Внеаудиторное мероприятие по математике на тему: СОФИЗМЫ И ПАРАДОКСЫ
занимательные факты (7, 8, 9, 10, 11 класс) по теме

СОФИЗМЫ И ПАРАДОКСЫ

Внеаудиторное мероприятие по математике

«-На что мне безумцы? - сказала Алиса.
-Ничего не поделаешь, - возразил Кот. - Мы все здесь не в своём уме - и ты, и я.»

(Л. Кэрролл)

Цели: 

• реализация принципа умственного развития учащихся;
  развитие познавательной и творческой деятельности учащихся;
• привитие навыков самостоятельного поиска новых закономерностей, пробуждение их любознательности; развитие культуры коллективного умственного труда;
• формирование и развитие интереса учащихся к занятиям  информатикой, расширение кругозора учащихся.

Задачи:

• способствовать развитию потребности свободно высказывать мысли;
• обучать грамотному оформлению мыслей;
• воспитывать уважительное отношение к любым мнениям, высказанным в ходе беседы;
• создать атмосферу неформального общения; провести тренинг по развитию креативности.

Форма проведения: может проходить как  внеаудиторное мероприятие по предмету в форме математического лото, а также  как занятие факультатива или быть составной частью математического вечера.

Сегодня мы поведем разговор об удивительных понятиях в математике, философии, логике, риторике, которые  своими корнями уходит в далекую старину. В Древней Греции, где важнейшие вопросы жизни решались на Советах, всякий уважающий себя философ, политический деятель, поэт  или писатель  старался строить свое выступление так, чтобы оно было понятно и разумно.

А для начала, чтобы настроится на «серьезный», «скучный» математический лад мы споем математические частушки!..

Итак…

Софизмы.

Софизм (от греч. sophisma – уловка, выдумка, головоломка, ухищрение, выдумка) — ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным.

Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического анализа. Софистами называли группу древнегреческих философов 4 века до нашей эры, достигших большого искусства в логике.

Софизм - формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений (словарь Ожегова). Их строят, опираясь на внешнее сходство явлений, прибегая к намеренно неправильному подбору исходных положений, к подмене терминов, разного рода словесным ухищрениям и уловкам Их [ошибки] допускают сознательно, с целью увлечь собеседника по ложному пути. При этом широко, и надо сказать, умело используется гибкость понятий, их насыщенность многими смыслами, оттенками.

Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого караются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Софизм - это то же надувательство, только выполненное намного изящнее и незаметнее, за что мы его и любим. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в софизмах выполняют "запрещенные" действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил.

Алгебраические софизмы.

Всякое число равно своему удвоенному значению.

Запишем очевидное для любого числа a тождество

a2 - a2 = a2 - a2, вынесем a в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим a(a – a) = (a + a)(a - a).Разделив обе части на (a – a), получим a = a + a, или a=2a.

Итак, всякое число равно своему удвоенному значению.

Разбор софизма. Здесь ошибочен переход к равенству a=2a. В самом деле, число a-a, на которое делится равенство a(a – a) = (a + a)(a - a) равно нулю. А мы прекрасно знаем, что на ноль делить нельзя.

Один рубль не равен ста копейкам.

Известно, что любые два равенства можно перемножить почленно, не нарушая при этом равенства, т. е. если а = b и c = d, то ac = bd. Применим это положение к двум очевидным равенствам: 1 рубль = 100 копейкам, 10 рублей = 1000 копеек. Перемножая эти равенства почленно, получим: 10 рублей = 100 000 копеек и, наконец, разделив последнее равенство на 10, получим, что 1 рубль = 10 000 копеек.

Таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

Разбор софизма. Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правила действий с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

4 больше 12.

Запишем очевидное неравенство 7>5 и равенство -8=-8, которые при сложении почленно, дают 7-8>5-8, или -1>-3, что верно. Умножая обе части неравенства -1>-3 на

-4, получим (-1)(-4)>(-3)(-4), откуда следует, что 4>12.

Разбор софизма. При умножении на -4 знак неравенства должен поменяться.

 Геометрические софизмы

Спичка вдвое длиннее телеграфного столба.

Пусть, а дм - длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c. Имеем b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, нахо-дим: b2 - ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2- ab - bc = ca + c2 - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.

Разбор софизма. В выражении b(b-a-c)=(-c)*(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

Логические софизмы

Софизм учебы.

Данным софизмом является песенка, сочиненная английскими студентами:

Не философия, а мечта лентяев!

Парадоксы.

Парадокс (греч. "пара" - "против", "докса" - "мнение") – это нечто необычное и удивительное, то, что расходится с привычными ожиданиями, здравым смыслом и жизненным опытом.

Парадокс близок софизму. С софизмом их различает то, что парадокс - не преднамеренно полученный противоречивый результат. Таким образом, парадокс не ошибка, однако его появление нельзя объяснить и желанием сознательно исказить положение дел или незнанием какой-то детальной информации. Парадокс коренится глубже и свидетельствует об объективно сложившемся противоречивом состоянии дел, в котором никто не виноват. Парадокс принято также называть антиномией (греческого αντινομια, буквально — противоречие в законе, парадокс,— ситуация, когда в теории доказаны два взаимно исключающие друг друга суждения, причём каждое из этих суждений выведено убедительными с точки зрения данной теории средствами). Парадокс – высказывание, истинность которого не очевидна, справедливое, но неожиданное утверждение. Математический парадокс – высказывание, которое в данной теории равным образом может быть доказано и как истинна, и как ложь. Парадокс — это рассуждение, доказывающее как истинность, так и ложность некоторого суждения, иными словами, доказывающее как это суждение, так и его отрицание.

Логические парадоксы.

Я расскажу о парадоксах, которые затрагивают сферы логики и здравого смысла. Казалось бы, парадокс - и парадокс себе, и стоит ли сильно по его поводу переживать. Однако некая легенда гласит, что древнегреческий философ Кронос, не в силах разрешить его, от огорчения умер, а другой - Филипп Клосский - покончил жизнь самоубийством.

Парадокс лжеца

Древнегреческий пример простого логического парадокса имеет множество вариаций.

Вариант 1.

Что, истина или ложь, слетает с уст человека, который произносит "Я лгу" и больше ничего? С одной стороны, он говорит неправду, т. к. это утверждает. Но это означает, что он утверждает истину, а, следовательно, лжет.

Вариант 2 (вариант Эвбулида).

Критянин Эпименид сказал: "Все критяне лжецы". Он сам критянин, соответственно, лжец. Отсюда, критяне не лгуны, т. е. правдивы. Значит, все критяне лжецы.

Вариант 3. Парадокс из "Дон Кихота" Сервантеса

"Первым делом явился к Санчо Панса один приезжий, который в присутствии народа обратился к Санчо с такой просьбой: Я прошу у вас, сеньор, совета по очень запутанному делу. По владениям одного вельможи протекает река; через нее переброшен мост, а около него стоит виселица и воздвигнуто здание, где заседают четверо судей. Эти судьи должны наблюдать за строгим выполнением закона, изданного владельцем поместья.

Закон этот гласит: "Каждый, кто проходит по этому мосту, обязан под присягой указать, куда он идет и с какой целью. Если он скажет правду, его пропускают дальше, если солжет, тогда его осуждают на смерть и вешают на стоящей рядом виселице". С тех пор много людей переходило через мост, и, как только выяснялось, что они говорили правду, судьи отпускали их на все четыре стороны.

 Но недавно какой-то прохожий показал под присягой, что он явился сюда для того, чтобы его повесили на этой виселице. Клятва эта смутила судей, они рассуждали так: "Если мы отпустим этого человека на свободу, то выйдет, что он поклялся ложно, а в таком случае, согласно закону, он должен быть казнен. Но если мы приговорим его к виселице, то тогда окажется, что он говорил правду, поклявшись, будто явился сюда для того, чтобы его повесили, - и, следовательно, согласно тому же закону он должен быть отпущен на свободу". Так вот я и спрашиваю вас, что делать судьям с этим человеком, потому что они и по сей час пребывают в смущении и нерешительности..." Санчо отпустил того человека.

Вариант 4. Два слова, спасшие жизнь.

Во время франко-прусской войны произошел следующий случай. Один офицер имел несчастье попасться в плен к пруссакам, и его по подозрению в шпионаже было решено под суд и судить по законам военного времени, которые, как известно, карают за шпионаж смертной казнью. Когда подсудимому вынесли смертный приговор и несчастный, выслушав его, уже готов был, покорится своей участи, судьям пришло в голову оказать осужденному снисхождение, правда, несколько странного свойства.

- Вам, молодой человек, - сказали они офицеру, - предлагается в виде особой милости самому выбрать род казни: или смерть через повешенье, или расстрел. Для этого мы предлагаем вам произнести какую-нибудь фразу, заключающую в себе или явную ложь или явную правду. При этом заметьте, что за сказанную вами правду вы будете повешены, а за неправду вас расстреляют.

Все это было, конечно, очень жестоко, немилосердно, но странное дело! По мере того как молодой человек слушал бесстрастную речь своих судей, его бледное умное лицо прояснилось все более и более, и, наконец, после некоторого размышления он медленно произнес: «Меня расстреляют».

Математические парадоксы.

Самое парадоксальное - это то, что в математике вообще есть парадоксы.

Парадокс Рассела. (Парадокс связан с теорией множеств).

Уильям Рассел (1872 - 1970) сообщил о том, что обнаружил парадокс множества всех нормальных множеств (нормальным множеством называется множество, не содержащее себя в качестве элемента). Парадокс имеет несколько вариаций.

Вариант 1 . Каталог всех нормальных каталогов.

Каталоги подразделяются на два вида: 1) нормальные, которые в числе перечисленных в них каталогов не упоминают себя, и 2) ненормальные, которые входят в число перечисляемых ими каталогов. Библиотекарю дается задание составить каталог всех нормальных каталогов и только нормальных каталогов. Должен ли он при составлении своего каталога его упомянуть? Если он его не упомянет, то составленный им каталог будет нормальным. Но такой каталог должен быть упомянут, а тогда это уже ненормальный каталог, и из списка должен быть вычеркнут. Библиотекарь не может ни упомянуть, ни не упомянуть свой каталог.

Вариант 2. Парадокс парикмахера

В некой деревне, в которой живет один-единственный парикмахер, был издан указ: "Парикмахер имеет право брить тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами". Может ли парикмахер брить самого себя?

Вариант 3. Парадокс «генерал и брадобрей».

Этот парадокс состоит в следующем: каждый солдат может сам себя брить или бриться у другого солдата. Генерал издал приказ о выделении одного специального солдата-брадобрея, у которого брились бы только те солдаты, которые себя не бреют. У кого должен бриться этот специально выделенный солдат-брадобрей?

Если он хочет сам себя брить, то он не может этого сделать, так как он может брить только тех солдат, которые себя не бреют. Если же он не будет себя брить, то, как и все солдаты, не бреющие себя, он должен бриться только у одного специального солдата-брадобрея, т. е. у себя. Итак, он не может ни брить себя, ни не брить себя.

Парадокс кучи

Два приятеля однажды вели такой разговор.

- Видишь кучу песка? - спросил первый

- Я-то её вижу, - ответил второй, - но её нет на самом деле.

- Почему? - удивился первый.

- Очень просто, - ответил второй. - Давай рассудим: одна песчинка, очевидно, не образует кучи песка. Если n песчинок не могут образовать кучи песка, то и после прибавления ещё одной песчинки они по-прежнему не могут образовать кучи. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучи, т. е. кучи песка нет.

Перетекает парадокс в софизм,
возможность возвращения теряя.
А просто ложь, похожая на жизнь,
с тобой осталась с осени до мая.
И заподозрив в каверзе весну,
ты будешь у зимы просить защиты
и растревожишь тем еще одну
забытую измену. Будут биты
все козыри из войска твоего,
слывущего пока непобедимым.
Рассыпалась колода. Ничего
в ней нет, чтобы вернуть твоих любимых.
И истина, похожая на ложь,
исчезла как в ночном стогу иголка.

Жаль, парадокс обратно не вернёшь.
Софизм всесилен. Кажется, надолго…

Вот и закончилось наше мероприятие.

Спасибо за работу!!! Успехов!!!

Литература:

1. Балк М. Б., Балк Г. Д. «Математика после уроков». Пособие для учителей. Издательство Москва «Просвещение», 1991.
2. Войшвилло Е.К., Дегтярёв М.Г. Учебник по логике для ВУЗ.М.,2001
3. Мадера А. Г., Мадера Д. А. «Математические софизмы». Книга для учащихся 7-11 классов. Издательство Москва «Просвещение» 2003.
4. Нагибин Ф. Ф. «Математическая шкатулка». Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР 1989.
5. Сухотин А. К. «Парадоксы науки». Издательство "Молодая гвардия", 1978 г.