Софизмы и парадоксы в математике
творческая работа учащихся по математике (7 класс) на тему

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №2 имени Героя Советского Союза  Василия Дмитриевича Ревякина
р.п.Самойловка Самойловского района Саратовской области»

Софизмы и парадоксы

в математике

 (научно-исследовательская работа)

Выполнил:

Сумбайкин Дмитрий,

7 класс

Научный руководитель:

Володченко Людмила Николаевна

учитель математики

Оглавление

Введение……...……..…...……..……………………..…….….….........................3

Глава 1. Историческая справка

§1. Из истории происхождения софизмов и парадоксов……………………….5

Глава 2. Теоретическая часть

§1. Софизмы. Классификация ошибок………………………………………….10                                                                              

1.1. Логические                                                                                            

1.2. Терминологические                                                                          

1.3. Психологические                                                                            

§2. Классификация софизмов по темам математического цикла……………..11                                                                  

2.1. Арифметические                                                                            

2.2. Алгебраические  

2.3. Логические

§3.  Парадоксы……………………………………………………………………17

     3.1 Бесконечный спуск на примере «парадокса Лжеца».

     3.2 Парадоксы о соглашениях и системах правил

     3.3 Парадоксы, связанные с теорией множеств                                                                                                  

Глава 3. Исследовательская часть

Заключение……………………………………………………..………………..24

Библиографический список...………..................................................................26

Приложение……………………………………………………………………...27

О, сколько нам открытий чудных

                                                                 Готовит просвещенья дух.

                                                                       И опыт, сын ошибок трудных,

                                                                И гений, парадоксов друг.

                                                                                              А.С. Пушкин.

Введение

      Подавляющее большинство людей размышляют и рассуждают, не обращаясь за помощью  к особой науке, называемой логикой.

  Интуитивно законы мышления известны каждому. Всякое движение мысли, постигающей истину и добро, опирается на эти законы и без них невозможно.

    Люди постоянно стремятся  расширить свои знания и обогатить свою память, однако, как сказал Гераклид: «Само по себе многознание – это не мудрость. Мудрость предполагает знание оснований и причин».

     Софизмы и парадоксы не самый важный раздел логики. В некоторых учебниках (например, в учебнике Ю.В.Ивлева «Логика», автор  им даже не выделил отдельной темы) о них упоминается вскользь.  Однако мы решили все-таки поближе познакомиться с софизмами и парадоксами.

     Мы обратились к теме софизмов и парадоксов по нескольким причинам.

  Во-первых, считается, что именно софисты заставили задуматься о логическом строении геометрии и арифметики.

  Во-вторых, разбор софизмов и парадоксов сам по себе развивает навыки правильного мышления.

  В-третьих, это просто увлекательно.

      Парадоксы же, привлекли нас еще и тем, что вызвали не один кризис в обосновании математики (первый кризис в V веке  до н.э. и последний в первой  половине XX века).                                                                     Итак, цель нашей работы  доказать, что софизмы и парадоксы являются не просто интеллектуальным мошенничеством, а важным двигателем человеческой мысли. Показать практическое применение парадоксов и их актуальность и в наше время.

 Исходя из данной цели, мы ставим следующие задачи:

1. Рассмотреть математические софизмы с точки зрения их важности для изучения математики.
2. Попробовать отыскать грань между софизмом и парадоксом.
3. Попытаться классифицировать основные известные парадоксы.
4. Показать применение парадоксов в современной практике.

Глава 1. Историческая справка

§1. Из истории происхождения софизмов и парадоксов.

Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные»   действия или не учитываются условия применения теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности».

         Приведем примеры некоторых математических софизмов:

1.  . Найти ошибку в рассуждении: Имеем верное числовое равенство: 4:4=5:5.

Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1:1)=5(1:1).

Числа в скобках равны, поэтому 4=5 или .

(Ошибка допущена  в левой и правой частях тождества 4:4=5:5 при вынесении общего множителя за скобки).

2. Любое число равно его половине.

Возьмем два равных числа a и b, a=b. Обе части этого равенства умножим на а и затем вычтем из произведения по b2. Получим: a2-b2= ab- b2, или (a+b)(a-b) =b (a-b).

 Отсюда a+b=b или а+а=а, так как a=b. Значит, 2а=а, или а=а/2.

(Ошибка: делить на a-b нельзя, так как a-b=0).

Софизмы обычно трактуются вскользь и с очевидным осуждением. В обычном и распространенном понимании софизм -  это умышленный обман, основанный на нарушении правил. Но обман тонкий и завуалированный, так, что его не сразу и не каждому удается раскрыть. Цель софизма – выдать ложь за истину.  

             Считается, что прибегать к софизму предосудительно, как и вообще обманывать и внушать ложную мысль, зная, в чем заключается истина.

             Софизмы связывают с недостаточной самокритичностью ума и неспособностью сделать надлежащие выводы. Нередко софизм представляет собой просто защитную реакцию незнания или невежества, нежелающего признать свое бессилие и уступить знанию.

             В юриспруденции софизм традиционно считается помехой  в споре. Использование софизмов уводит рассуждение в сторону: вместо выбранной темы приходится говорить о правилах и принципах логики. Вот пример древнего софизма: «Вор не желает приобрести ничего дурного; приобретение хорошего - есть дело хорошее; следовательно, вор желает хорошего».

            Стандартное истолкование софизма: Софизм - это мнимая проблема.

             Красивым примером «мнимой мудрости» является софизм «Электра»:

В одной из трагедий Еврипида есть сцена, в которой Электра и Орест, брат и сестра встречаются после долгой разлуки. Знает ли Электра своего брата? Да она знает Ореста. Но вот он стоит перед ней  непохожий на того, которого она видела в последний раз, и она не знает, что этот человек – Орест. Значит, она знает, то, что она не знает?                                                                Аристотель пытался разрешать подобные софизмы, ссылаясь на двусмысленность глагола «знать». Но ограничиваться только ссылкой на двусмысленность глагола не стоит.                                                                Важней другой вопрос: могут ли считаться истинными знания о предмете, если их не удается поставить в соответствие с самим предметом?

             Знание никогда не бывает полным, никогда не приобретает окончательных окостенелых очертаний. Введение новых, значимых элементов, нередко заставляет перестроить всю систему знания.

             Здесь фиксируется живое противоречие между наличием знания о предмете и опознанием этого предмета. О том, насколько важным является такое противоречие, говорит вся история теоретической науки и, в особенности, развитие современной высокоабстрактной науки. Поэтому,  роль софизмов не однозначна.                                                                Первое неоспоримое достоинство софизмов – они заставили древних анализировать язык.                                                                        Действительно, многие софизмы только выглядят как, лишенная смысла и цели, игра с языком. Игра, строящаяся на многозначности языковых выражений, их неполноте, зависимости значений от контекста, недоказанности и т.д.                                                                                Для примера возьмем еще один, ставший знаменитым еще в древности, софизм «рогатый»:

             Что ты не терял – то имеешь. Рога ты не терял; значит у тебя рога.

              Этот  софизм кажется особенно наивным и несерьезным. Понятно, что он не убедит даже простака. Но он оттачивает красноречие. Он заставляет искать аргументы для его опровержения. Учитывая, что софизм появился на заре цивилизации – это уже немало.                                                        Все софические игры и шутки, увертливость в споре, склонность отстаивать самое нелепое положение, с одинаковой легкостью говорить «за» и «против» любого тезиса - все это только поверхность, за которой скрывается глубокое и серьезное содержание. Оно не осознавалось ни самими софистами, ни их противниками, включая Платона и Аристотеля, но оно очевидно сейчас.                                                                                        Итак, что появилось, благодаря  софистам? Абстрагирующая деятельность, объектом которой стал язык. В словесных упражнениях, какими были софистические рассуждения,  неосознанно отрабатывалось первые, еще не ловкие приемы логического анализа языка и мышления. А превращение языка в серьезный предмет особого анализа, в объект систематического исследования было первым шагом в направлении создания науки логика.                Софизмы содействовали строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики.                 Действительно, уяснение ошибок в математическом рассуждении часто содействовало развитию математики.                                                        Особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида  о параллельных прямых. Одна из формулировок этой теоремы такова: «Через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной».                                                                Это утверждение на протяжении более чем двух тысячелетий пытались доказать, т.е. вывести из остальных аксиом многие выдающиеся математики.

 Поясним, что аксиомой называется исходное положение, принимаемое без доказательств.                                                                                                Все попытки доказать V постулат Евклида не увенчались успехом.

 Однако, многочисленные «доказательства» этого постулата  принесли немало пользы.                                                                                                 Понятно, что, отыскивая ошибку в «доказательстве» утверждения, что половина равна целому, мы не обязательно откроем новое направление в математике, но задуматься над законами логики и языка ведь тоже полезно? Значит, софизмы все-таки внесли свой вклад в развитие математики.

             Посмотрим,  а  может ли привести к новому направлению в математике парадокс? И чем парадокс отличается от софизма?                                Парадокс в широком смысле – это утверждение, резко расходящееся с общепринятыми, устоявшимися мнениями.                                         Парадокс в современном значении – это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются представляющиеся убедительными аргументы.                                                                        Грань между софизмом и парадоксом не является сколько-нибудь определенной.                                                                                                  В случае многих конкретных рассуждений невозможно решить на основе стандартных определений софизма и парадокса, к какому из этих двух классов следует отнести суждение.                                                                         В разных источниках, мы  встречали термин «апории» (греч. «затруднение») по отношению и к софизмам и к парадоксам.                                 Даже в отношении таких знаменитых «апорий», как  «Покрытый», «Протагор и Еватл» не решено, относить их к софизмам или парадоксам. Однако это лишь подогрело наш интерес к проблеме софизмов и парадоксов.        Попытка систематизировать и классифицировать парадоксы по некоторому основанию весомых результатов не принесла даже у великих математиков, поэтому, мы, естественно, не стремимся  побить все рекорды и классифицировать парадоксы. Мы попытаемся распределить их в контексте заинтересовавших нас проблем.

Глава 2. Теоретическая часть

§1. Софизмы. Классификация ошибок

1.1. Логические

Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической  форме (Силлогизм - тонкий, хитрый ход (для подтверждения или доказательства чего-либо)), то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма. Наиболее типичными источниками логических софизмов являются следующие нарушения правил силлогизма:

1.  Вывод с отрицательной меньшей посылкой в первой фигуре: «Все люди суть разумные существа, жители планет не суть люди, следовательно, они не суть разумные существа».

2. Вывод с утвердительными посылками во второй фигуре: «Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания её; вы - против наказания её, значит, вы находите её невинной».

3. Вывод с общим заключением в третьей фигуре: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено».

4. Особенно распространённая ошибка «Учетвере́ние те́рминов» (лат. quaternio terminorum),  то есть употребление среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении: «Все металлы –  простые тела, бронза - металл: бронза - простое тело» (здесь в меньшей посылке слово «металл» употреблено не в точном химическом значении слова, обозначая сплав металлов): отсюда в силлогизме получаются четыре термина.

1.2. Терминологические

Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы (всякое «Учетвере́ние те́рминов» (лат. quaternio terminorum) предполагает такое словоупотребление); наиболее характерные:

1. Ошибка гомонимия (лат. aequivocatio), например: реакция, в смысле химическом, биологическом и историческом; доктор это как врач и как учёная степень.

2. Ошибка сложения - когда разделительному термину придается значение собирательного. Все углы треугольника больше 2 р в том смысле, что сумма меньше 2 р.

3. Ошибка разделения, обратная, когда собирательному термину дается значение разделительного: "все углы треугольника равны 2 р" в смысле "каждый угол равен сумме 2 прямых углов".

4. Ошибка ударения, когда подчёркивание повышением голоса в речи и курсивом в письме определенного слова или нескольких слов во фразе искажает её первоначальный смысл.

5. Ошибка выражения, заключающаяся в неправильном или неясном для уразумения смысла построении фразы, например: сколько будет: дважды два плюс пять? Здесь трудно решить имеется ли в виду 2*2+5=9 или 2*(2+5)=14.

         Более сложные софизмы проистекают из неправильного построения целого сложного хода доказательств, где логические ошибки являются замаскированными неточностями внешнего выражения. Сюда относятся:

1. «Предвосхищение Основания»

 (лат. petitio principii) ошибка логическая в доказательстве, заключающаяся в том, что в качестве аргумента (основания), обосновывающего тезис, приводится положение, которое хотя и не является заведомо ложным, однако нуждается в доказательстве.

2. «Подмена Тезиса»

      (лат. ignoratio elenchi)  логическая ошибка в доказательстве, состоящая в том, что начав доказывать некоторый тезис, постепенно в ходе доказательства переходят к доказательству другого положения, сходного с тезисом. При этом происходит нарушение закона тождества по отношению к тезису: тезис на всем протяжении доказательства должен оставаться одним и тем же. Опасность этой ошибки заключается в том, что благодаря сходству доказанного положения с тезисом создается иллюзия о доказанности именно тезиса.

3. «A dicto secundum ad dictum simpliciter»

 Выражение, следующее от простого,  представляет заключение от сказанного с оговоркой к утверждению, не сопровождаемому этой оговоркой.

4. «Non sequitur»

представляет отсутствие внутренней логической связи в ходе рассуждения: всякое беспорядочное следование мыслей представляет частный случай этой ошибки.

1.3. Психологические

Психологические причины софизмов бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Во всяком обмене мыслей предполагается взаимодействие между 2 лицами, читателем и автором или лектором и слушателем, или двумя спорящими. Убедительность софизма предполагает два фактора: а - психические свойства одной и б - другой из обменивающихся мыслями сторон. Правдоподобность софизма зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.

§2. Классификация софизмов по темам математического цикла

Распределим некоторые  софизмы, помогающие  нам развить логическое мышление и проверить, насколько глубоко мы понимаем некоторые моменты курса математики.

2.1. Арифметические

Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы? Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.
 « Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В».

Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что А>В.                                                            

Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство А∙В>В·В, а вычитая из обеих его частей А·А, получим неравенство А∙В-А·А>В∙В-А·А, которое равносильно следующему:

                        А(В-А)>(В+А)(В-А).      (1)

После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что

                        А>В+А (2),

А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда

                                А>2В.

Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10.

(Ошибка: здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к неравенству (2)).                                                                                                 Действительно, согласно условию А>В, поэтому В-А<0.Это означает, что обе части неравенства (1) делятся на отрицательное число. Но согласно правилу преобразования неравенств при делении или умножении неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный. С учетом сказанного из неравенства (1) вместо неравенства (2) получим неравенство А<В+А, прибавив к которому почленно исходное неравенство В<А, получим просто исходное неравенство А+В<В+2А).

«Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его».

Возьмем  два произвольных положительных равных числа А и В и напишем и напишем для них следующие очевидные неравенства:

                          А> – В и В> – В.       (1)

Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство

     А·В>В·В, а после его деления на В, что вполне законно, ведь В>0, придем к выводу, что  

                                   А>В.              (2)

Записав же два других столь же бесспорных неравенства

                       В> – А и А> – А,                  (3)

Аналогично предыдущему получим, что В·А>А·А, а разделив на А>0, придем к неравенству

                       А>В.                           (4)

Итак, число А, равное числу В, одновременно и больше, и меньше его.

(Ошибка: здесь совершен неравносильный переход от одного неравенства к другому при недопустимом перемножении неравенств.)

Проделаем правильные преобразования неравенств.

Запишем неравенство (1) в виде А+В>0, В+В>0.

Левые части этих неравенств положительны, следовательно, умножая почленно оба эти неравенства

                     (А+В)(В+В)>0, или А>– В,

что представляет собой просто верное неравенство.

Аналогично предыдущему, записывая неравенства (3) в виде

                      (В+А)>0, А+А>0, получим просто верное неравенство В> – А).

2.2. Алгебраические

        Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

5 класс:    Упрощение выражений.

                  Единицы  измерения

6 класс:    Отрицательные и положительные числа

5 класс

( Тема: упрощение выражений)

5 = 6. 

        Возьмём числовое тождество:

35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки.

Получим:

5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9)

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки).

Получаем  5 = 6

(Ошибка: общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя).

( Тема: единицы измерений)

 Один рубль не равен ста копейкам  

Возьмем верное равенство:

1 р. = 100 к.,

Возведем его по частям в квадрат, получим:

1 р. = 10000 к.  

Таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

     (Ошибка: возведение в квадрат величин не имеет смысла, в квадрат возводятся только числа).

6 класс 

( Тема: отрицательные и положительные числа)

«Отрицательное число больше положительного».

        Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения:

                      а    и  – а

                     –с         с

        Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить пропорцию:

                   а    =   –а

                  – с         с

        Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>– с, следовательно, должно быть –а>с, т.е. отрицательное число больше положительного.

(Ошибка: данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны).

«Всякое положительное число является отрицательным» 

        Пусть п — положительное число.

Очевидно, 2п-1<2п. (1)

Возьмем другое произвольное положительное число а и  умножим обе части неравенства на (  – а):   – 2ап + а< – 2ап. (2)

Вычитая из обеих частей этого неравенства величину ( –  2ап),

получим неравенство а<0, доказывающее, что всякое положительное число  является отрицательным.

       (Ошибка: в софизме нарушено следующее правило: при умножении обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на  противоположный.)

2.3. Логические

               Кроме математических софизмов, существует множество других. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.

Полупустое и полуполное

«Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».

Равен ли полный стакан пустому?

Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.

Не знаешь то, что знаешь

«Знаешь ли ты то, о чём я хочу тебя спросить?» -  «Нет». – «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» - «Знаю». – «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».

Лекарства

«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».

Вор

«Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего».

Рогатый

«Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога».

Чем больше

«Чем больше я пью водки, тем больше у меня трясутся руки. Чем больше у меня трясутся руки, тем больше спиртного я проливаю. Чем больше я проливаю, тем меньше я выпиваю. Значит, чтобы пить меньше, надо пить больше».

Апельсин- планета

Земля, Марс и т. д. - круглые. Значит, все планеты круглые. Апельсин тоже круглый, значит апельсин - планета?

Сидящий стоит

«Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит».

Логический софизм 

Вход в парк некоего могущественного князя был запрещен. Если нарушитель попадался, его ожидала смерть, но ему предоставлялось право выбирать между виселицей и обезглавливанием. Он должен был что-то заявить, и если его утверждение было верно, его обезглавливали, а если ложно, то его вешали. Что нужно было заявить нарушителю, чтобы избежать установленного правила и остаться живым?

«Меня повесят, естественно».

Ты не человек

Я человек, ты не я, значит ты не человек.

Самое быстрое не догонит самое медленное

Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.
 Нет конца

Движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвертой части и т.д. до бесконечности.
Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда ее не достигнет.

Куча

Одна песчинка не есть куча песка. Если n песчинок не есть куча песка, то и n+1 песчинка - тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучу песка.

Может ли всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?

Если не может - значит, он не всемогущий. Если может - значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это камень.

Софизм «лгун»
         Вполне возможно, что лгун сознается в том, что он лгун. В таком случае он скажет правду. Но тот, который говорит правду, не есть лгун. Следовательно, возможно, что лгун не есть лгун. (Какая ошибка?)
«Софизм Кратила»

Диалектик Гераклит, провозгласив "все течет", пояснял, в одну и ту же реку нельзя войти дважды, когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. Кратил сделал и другие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, так как пока ты входишь, она уже изменится.

§3.  Парадоксы.

3.1 Бесконечный спуск на примере «парадокса Лжеца».

Парадокс Лжеца иногда называют «королем парадоксов»

Открыт он был в Древней Греции, но актуальность не потерял и в наши дни. В древнегреческом варианте этот парадокс звучал так:

 - Сказанное Платоном – ложно, - говорит Сократ.

 - То, что сказал Сократ – истина, - говорит Платон.

Возникает вопрос, кто из них высказывает истину, а кто ложь?                                           В простейшем варианте данного парадокса человек произносит всего одну фразу:

 «Я лгу».

         Действительно, истинно или ложно высказывание: «Я лгу»? Рассуждения по данному высказыванию идут по кругу. По другому, эти рассуждения называют «бесконечный спуск».

            Парадокс лжеца произвел громадное впечатление на греков. Вопрос, который в нем ставится, с первого взгляда абсолютно прост: лжет ли тот, кто говорит о том, что он лжет? Но ответ «да» приводит к ответу «нет». И размышление ничуть не проясняет ситуацию. За простотой вопроса открывается неясная и неизмеримая пустота.

По легенде, что Филлит Кросский покончил с собой, отчаявшись  разрешить данный парадокс. А Диодор Кронос уже в глубокой старости отказался от пищи до тех пор, пока не найдет решения, да так и умер.

            В средние века этот парадокс отнесли к «неразрешимым предложениям» и сделали его предметом систематического анализа.

          Потом его забыли. И только в XX веке развитие логики достигло того уровня, когда проблемы, стоящие за данным парадоксом стало возможно формулировать уже в строгих терминах.

          По исследованию данного парадокса написаны тома.

           В наше время парадокс «лжец» обычно считается характерным примером тех трудностей, к которым ведет смешение двух языков: предметного языка и, на котором говорится о лежащей вне языка действительности, о метаязыка, на котором говорят о самом предметном языке.  

           Интересные парадоксы, относящиеся к семантике, были открыты К. Греллингом и Л. Нельсоном. Формулируются они обычно так: «Некоторые слова, означающие свойства, обладают тем самым свойством, которое они называют».

Например, прилагательное «русский» само является русским, прилагательное «многосложное» само – многосложно и. т.д.

             Вообще, ученые считают, что логические антиномии должны рассматриваться не как проблемы, ожидающие немедленного решения, а как неисчерпаемый сырой материал для постоянного размышления.

           Интересен курьезный эпизод из школьной программы 40-х годов, приведенный в «Практической логике» А. А. Ивиным:

В учебнике логики для 8-го класса данный парадокс давался школьником в качестве разминки. И считалось, что большинство детей справляется с ним очень успешно.

Иногда к типу «бесконечного спуска» относят парадокс «Что было первым - курица или яйцо». Но  за этим вопросом нет ни какой-либо глубины, ни «бесконечного спуска». Данный вопрос – многозначен. И на каждый из отдельных вопросов ответить можно.

           Например, с точки зрения эволюции, первые птицы произошли от птеродактилей, так что можно переформулировать вопрос: что было первым птеродактиль или его яйцо. И дальше изучать проблемы эволюции.

           Если же говорить о конкретной курице, то она тем более не могла появиться из того конкретного яйца, которое снесла. Значит, вопрос разрешился сам собой.

         Вообще, парадокс интересен только в случае полной неразрешимости ситуации. Такие парадоксы еще называются антимониями.

             Казалось бы как может не разрешиться ситуация  создавшаяся в процессе банального спора. Однако…

3.2 Парадоксы о соглашениях и системах правил

             В основу первого известного парадокса из этой серии легло небольшое происшествие, случившееся в V веке до н.э. У знаменитого софиста Протагора был ученик по имени Еватл., обучавшийся праву. По заключенному между ними договору Еватл должен был заплатить за обучение, если он выиграет свой первый судебный процесс. Если же он первый процесс проиграет, он вообще не обязан платить. Однако, закончив обучение, Еватл, вообще, не стал участвовать в процессах. Это длилось довольно долго, терпение учителя иссякло, и он подал на своего ученика в суд. Таким образом, этот судебный процесс стал для Еватла первым. Свое требование Протагор обосновал так:

    - Каким бы не было решение суда, Еватл должен будет заплатить мне. Он либо выиграет свой первый процесс, либо проиграет. Если выиграет, то заплатит в силу нашего договора, если проиграет – в силу решения суда.

            Судя по всему, Еватл был способным учеником, поскольку он ответил Протагору:

    - Действительно, я либо выиграю процесс, либо проиграю его. Если выиграю, решение суда освободит меня от обязанности платить. Если решение суда будет не  в мою пользу, значит, я проиграл свой первый процесс и не заплачу в силу нашего договора.                                                Озадаченный таким оборотом дела, Протагор посвятил этому спору с Еватлом особое сочинение «Тяжба о плате».                                                        К сожалению, это сочинение не дошло до наших дней, но сам парадокс заинтересовал не одного математика.                                                Немецкий математик Г. Лейбниц, сам юрист, в своей докторской диссертации «Исследование о запутанных казусах в праве» попытался доказать, что запутанные случаи должны находить правильное решение на основе здравого смысла.                                                                        По мысли Лейбница, суд должен отказать Протагору за несвоевременностью предъявления иска, но оставить за ним право получения денег позже, после выигранного Еватлом процесса.                                        Но позже и в решении Лейбница математики нашли ошибку. Они показали, что в сущности, Лейбниц предлагает изменить задним числом формулировку договора и оговорить, что первым с участием Еватла судебным процессом, исход которого решит вопрос об оплате не будет суд по иску Протагора.                                                                                        Пытались разрешить данный парадокс и другие юристы и математики. Некоторые ссылались на принцип, что каждый труд должен оплачиваться, но их противники, тут же в качестве контрпримера приводили рабовладельческое общество, где труд рабов не оплачивался.                         В общем, данный парадокс является неразрешимым. Такие ситуации довольно часты. Перефразировкой парадокса о  Протагоре и Еватле является парадокс о миссионере и людоеде:                                                                        Людоеды разрешили миссионеру выбрать, в каком виде его съесть. Он должен был привести какое-либо высказывание, если это высказывание истинно, его сварят, ложно – изжарят. (Миссионер должен сказать «Вы зажарите меня»).                                                                                Правда, у миссионера менее завидная доля, чем у Еватла. Если людоеды решат сдержать свое слово, то миссионер останется жив. Интересно, в племени людоедов любят рассуждать о морали и праве?

3.5 Парадоксы, связанные с теорией множеств

              Но на этом парадоксы, потрясшие математику, не закончились. Самым знаменитым из открытых уже в XX веке парадоксов, является парадокс Рассела.                                                                                                         Этот парадокс, по мнению Д. Гилберта, вызвал в математике «эффект полной катастрофы».                                                                                        Сразу же стало очевидным, что ни в логике, ни в математике за всю долгую историю их существования не было выработано решительно ничего, что могло бы послужить основой для устранения этого парадокса.                        Явным оказался необходимым отход от привычных способов мышления. Но из какого места, и в каком направлении? Насколько радикальным должен стать этот отказ?                                                        С дальнейшим исследованием данной антимонии убеждение в необходимости принципиально нового подхода росло.  И. Бар-Хиллел, и А. Френкель писали: «Мы полагаем, что любые попытки выйти из положения с помощью традиционных способов мышления, до сих пор неизменно проваливавшихся, заведомо недостаточны для этих целей.                                                        Итак, в чем же заключается этот парадокс? Начнем с определения множества.                                                                                                  Множество есть объединение в единое целое определенных вполне различимых элементов.                                                                        Относительно любого произвольно взятого множества представляется осмысленным спросить, является ли оно своим собственным элементом или нет.                                                                                                        Множество, не содержащее себя в качестве элемента, назовем обычным (например, множество, объединяющее всех людей – обычное).                Множества являющиеся собственными элементами будут необычными (например, множество, объединяющее все множества, представляет собой множество, а, значит, содержит себя в качестве элемента).                        Очевидно, что каждое множество является либо обычным, либо необычным. Поскольку множество всех обычных множеств есть множество, о нем тоже можно спрашивать, обычное оно или необычное.                                Если оно обычное, то не может содержать себя в качестве элемента, если необычное, то содержит себя в качестве элемента, но элементы данного множества – обычные множества. В итоге приходим к заключению, что множество всех обычных множеств не может быть ни обычным, ни необычном.                                                                                                Но почему оно не может существовать, ведь оно состоит из объектов, удовлетворяющих строго определенному условию, причем само условие не кажется каким – то исключительным или не ясным. Если столь просто и ясно заданное множество не может существовать, то в чем, собственно, заключается различие между возможным и невозможным множествами? Вывод о несуществовании рассматриваемого множества звучит неожиданно и внушает беспокойство. Он делает наше общее понятие множества аморфным и хаотичным, и нет гарантии, что оно не способно породить новые парадоксы.        Многие математики вообще предлагали отказаться от теории множеств. Однако, поскольку антимония Рассела не затрагивала непосредственно рассуждения и выводы в анализе и геометрии, в которые теория множеств внесла ряд интереснейших результатов, большинство математиков согласились с заявлением Д.Гилберта: никто не может изгнать нас из рая, который создал нам Кантор…». Предпринятые же с начала XX в. различные попытки преодоления антимонии Рассела привели к различным точкам зрения на существо понятий множества, число и других понятий, лежащих в основах математики.                                                                        Примером псевдопарадокса по аналогии парадокса Рассела является парадокс каталога:

         Можно ли создать каталог, в который входили бы только те каталоги, которые не содержат ссылку на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?                                                                                 Нетрудно доказать, что такой каталог создать нельзя. Следовательно, данная задача не парадокс.

Глава 3. Исследовательская часть

             Чтобы показать и подтвердить значимость софизмов и парадоксов в жизни, мы провели исследовательскую работу в сфере учебной деятельности (приложение). Данная работа была направлена

1. на развитие умения находить ошибку, анализировать и устранять ее;
2. на развитие логического мышления;
3. на формирование математической грамотности учащихся.

Исследование проводилось среди учащихся шестого, седьмого, восьмого и одиннадцатого классов.         В шестом классе был проведен урок – презентация, посвященный алгебраическим  софизмам по теме «Единицы измерения», а в седьмом  данного урока не проводилось. Затем по этой теме была проведена самостоятельная работа.                                                          По итогам самостоятельных работ средние баллы в каждом из классов разошлись. Так, средний балл в 6 классе составил – 4,2 , в 7 –  3,6. Ни один учащийся из 6 класса не допустил ошибку при решении задач на единицы измерения, когда в 7 классе 2 учащихся (25%) допустили ошибки в решении задач.                                                                                                  Такую же работу мы провели в 8 и 11 классах, где в первом из них был проведен урок – презентация, посвященный алгебраическим софизмам по теме «Равносильные уравнения», а затем проведена самостоятельная работа в каждом классе.                                                                                                В 8 классе средний балл был равен – 3,9, а в 11 классе – 3,1. Только один учащийся (14,3%)  8 класса допустил ошибку по данной теме, когда в 11 ошибки допустили 2 человек (40%).                                                                 Все полученные данные мы оформили в виде диаграмм (приложение), которые наглядно показали нам различия по уровню усвоения темы самостоятельной.                                                                                        Таким образом, проанализировав полученные результаты, мы сделали вывод, что ученики, разобравшие варианты возможных ошибок,  научились находить и устранять их. Ученики, не получившие данной информации, допустили различные ошибки по данной теме.

Заключение

              Приступив писать заключение, мы вспомнили о парадоксе описания чистого листа. Это описание бесконечно, как песенка  «У попа была собака, он ее любил…».                                                                                        Так же бесконечно хочется писать о парадоксе. И видимо, знание о парадоксе будет постоянно меняться, и никто никогда не скажет: «Я знаю о парадоксе все».                                                                                                 И от этого наша тема становится еще более  притягательной. Мы рассмотрели наиболее интересные софизмы и парадоксы, еще больше их не рассмотрели.                                                                                                Начав с «детских» софизмов «2х2=5», мы перешли в мир, в котором терялись и теряются великие математические умы всех столетий. В разные эпохи ученые искали выходы из парадоксов, предложенных великими математиками. Со стороны величайших математиков и философов апории подвергались разнообразной критике. Благодаря парадоксам Зенона, Демокрит из Абдеры впервые высказал идею о том, что отношение малых отрезков пути к соответствующим малым промежуткам времени остается конечным и определяет скорость движения. Как далека тогда еще было математика от дифференциального исчисления, но идея-то уже витала в воздухе. А  Диоген (приложение5)  пошел для опровержения другим путем, вернее он просто пошел, обратился непосредственно к опыту, встал и ни слова  не говоря, стал ходить возле своей бочки, в которой он проводил ночь.  Вот как описывает этот случай А.С. Пушкин:

Движенья нет, сказал мудрец брадатый.

Другой смолчал и стал пред ним ходить.

                                Сильнее бы не смог он возразить;

                                Хвалили все ответ замысловатый…                                        А вот здесь, по легенде, Пушкин ошибается, Диогена в этом случае побили, за подмену тезиса в споре.                                                                        И мы не будем больше уходить от темы и вернемся к поставленной перед собой цели.                                                                                         В своей работе мы доказали, что софизмы и парадоксы являются не просто интеллектуальным мошенничеством, а важным двигателем человеческой мысли. Показали практическое применение парадоксов и их актуальность и в наше время.                                                                        Мы рассмотрели математические софизмы с точки зрения их важности для изучения математики.                                                                        Выяснили, что грань между софизмом и парадоксом очень тонка, многие парадоксы в разных источниках называют софизмами, а софизмы парадоксами. Однако можно считать софизм мнимой проблемой. Парадокс это пара утверждений, которые в равной степени приемлемы, но которые в тоже время противоречат друг другу, т.е. не могут быть приняты вместе. То есть его-то мнимой проблемой назвать нельзя. Исключения составляют псевдопарадоксы, они чаще всего разрешимы.                                                         Классифицировать основные известные парадоксы трудно, даже невозможно, однако это не делает их менее привлекательными.                        Мы показать, что древнейшие парадоксы нашли свое если не решение, то отражение в современной науке. И вообще, парадоксальность - характерная черта современного научного познания.

Литература

1. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-Xкл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение,1983.

2. Клайн М. Математика. Поиск истины: Пер. с англ./под ред.и с предисл. В.И.Аршинова, А.Ю. Сачкова,- М.:-Мир,1988.

3. Микиша А.М. Орлов В.Б. Толковый математический словарь. Основные термины: около 2500 терминов.- М.:-Рус.яз.,1989. Ивлев Ю.В. Логика. - М.: Проспект, 2006.

Приложение

Диаграмма 1 

Средний балл выполнения самостоятельной работы

в шестом и седьмом классах

               Диаграмма 2                                                                     Диаграмма 3

Диаграмма 4

Средний балл выполнения контрольной работы десятых классах

Диаграмма 5                                                                    Диаграмма 6

Анкета

(Перед уроком – презентацией)

1. Укажите ваш возраст.
2. Укажите ваш пол.
3. Доводилось ли вам слышать подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем»?
4. Знакомо  ли вам понятия «Софизм», «Парадокс»?

(После урока – презентации)

1. Постарайся   дать определение этих понятий самостоятельно.
2. Надо ли знакомить учащихся на уроках с софизмами, парадоксами?
3. Как ты думаешь, для чего нужны софизмы, парадоксы?
4. Хотел бы ты больше узнать о софизмах, парадоксах?
5. Как ты считаешь, какую роль для тебя может сыграть более глубокое знакомство с софизмами, парадоксами?