не лишенным элемента логики, за счет чего при поверхностном взгляде на него кажется верным.

     Софизм - преднамеренная ошибка, совершаемая с целью запутать противника и выдать ложное суждение за истинное.

    Софизм - формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений (словарь Ожегова)

     Софизм - это то же надувательство, только выполненное намного изящнее и незаметнее, за что мы его и любим.

     Софизмы строят, опираясь на внешнее сходство явлений, прибегая к намеренно неправильному подбору исходных положений, к подмене терминов, разного рода словесным ухищрениям и уловкам. Их (ошибки) допускают сознательно, с целью увлечь собеседника по ложному пути. При этом широко, и надо сказать, умело используется гибкость понятий, их насыщенность многими смыслами, оттенками.

      Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в софизмах выполняют "запрещенные" действия или не  учитываются условия применимости теорем, формул и правил.

3.Математический софизм

         Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются  незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

         Особенно часто в софизмах выполняют «запрещенные» действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил.

         Обычно,  математические софизмы доказывают равенство неравных чисел или арифметических выражений. Один из самых простых образцов – это сравнение пятерки и единицы. Если от 5 отнять 3, то получится 2.  При вычитании 3 из 1 получается  -2. При возведении обоих полученных чисел в квадрат. получаем одинаковый результат. Таким образом, первоисточники этих операций равны, 5=1.

         Рождаются математические задачи-софизмы чаще всего,  благодаря преобразованию исходных чисел (например – возведению в квадрат). В итоге, получается, что результаты этих преобразований равны, из чего делается вывод о равенстве исходных данных.

         Распределим некоторые  софизмы, помогающие  нам развить логическое мышление,  и проверим, насколько глубоко мы понимаем некоторые моменты курса математики.

3.1.Арифметические

      Арифметика (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы?

Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, незаметную  с первого  взгляда.

Пример.    « Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В».

Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что А>В.                                                            

Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство А∙В>В·В, а вычитая из обеих его частей А·А, получим неравенство А∙В-А·А>В∙В-А·А, которое равносильно следующему:

                        А(В-А)>(В+А)(В-А).      (1)

После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что

                        А>В+А (2),

А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда

                                А>2В.

Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10.

(Ошибка: здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к неравенству (2)).         Действительно, согласно условию А>В, поэтому В-А<0.Это означает, что обе части неравенства (1) делятся на отрицательное число. Но согласно правилу преобразования неравенств при делении или умножении неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный. С учетом сказанного из неравенства (1) вместо неравенства (2) получим неравенство А<В+А, прибавив к которому почленно исходное неравенство В<А, получим просто исходное неравенство А+В<В+2А).

2.2. Алгебраические

        Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Пример1. 5 = 6. 

        Возьмём числовое тождество:

35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки.

Получим:

5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9)

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки).

Получаем  5 = 6

(Ошибка: общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя).

Пример 2. Один рубль не равен ста копейкам  

Возьмем верное равенство:

1 р. = 100 к.,

Возведем его по частям в квадрат, получим:

1 р. = 10000 к.  

Таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

     (Ошибка: возведение в квадрат величин не имеет смысла, в квадрат возводятся только числа).

Пример3.  «Отрицательное число больше положительного».

        Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения:

                      а    и  – а

                     –с         с

        Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить пропорцию:

                   а    =   –а

                  – с         с

        Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>– с, следовательно, должно быть –а>с, т.е. отрицательное число больше положительного.

(Ошибка: данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны).

Пример4.  «Всякое положительное число является отрицательным» 

        Пусть п — положительное число.

Очевидно, 2п-1<2п. (1)

Возьмем другое произвольное положительное число а и  умножим обе части неравенства на (  – а):   – 2ап + а< – 2ап. (2)

Вычитая из обеих частей этого неравенства величину ( –  2ап),

получим неравенство а<0, доказывающее, что всякое положительное число  является отрицательным.

       (Ошибка: в софизме нарушено следующее правило: при умножении обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на  противоположный.)

3.3. Логические

       Софизмы,  примеры которых будут рассмотрены ниже, сформулированы довольно давно и являются простыми нарушениями логики, использующимися лишь для тренировки умения спорить, так как увидеть несоответствия в этих фразах достаточно легко.

       Понять  абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят, как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.

В софизмах  есть  смутное предвосхищение многих конкретных законов логики, открытых гораздо позднее. Особенно  часто обыгрывается в них тема недопустимости противоречий в мышлении.

— Скажи, — обращается  софист к молодому любителю споров, — может одна и та же вещь иметь какое-то свойство и не иметь его?
— Очевидно, нет.
— Посмотрим. Мед сладкий?
— Да.
— И желтый тоже?
— Да, мед сладкий и желтый. Но что из этого?
— Значит, мед сладкий и желтый одновременно. Но желтый — это сладкий или нет?
— Конечно, нет. Желтый — это желтый, а не сладкий.
— Значит, желтый — это не сладкий?
— Конечно.
— О меде ты сказал, что он сладкий и желтый, а потом согласился, что желтый значит не сладкий, и потому как бы сказал, что мед является сладким и не сладким одновременно. А ведь вначале ты твердо говорил, что ни одна вещь не может и обладать и не обладать каким-то свойством.

       Конечно, софисту не удалось доказать, что мед имеет противоречащие друг другу свойства, являясь сладким и несладким вместе. Подобные утверждения невозможно доказать: они несовместимы с логическим законом противоречия, говорящим, что высказывание и его отрицание (“мед сладкий” и “мед не является сладким”) не могут быть истинными одновременно.

      И вряд ли софист всерьез стремится опровергнуть данный закон. Он только делает вид, что нападает на него, ведь он упрекает собеседника, что тот путается и противоречит себе. Такая попытка оспорить закон противоречия выглядит скорее защитой его. Ясной формулировки закона здесь, разумеется, нет, речь идет только о приложении его к частному случаю.

Примеры  нарушений  логики

Полное и пустое  – если две половины равны, то и две целые части тоже являются одинаковыми. В соответствии с этим –  если  полупустое и   полуполное  одинаково, значит, пустое равно полному.

Апельсин- планета

Земля, Марс и т. д. -  круглые. Значит  все  планеты  круглые. Апельсин  тоже  круглый, значит апельсин - планета?

Нет конца

Движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвертой части и т.д. до бесконечности.
Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда ее не достигнет.

Куча

Одна песчинка ,не есть куча песка. Если  n песчинок не есть куча песка, то и n+1 песчинка - тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучу песка.

Может ли всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?

Если не может -  значит, он не всемогущий. Если может - значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это камень.

Софизм «лгун»
         Вполне возможно, что лгун сознается в том, что он лгун. В таком случае он скажет правду. Но тот, который говорит правду, не есть лгун. Следовательно, возможно, что лгун не есть лгун. (Какая ошибка?)
«Софизм Кратила»

Диалектик Гераклит, провозгласив "все течет", пояснял, в одну и ту же реку нельзя войти дважды, когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. Кратил сделал и другие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, так как пока ты входишь, она уже изменится.

Софизм учебы

Данным софизмом является песенка, сочиненная английскими студентами:

The more you study, the more you know

The more you know, the more you forget

The more you forget, the less you know

The less you know, the less you forget

The less you forget, the more you know

So why study?

Перевод

Чем больше учишься, тем больше знаешь.

Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.

Так для чего учиться?

Не философия, а мечта лентяев!

3.4. Софизмы в геометрии

         Умозаключения, имеющие название геометрические софизмы, обосновывают какой-либо неверный вывод, связанный с действиями над геометрическими фигурами или их анализом.

Пример:  спичка длиннее, чем телеграфный столб, причем вдвое.  

       Длину спички будет обозначать а, длину столба – б. Разность между этими величинами – c. получается, что b - a = c, b = a + c. Если данные выражения перемножить, получится следующее: b2 - ab = ca + c2.  При этом из обеих частей выведенного равенства возможно вычесть составляющую  bc. Получится следующее: b2 - ab - bc = ca + c2 - bc, или b (b - a - c) = - c (b - a - c).  Откуда b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b. То есть спичка и правда  вдвое длиннее столба. Ошибка в данных вычислениях заключается в выражении (b – a - c),  которое равно нулю. Такие задачи-софизмы обычно путают школьников или людей, далеких от математики

4. Классификация ошибок

1. Логические

Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической форме, то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма. Наиболее типичными источниками логических софизмов являются следующие нарушения правил силлогизма:

• Вывод с отрицательной меньшей посылкой в первой фигуре: «Все люди суть разумные существа, жители планет не суть люди, следовательно, они не суть разумные существа»;
• Вывод с утвердительными посылками во второй фигуре: «Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания её; вы — против наказания её, значит, вы находите её невинной»;
• Вывод с общим заключением в третьей фигуре: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено»;
• Особенно распространённая ошибка quaternio terminorum, то есть употребление среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении: «Все металлы — простые тела, бронза — металл: бронза — простое тело» (здесь в меньшей посылке слово «металл» употреблено не в точном химическом значении слова, обозначая сплав металлов): отсюда в силлогизме получаются четыре термина.

2. Терминологические

• Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются:в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы. Наиболее характерные:
• Ошибка гомонимия (aequivocatio). например: реакция, в смысле химическом, биологическом и историческом; доктор это как врач и как учёная степень.
• Ошибка сложения — когда разделительному термину придаётся значение собирательного. Все углы треугольника >2 π в том смысле, что сумма <2 π.
• Ошибка разделения, обратная, когда собирательному термину даётся значение разделительного: "все углы треугольника = 2 π" в смысле "каждый угол = сумме 2 прямых углов".
• Ошибка ударения, когда подчёркивание повышением голоса в речи и курсивом в письме определённого слова или нескольких слов во фразе искажает её первоначальный смысл.
• Ошибка выражения, заключающаяся в неправильном или неясном для уразумения смысла построении фразы, например: сколько будет: дважды два плюс пять? Здесь трудно решить имеется ли в виду 9 (= (2*2)+5)) или 14 (= 2 * (2+5)).

3.Психологические

        К психологическим причинам софизмов относят интеллект человека, его эмоциональность и степень внушаемости . То есть более умному человеку достаточно завести своего оппонента в тупик, чтобы тот  согласился с предложенной ему точкой зрения. Подверженный аффективным реакциям человек  может поддаться своим чувствам и пропустить софизмы.  Примеры таких ситуаций встречаются везде, где есть эмоциональные люди. Чем более убедительной будет речь человека, тем больше шанс, что окружающие не заметят ошибок в его словах.  На это и рассчитывают многие из тех, кто пользуется такими приемами в споре.

      Психологические причины софизма бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Правдоподобность софизма зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.

а) Интеллектуальные причины

        Развитая интеллектуальная личность имеет возможность следить не только за своей речью, но еще и за каждым аргументом собеседника, обращая при этом свое внимание на аргументы, приводимые собеседником.  Такого человека отличает больший объем внимания, умение искать ответ на неизвестные вопросы вместо следования заученным шаблонам, а также большой активный словарный запас, при помощи которого мысли выражаются наиболее точно.  

       Объем знаний тоже имеет немаловажное значение.  Умелое применение такого вида нарушений, как софизмы в математике, недоступно малограмотному и не развивающемуся человеку.  

      К таковым относится боязнь последствий, из-за чего человек не способен уверенно высказать свою точку зрения и привести достойные аргументы.  Говоря об эмоциональных слабостях человека, нельзя забывать о надежде, найти в любой получаемой информации подтверждение своих взглядов на жизнь. Для гуманитария могут стать проблемой математические софизмы.

б) Аффективные причины

          Сюда относятся трусость в мышлении — боязнь опасных практических последствий, вытекающих от принятия известного положения; надежда найти факты, подтверждающие ценные для нас взгляды, побуждающая нас видеть эти факты там, где их нет, любовь и ненависть, прочно ассоциировавшиеся с известными представлениями, и т.. д. Желающий обольстить ум своего соперника софист должен быть не только искусным диалектиком, но и знатоком человеческого сердца, умеющим виртуозно распоряжаться чужими страстями для своих целей.

в) Волевые причины

        Во время обсуждения точек зрения происходит воздействие не только на разум и чувства, но еще и на волю. Во всякой аргументации (особенно устной) есть волевой элемент — элемент внушения.  Уверенный в себе и напористый человек с большим успехом отстоит свою точку зрения, даже если та была сформулирована с нарушением логики. Особенно сильно такой прием действует на большие скопления людей, подверженных эффекту толпы и не замечающих софизм.  Что это дает оратору?   Возможность убедить практически в чем угодно.  Еще одной особенностью поведения, позволяющей победить в споре при помощи софизма, является активность.  Чем более пассивен человек, тем больше шансов убедить его в своей правоте.  

       Вывод – эффективность софистских высказываний зависит от особенностей обоих людей, задействованных в разговоре.   При этом эффекты всех рассмотренных качеств личности складываются и влияют на исход обсуждения проблемы.

       Таким образом, всякий софизм предполагает взаимоотношение между шестью психическими факторами: a + b + c + d + e + f. Успешность софизма определяется величиной этой суммы, в которой (a + с + е) составляет показатель силы диалектика, (b + d + f) есть показатель слабости его жертвы.

• а - отрицательные качества лица (отсутствие развития способности управлять вниманием).
• b - положительные качества лица (способность активно мыслить)
• с - аффективный элемент в душе искусного диалектика
• d - качества, которые пробуждаются в душе жертвы софиста и омрачают в ней ясность мышления
• е - категоричность тона, не допускающего возражения, определённая мимика
• f - пассивность слушателя

5.Математические софизмы с точки зрения их важности для изучения математики.

      Итак, софизм –  что это?  Прием, помогающий в споре, или бессмысленные рассуждения, не дающие никакого ответа и потому не имеющие ценности?  И то, и другое.

      Итак, что появилось, благодаря  софистам? Абстрагирующая деятельность, объектом которой стал язык. В словесных упражнениях, какими были софистические рассуждения,  неосознанно отрабатывались первые, еще не ловкие приемы логического анализа языка и мышления. А превращение языка в серьезный предмет особого анализа, в объект систематического исследования было первым шагом в направлении создания науки логика. Софизмы содействовали строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Действительно, уяснение ошибок в математическом рассуждении часто содействовало развитию математики.

      Особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида  о параллельных  прямых. Одна из формулировок этой теоремы такова: «Через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной». Это утверждение на протяжении более чем двух тысячелетий пытались доказать, т.е. вывести из остальных аксиом многие выдающиеся математики. Поясним, что аксиомой называется исходное положение, принимаемое без доказательств. Все попытки доказать V постулат Евклида не увенчались успехом. Однако, многочисленные «доказательства» этого постулата  принесли немало пользы.         

      Поиск  заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики и, кроме того, показывают, что математика – это живая наука.

           Понятно, что, отыскивая ошибку в «доказательстве» утверждения, что половина равна целому, мы не обязательно откроем новое направление в математике, но задуматься над законами логики и языка ведь тоже полезно?

       Значит, софизмы все-таки внесли свой вклад в развитие математики.

 Практическая часть

      «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая, делать его немного занимательным», - писал выдающийся ученый XVII века Блез Паскаль. Многим ученикам школьная математика кажется слишком сложной и скучной наукой. Но издавна существуют и используются на уроках занимательные задачи, так называемые «задачи-шутки». Результаты проведенного опроса свидетельствуют, что ребятам очень нравится решать примеры на восстановление стертых цифр, на отыскание ошибок, допущенных при решении или доказательстве. Недосказанное условие задачи, недописанная фраза, незаконченное решение стимулируют активность учащихся на уроке.

      Но ведь эти задачи решаются не только ради развлечения на уроке. Учителя предлагают их, чтобы глубже проникнуть в суть правила,   лучше его запомнить.

      Часто ученик действует по образцу, по накатанной схеме для данного типа задач. Это приводит к снижению внимания, притуплению бдительности, а, следовательно, увеличивает вероятность ошибки. В математике издавна существует способ формирования интеллектуальной бдительности. И средство это – софизм.

       Рассуждения, содержащие нарочито скрытые ошибки, широко распространены  и могут служить учебным, тренировочным материалом в формировании  способности правильно мыслить и понимать задачу.  Математический софизм -  своего рода прививка от бездумного и некритического потребления информации.  Решение или разоблачение софизма дает  опыт соответствующей деятельности в житейской ситуации и формирует алгоритм соответствующего поведения. И в  этом своем предназначении софизмы важны не только для математики.

        Анализ действующих учебников по математике показал, что задания на софизмы в них практически отсутствуют. Заданий на нахождение ошибок в решении задач нет совсем, а задачи на восстановление стертых цифр имеются только в учебниках 5 и 6 классов , да и то в небольшом количестве. Поэтому я решил  составить сборник задач по алгебре на софизмы для 6-9 классов, в котором  подборка задач по каждому классу отдельно будет интересна учащимся и удобна учителям для использования на уроках и дополнительных занятиях.

Выделяются  основные ошибки, “прячущиеся” в математических софизмах:

• деление на 0;
• неправильные выводы из равенства дробей;
• неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
• нарушения правил действия с именованными величинами;
• путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении множеств;
• проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;
• неравносильный переход от одного неравенства к другому;
• выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;

Сборник задач

Алгебра

  6 класс

№1.   5 = 6.

Решение:

Запишем равенство: 35 + 10 - 45 = 42 + 12 - 54

Вынесем за скобку общие множители:

5∙(7 + 2 - 9) = 6∙(7 + 2 - 9).

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (он заключен в скобки):

5∙(7+2-9)=6∙(7+2-9).

Значит, 5=6.

№2. Любое отрицательное число больше положительного, имеющего то же абсолютное значение.

Решение:

Этот софизм основан на очевидной истине: «Если в равенстве числитель левой дроби больше знаменателя в n раз, то и в правой части равенства соотношение внутри дроби будет таким же».

Напишем следующие равенства:

 и ;                т.е. .

Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. Другими словами, если в левой части равенства +a > - a, то и в правой части равенства должно соблюдаться то же соотношение.

В нашем случае а>– с, следовательно, должно быть –а>с, т.е. отрицательное число больше положительного: –a > +a.

(Ошибка: данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны).

№3.  Один рубль не равен ста копейкам.

Решение:

1р=100коп.

10р=1000коп.

Умножим обе части этих верных равенств, получим:

10р=100000коп, откуда следует:

1р=10000коп., т.е. 1р.100коп.

7 класс

№4.   Все числа равны между собой.

Решение:

Возьмем два произвольных неравных между собой числа а и b и запишем для них очевидное тождество:  а -2ab+b = b -2ab+ а.

Слева и справа стоят полные квадраты, т. е. можем записать  (а-b)2 = (b-а)2. (1)

Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратный корень, получим:  a-b = b-a (2)

или 2а = 2b, или окончательно a=b.

№5.1.  Всякое число равно своему удвоенному значению

Решение:

Запишем очевидное для любого числа a тождество     a2 - a2 = a2 - a2,

Вынесем a в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим    a(a – a) = (a + a)(a - a).   Разделив обе части на a - a, получим a = a + a, или  a=2a.

Итак, всякое число равно своему удвоенному значению.

№5.2.   Любое число равно своей половине.

Решение:

Имеется тождество: a2-a2=a2-a2, где a – какое угодно число.

Вынесем в левой части a за скобку, а правую разложим на множители по формуле разности квадратов:  a(a – a)=(a + a)(a – a).

Разделим обе части на (a – a), тогда a=a+a, или a=2a.

Разделим на 2 и получим .

№5.3.   Любое число равно своей половине.

Решение:

Предположим, что a = b.

Умножим обе части неравенства на a и получим: .

Вычтем  из обеих частей: .

Разложим на множители: .

Разделим левую и правую части на : .

Так как a = b, то: .

Разделим обе части выражения на 2:

№6.  Неравные числа равны.

Решение:

Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b. Пусть их разность равна с, т. е. а-Ь = с. Умножив обе части этого равенства на а-b, получим (а-b)2 = = c(a-b),

a раскрыв скобки, придем к равенству a2-2ab + b2 = = ca-cb,  из которого следует равенство  а2- аb - ас = аb -b2 -bc.  Вынося общий множитель а, слева и общий множитель b справа за скобки, получим  а(а-b-с) = b(а-b-с).       (1)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

Разделив последнее равенство на (а-Ь-с),  получаем, что a=b, значит, два неравных между собой произвольных числа равны.

№7.  Единица равна нулю.

Решение:

Возьмем уравнение   х-а = 0.     (1)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        

Разделив обе его части на х-а, получим    , откуда получаем требуемое равенство1=0.

№8.  Единица равна минус единице.

Решение:

Пусть число х равно 1. Тогда можно записать, что х2=1, или х2-1 = 0. Раскладывая х2-1 по формуле разности квадратов, получим  (х+1)(х-1) = 0.    (1)

Разделив обе части этого равенства на х-1, имеем    х + 1 = 0 и х = -1.          (2)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    

Поскольку по условию х = 1, то отсюда приходим к равенству   1 = -1.

№9.   Если одно число больше другого, то эти числа равны.

Решение:

Возьмем два произвольных числа т и п, такие, что т>п, и другие три произвольных числа а, b и с, сумма которых равна d, т. е. a + b + c = d.  Умножив обе части этого равенства на m, а затем на n, получим  ma + mb + mc = md, na + nb + nc = nd.. Сложив почленно равенства      та + mb + тс = md   и  , nd = na + nb + nc,    получим   ma + mb + mc + nd = na + nb + nc + md..    Перенося здесь nd вправо, a md влево, имеем  та + mb + mc- md= na + nb + nc- nd,а вынося слева число т, а справа число п за скобки, придем к соотношению  т(а+b+с-d) = п(а+b+с-d),

откуда, разделив обе части последнего равенства на (а + b + c-d), находим, что  m= n.

№10.  Все натуральные числа, большие единицы, равны между собой.

Решение:

Рассмотрим известные алгебраические формулы   x2-l = (x-l)(х+l), х3-1 = (х-1)(х2 + х + 1) и вообще для любого натурального п имеем   хп -1 = (х - 1)(хп-1 + хп-2 + ... + x2 + x + l).

Разделив обе части этих формул на х-1, получим    ;

При х = 1 левые части этих равенств принимают одно и то же значение , поэтому должны быть равны и их правые части, откуда получаем, что

2 = 3 = ••• = n.

№11. .

Решение:

 Имеем верное числовое равенство: 4:4=5:5.

Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1:1)=5(1:1).

Числа в скобках равны, поэтому 4=5 или .

(Ошибка допущена  в левой и правой частях тождества 4:4=5:5 при вынесении общего множителя за скобки).

8 класс

№12.  7 = 13.

Решение:

Дано уравнение:   ;

Преобразуем следующим образом  

Следовательно,  7 = 13.

№13.  Все числа равны между собой.

Решение:

Возьмем два произвольных и неравных друг другу числа a и b и предположим, что a>b. Обозначим их разность буквой c, получим , .

Умножим обе части последнего равенства на (a – b):  

Вычтем из обеих частей ac:

Вынесем общие множители за скобку:

Делим обе части на (a – b – c):   a=b.

Таким образом, два взятых произвольно числа a и b равны друг другу.

№14.  Один ноль не равен другому

Решение:

Пусть даны числа a, b, c, d, x, y, m, и  n, причём:

a=b, (1),            x=y, (3)

c=d, (2),            m, (4)

Почленно сложим равенства (1) и (2):    a+c=b+d; (5)

Вычтем (с+b) из обеих частей полученного уравнения: a – b=d – c. (6)

Разделим почленно уравнение (3) на уравнение (6):     (7)

Сложим уравнение (7) с неравенством (4):

Приведем к общему знаменателю обе части неравенства, умножив их на произведение знаменателей (a – b)(d – c):    

Так как a – b = 0 и d – c = 0, то обе части полученного неравенства обращаются в ноль. Поэтому мы и приходим к заключению, что 0<0.

№15.  a = ma при всяком значении m

Решение:

Пусть ma = b. Докажем, что a = b. При перестановке множителей произведение не меняется, следовательно можно записать: ab = ba.

Так как – 1= – 1, то – 1∙ab = – 1∙ba.

Но:  и .     (1)

Для чисел a и b можно записать равенства: ;     (2)

                                                    ;     (3)

Подставим выражения (2) и (3) в (1): .

Раскроем скобки: .

Так как: , то .

Но: ;  .

Следовательно: .

Отсюда .     (4)

Можно записать: .                (5)

Сложив почленно равенства (4) и (5), получим: a = b.

Но b = ma, следовательно: a = ma при любом значении m., что и требовалось доказать.

Пользуясь данным способом, легко доказать равенство двух каких угодно неравных между собой величин.

№16.1  Сумма двух одинаковых чисел равна нулю. 

Решение:

Пусть . Докажем, что m всегда равно нулю.

Для этого предположим, что x=a. Умножим обе части на   или:  Прибавим к обеим частям x2:  или:

Получаем:  Заменим x на равную величину a:  или:

Окончательный результат:

№16.2  Всякое положительное число меньше нуля.

Решение:

Пусть n – целое положительное число, тогда: . Если умножить это неравенство на (– a), где a – любое положительное число, то получим: . Прибавим к обеим частям неравенства 2an и получим, что a < 0.

№17.  Любое положительное число равно отрицательному с той же абсолютной величиной.

Решение:

Из алгебры известно, что .

С другой стороны, .

Отсюда следует, что – a = +a

№18.  Любое число равно единице.

Решение:

Пусть a – произвольное число.  Возьмем два числа  x и y, каждое из которых равно .

Выпишем ряд равенств, в котором каждое последующее равенство получается путем сложения двух предыдущих:                          x=y;

;

;

;

.        (1)

Перепишем уравнение (1) следующим образом:  

        (2)

Сократим: .                (3)

По условию, . Значит: ;        (4),        .        (5)

Подставим выражения (4) и (5) в уравнение (3):   или a = 1.

Итак, мы доказали, что произвольное число a равно 1.

№19.  Любое число равно

Решение:

Возьмем два произвольных положительных действительных и равных друг другу числа х и z. Поскольку по условию x = z> то . Поэтому с полным основанием мы можем записать следующие два тождества:

x- = z-     (1)

-z = -z       (2)

Сложив эти два равенства почленно, получим   х-г = - (3)

Прибавив и отняв в левой части равенства (3) величину    получим :

x + --z = - или, что, очевидно, то же самое,

х +  - -z = - (4)

В левой части последнего равенства первый и второй члены представим в виде

 ( +)а третий и четвертый — в виде ( + ). В результате этих преобразований равенство (4) примет вид

( +)- ( + )=-                             (5)

и окончательно может быть записано так:

( +) (- )=   -                                         (6)

(если вынести за скобки общий множитель ( +) в левой части равенства).

Для того чтобы равенство (6) имело место, необходимо выполнение условия

 += l,              (7)

а так как в силу исходного равенства x = z, заключаем, что

2 = 1, или  =, откуда х = ,  т. е. произвольное число равно .

№20. Единица наибольшее натуральное число

Решение:

Мы знаем, что числа 1, 2, 3, 4, 5, … называются натуральными. Понятно, что натуральных чисел бесконечное множество и наибольшего натурального числа нет. Тем не менее мы докажем, что наибольшим натуральным числом является единица.

Пусть число k  1 является наибольшим натуральным числом. Тогда мы можем записать, что  k * k = k2  k * 1 = k.

Последнее равенство показывает, что принятое нами в качестве наибольшего натурального числа число k не является таковым, так как ясно, что число, равное k2, больше этого числа k  1 не может быть наибольшим целым. Остается принять, что наибольшим натуральным числом является 1, так как только в этом случае мы не приходим к противоречию.

№21. Единица равна двум.

Решение:

Простым вычитанием легко убедиться в справедливости равенства  1-3 = 4-6.

Добавив к обеим частям этого равенства число , получим новое равенство

1-3 +  = 4-6 +,   в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т. е.  (1-)=(2-).

Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство:  1-=2 -,    откуда следует, что 1=2.

№22.  Любые два неравных числа равны.

Решение:

Возьмем два произвольных, не равных друг другу числа х и z и обозначим их сумму  а,

т. е. x + z = a. Умножив  обе части этого  равенства на x-z,  получим (x + z)(x-z) = a(x-z), раскроем в обеих частях равенства скобки: x2-z2 = ax- az.  Перенесем ах из правой части равенства в левую, a z2 из левой части в правую. В результате получим   x2-ax = z2-az.

Прибавляя к обеим частям последнего равенства число , будем иметь:

х2 – а х +   = z2 – a z + ,

или, замечая, что слева и справа стоят полные квадраты, получим   .

Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратные корни, придем к выражению

. Так как вторые члены слева и справа в этом равенстве равны, то заключаем, что   x=z.

№23. Половина любого числа равна половине числа, ему противоположного.

 Решение:

Возьмем произвольное число а и положим х =-|. Тогда  2х + а  = 0 или после умножения на а получим 2ах + а2 = 0. Прибавляя к обеим частям этого равенства х2, имеем

х2 + 2ах + а2 = х2.   Так как х2 + 2ах+а2 = (х + а)2, то предыдущее равенство можно записать в виде  (х + а)2 = х2     (1), а после извлечения квадратного корня из обеих частей последнего равенства получаем    х + а = х.  (2)   Поскольку по условию х =-, то из равенства (2) имеем  -+ а= -, и поэтому  получаем окончательно     - = .

№24. Если a и b – положительные числа, то a>b и b>a.

Решение:

Даны два неравенства. Оба со знаком > (больше) или оба со знаком  < (меньше), поэтому их можно сложить или перемножить их почленно, причем в  новом неравенстве будет тот же знак.

Т.е., если a>b и c>d, то:  и

Пусть имеется два положительных числа a и b. Запишем для них два очевидных неравенства: , .

Перемножим неравенства почленно и получим, что ab>b2.

Разделим обе части неравенства на b (b>0): a>b.

Если написать для чисел a и b другие очевидные неравенства: b>-a, a>-a, то после аналогичных рассуждений окажется, что ba>a2, т.е. b>a.

Следовательно, для любых двух положительных чисел каждое больше другого.

№25.  Чётное число равно нечётному.

Решение:

Возьмем произвольное четное число 2n, где п — любое целое число, и запишем тождество

(2n)2-2n(2(2п) + 1) = (2n + 1)2-(2n + 1)(2(2n)+1), в справедливости которого нетрудно убедиться, раскрыв скобки.

Прибавив к обеим частям этого тождества      , перепишем его в следующем виде:   (2n)2- 2(2n) +=(2n+1)2- 2(2n+1) +

или в таком:  (2n-)2=(2n+1-))2   (1),      откуда следует, что

2n -  = 2n + 1 -    или      2n=2n+1,  что означает равенство четного числа нечётному.

№26.  Восемь равно шести.

Решение:

Решим систему двух уравнений     подстановкой у из второго уравнения в первое. Получаем х + 8 - х = 6,   откуда 8 = 6.

№27.  4 = 5.

Решение:

Пусть a = 4, b = 5, c =. Тогда:     a = 2c - b   и    2c - a = b .

Умножим первое на второе, получим:   a2 - 2ac = b2 - 2bc

                                                           a2 - 2ac + c2 = b2 - 2bc + c2

                                                                      (a - c)2 = (b - c)2

                                                                           a - c = b - c

Откуда a = b, или 4 = 5.

№26. «доказательство равенства 1 =  - 1»

Решение:

9 класс

№29. Любое число есть произведение бесконечного числа единиц.

Решение:

Рассмотрим равенство:

Перепишем его в следующем виде:

Так как , то:

Извлечём из обеих частей корень степени :  или .

При х = 3 имеем: .

Так как:  и , то:  или:

№30. «любое число а равно меньшему числу b».

Решение:

Начнем с равенства    

                                       а = b + c.

Умножив обе его части на a — b, получим

                                                     а² — аb = аb + аc — b² — be.

Перенесем ас в левую часть:

                                                    а² — аb — аc = аb — b² — be

и разложим на множители:

                                                    а(а — b — c) = b(а — b — c).

Разделив обе части равенства на а — b — c, найдем

                                                      а = b,

что и требовалось доказать.

№31. «спичка длиннее, чем телеграфный столб, причем вдвое»

Решение:

Длину спички  обозначим  - а,   длину столба – b.

Разность между этими величинами – c. получается, что b - a = c, b = a + c.

Если данные выражения перемножить, получится следующее: b² - ab = ca + c².

 При этом из обеих частей выведенного равенства возможно вычесть составляющую bc. Получится следующее: b² - ab - bc = ca + c² - bc, или b (b - a - c) = - c (b - a - c).

 Откуда b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.

То есть спичка и правда вдвое длиннее столба.

(Ошибка в данных вычислениях заключается в выражении (b – a - c), которое равно нулю.)

Логика

Полупустое и полуполное

 «Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».

Равен ли полный стакан пустому?

Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.

Не знаешь то, что знаешь

 «Знаешь ли ты то, о чём я хочу тебя спросить?» -  «Нет». – «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» - «Знаю». – «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».

Лекарство

 «Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».

Вор

 «Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего».

Рогатый

 «Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога».

Чем больше

 «Чем больше я пью водки, тем больше у меня трясутся руки. Чем больше у меня трясутся руки, тем больше спиртного я проливаю. Чем больше я проливаю, тем меньше я выпиваю. Значит, чтобы пить меньше, надо пить больше».

Апельсин- планета

Земля, Марс и т. д. - круглые. Значит, все планеты круглые. Апельсин тоже круглый, значит апельсин - планета?

Сидящий стоит

«Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит».

Логический софизм 

Вход в парк некоего могущественного князя был запрещен. Если нарушитель попадался, его ожидала смерть, но ему предоставлялось право выбирать между виселицей и обезглавливанием. Он должен был что-то заявить, и если его утверждение было верно, его обезглавливали, а если ложно, то его вешали. Что нужно было заявить нарушителю, чтобы избежать установленного правила и остаться живым?«Меня повесят, естественно».

Ты не человек

Я человек, ты не я, значит ты не человек.

Самое быстрое не догонит самое медленное

Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.
 Нет конца

Движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвертой части и т.д. до бесконечности.
Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда ее не достигнет.

Куча

Одна песчинка не есть куча песка. Если n песчинок не есть куча песка, то и n+1 песчинка - тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучу песка.

Может ли всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?

Если не может - значит, он не всемогущий. Если может - значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это камень.

Софизм «лгун»
         Вполне возможно, что лгун сознается в том, что он лгун. В таком случае он скажет правду. Но тот, который говорит правду, не есть лгун. Следовательно, возможно, что лгун не есть лгун. (Какая ошибка?)
«Софизм Кратила»

Диалектик Гераклит, провозгласив "все течет", пояснял, в одну и ту же реку нельзя войти дважды, когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. Кратил сделал и другие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, так как пока ты ходишь, она уже изменится.

Исследовательская часть

             Чтобы показать и подтвердить значимость софизмов и парадоксов в жизни, я провел  исследовательскую работу в сфере учебной деятельности (приложение). Данная работа была направлена

1. на развитие умения находить ошибку, анализировать и устранять ее;
2. на развитие логического мышления;
3. на формирование математической грамотности учащихся.

       Исследование проводилось среди учащихся восьмого и девятого классов.        

      В седьмом классе был проведен урок – презентация, посвященный алгебраическим  софизмам по теме «Равносильные уравнения», а в девятом  данного урока не проводилось. Затем по этой теме была проведена самостоятельная работа.                                  

     По итогам самостоятельных работ средние баллы в каждом из классов разошлись. Так, средний балл в 7 классе составил – 4,1 , в 9 классе –  3,3. Только два учащихся из 7 класса  допустили ошибку по данной теме, когда в 9 классе 8 учащихся допустили ошибки в решении задач.                                                                  

     Все полученные данные я оформил в виде диаграмм (приложение), которые наглядно показали  различия по уровню усвоения темы.                

     Таким образом, проанализировав полученные результаты, я сделал вывод, что ученики, разобравшие варианты возможных ошибок,  научились находить и устранять их. Ученики, не получившие данной информации, допустили различные ошибки по данной теме.

Заключение

        Я узнал, что софизм – это рассуждение, содержащее замаскированные ошибки. Умение маскировать и маскироваться является основным в таких сферах, как военное дело, защита информации и криптографии, банковское дело.

       Математический софизм представляет собой, по существу, правдоподобное рассуждение, приводящее к неправдоподобному результату. Причем полученный результат может противоречить всем нашим представлениям, но найти ошибку в рассуждении зачастую не так-то просто. Она может быть и довольно тонкой и глубокой. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, зачастую оказываются более поучительными, чем просто разбор решений “безошибочных” задач. Эффектная демонстрация “доказательства” явно неверного результата, в чем и состоит смысл софизма, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение тем или иным математическим правилом, и последующий поиск и разбор ошибки, приведшей к нелепице, позволяют на эмоциональном уровне понять и “закрепить” то или иное математическое правило или утверждение. Такой подход при обучении математике способствует более глубокому ее пониманию и осмыслению.

         Рассмотрев софизмы, я узнал многое из мира логики. Даже небольшое представление о софизмах значительно расширяет кругозор.  Многие вещи, кажущиеся сначала необъяснимыми, выглядят совсем по-иному.  Жаль, что в школьном  курсе математики не изучаются основы логики. Логическое мышление — ключ к пониманию происходящего, недостаток его сказывается во всем.

         Я  рассмотрел математические софизмы с точки зрения их важности для изучения математики.        Проанализировав учебники математики, сборники олимпиадных задач и другую дополнительную литературу, я пришел к выводу, что математические софизмы в зависимости от содержания и “прячущейся” в них ошибке можно применять с различными целями на уроках математики при изучении различных тем.

Например:

• на уроках, чтобы сделать их более интересными, для создания проблемных ситуаций;
• в домашних задачах, для более осмысленного понимания материала, пройденного на уроках;
• при проведении различных математических соревнований, для разнообразия;
• на занятиях факультативов, для более глубокого изучения тем математики;
• при написании реферативных и исследовательских работ.

При разборе  математических софизмов выделяются основные ошибки:

• деление на 0;
• неправильные выводы из равенства дробей;
• неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
• нарушения правил действия с именованными величинами;
• проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;
• неравносильный переход от одного неравенства к другому;

      Самыми популярными являются первые три. В результате я отобрал и систематизировал задачи на софизмы по классам с 6 по 9.

      Как видно из решений задач на софизмы, многие «крайне неразрешимые парадоксы» имеют довольно-таки простое решение.  Нужно  только увидеть корень противоречия.

Список используемой литературы

1. Попов П.С., Стяжкин Н.И. Развитие логических идей от античности до эпохи  

Возрождения. — М.: 1974.

2. Уемов А. И. Логические ошибки. — М.: 1957.
3. Ф.Ф.Нагибин, Е.С.Канин  Математическая шкатулка. — М., “Просвещение”, 1984г.
4. А.Г. Мадера и Д.А.Мадера, “Математические софизмы”, М., “Просвещение”,2003г.
5. Обреимов В.И., , “Математические софизмы”,СПб,1989г.
6. Т.Н. Михеева. Софизмы.
7. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/Составители А.П. Савин, В. В. Станцо, А.Ю. Котова: под общей редакцией О.Г.Хинн.-М.:АСТ,1995.
8. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-Xкл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение,1983.
9. Микиша А.М. Орлов В.Б. Толковый математический словарь. Основные термины: около 2500 терминов.- М.:-Рус.яз.,1989. Ивлев Ю.В. Логика. - М.: Проспект, 2006.
10. Гусев В.А. Мордкович А.Г. Математика. Справочник – М.: Просвещение, 1990.
11. Ивлев Ю.В. Логика. - М.: Проспект, 2006.

Приложение

Результаты  выполнения самостоятельной работы

в седьмом и девятом классах

Диаграмма 1

               Диаграмма 2                                                                     Диаграмма 3

Диаграмма 4

Результаты анкетирования в седьмом и девятом классах

Анкета

(Перед уроком – презентацией)

1. Укажите ваш возраст.
2. Укажите ваш пол.
3. Доводилось ли вам слышать подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем»?
4. Знакомо  ли вам понятия «Софизм»?

(После урока – презентации)

1. Надо ли знакомить учащихся на уроках с софизмами?
2. Как ты думаешь, для чего нужны софизмы?
3. Хотел бы ты больше узнать о софизмах?
4. Как ты считаешь, какую роль для тебя может сыграть более глубокое знакомство с софизмами?