Софизмы на уроках математики
статья по алгебре (5, 6, 7, 8, 9 класс) на тему

Софизмы на уроках математики.

«Правильно понятая ошибка – это путь к открытию».

Иван Петрович Павлов

В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости в математических рассуждениях и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики.

Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое кажется правильным. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах скрыто выполняются запрещённые действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.

Чем же полезны софизмы для изучающих математику? Что они могут дать?

Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т.е. прививает необходимые в жизни навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает повторение её в дальнейшем в других математических рассуждениях. Когда ребёнок раз притронется к горячему предмету, то впоследствии он постарается этого не делать. Он будет много осторожнее. Так и изучающий математику впоследствии проявит больше осторожности, чтобы не повторить осознанную ошибку.

Далее, что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Когда изучающий  математику разбирает софизм,он знает,что может попасть в западню, а поэтому старается обойти ее. Чтобы не  попасть в ловушку,приходится очень внимательно продвигаться вперед и каждый шаг делать с большой осторожностью. Вопрос  стоит так; кто кого подчинит себе, софизм ли разбирающего его, или наоборот. Значит, математические софизмы заставляют внимательно и настороженно продвигаться вперёд, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Всё это нужно и полезно.

Наконец, разбор софизмов увлекателен. Только очень сухого человека не может увлечь интересный софизм. Как приятно бывает обнаружить ошибку в математическом софизме и тем как бы восстановить истину в её правах. И чем трудней софизм, тем больше удовлетворение доставляет разбор  его.

При разборе софизмов надо постараться самостоятельно найти содержащиеся в них ошибки и отчетливо понять их. Очень важно добиться отчётливого понимания ошибок, иначе софизмы будут бесполезны и может быть даже вредны.

Примеры софизмов.

1. Утверждение, что 4 руб. = 40000 коп.является софизмом. Докажем это.

Возьмём верное равенство 2 руб. = 200 коп.и возведём обе его части в квадрат. Получится 4 руб. = 40000коп. В чём ошибка? (Ответ: ошибка в том, что возведение в квадрат некоторой суммы денег не имеет смысла. В квадрат возводятся числа, а не величины)

2. 5 =6. Докажем это. С этой целью возьмём числовое тождество: 35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54. Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. 5(7 + 2 – 9) = 6(7 + 2 – 9). Разделим  обе части этого  равенства  на общий множитель.Получим 5=6. В чём ошибка?(Ответ: нельзя части равенства делить на 7+2-9, так как 7 +2 – 9 =0).

3. 2·2=5. Найди ошибку в следующих рассуждениях. Имеем числовое  тождество: 4 : 4 = 5 : 5, вынесем за скобки в каждой части этого тождества общий множитель. Получим 4 (1 : 1) = 5 (1 : 1). Числа в скобках равны.  Поэтому  4   =   5 , или  2 · 2 = 5.  В чём ошибка? (Ответ: ошибка допущена в вынесении общего множителя за скобки в левой и правой частях  тождества  4 : 4 = 5 : 5).

4. «Любое число равно числу, в два раза большему его». Пусть a–какое угодно число. Возьмём тождество: a2—a2 = a2—a2 . В левой части его вынесем a за скобки, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов. Тогда получим: (a – a)a = (a – a)(a +a). Упростив это тождество, получим: a = 2a. В чем здесь ошибка? (Ответ: деление на (a - a) не допустимо).

5. «Все числа равны между собой». Попытаемся доказать, что все числа равны между собой. Пусть mне равно n. Возьмем тождество: m2 – 2 mn + n2  = n2– 2nm +m2. Имеем (m –n)2 = (n –m)2. Отсюда m –n = n –m, или 2m = 2n, а значит n = m. В чем ошибка? (Ответ: Если квадраты чисел равны, то это еще не означает, что сами числа равны. Из равенства квадратов 2-х чисел вытекает лишь, что равны абсолютные величины этих чисел.