Конспект урока «Перпендикуляр и наклонные: расстояние от точки до плоскости, расстояние от прямой до плоскости.»
план-конспект урока по геометрии (10 класс)

ФИО разработчика

Место работы

Класс (укажите класс, к которому относится урок):

10

Место урока

№

Тема урока

Перпендикуляр и наклонные: расстояние от точки до плоскости, расстояние от прямой до плоскости

Уровень изучения (укажите один или оба уровня изучения (базовый, углубленный), на которые рассчитан урок):

базовый

Тип урока (укажите тип урока):

• комбинированный урок

Планируемые результаты:

Личностные формирование ценностного отношения к математике как важному инструменту для описания и анализа окружающего мира.

Метапредметные стимулирование развития пространственного воображения и логики рассуждений;

разработка умений применять теоретический материал для решения практических задач.

Предметные знание определения перпендикуляра и наклонной, а также формул для нахождения расстояния от точки до плоскости и от прямой до плоскости; уметь вычислять расстояние от точки до плоскости, используя формулу; уметь строить перпендикуляр и наклонную к плоскости и понимать их свойства.

Ключевые слова (ПЛОСКОСТЬ, ПЕРПЕНДИКУЛЯР, РАССТОЯНИЕ, ПРОЕКЦИЯ, НАКЛОННАЯ):

Краткое описание (Урок по предмету «Геометрия» для 10 класса по теме «Перпендикуляр и наклонные: расстояние от точки до плоскости, расстояние от прямой до плоскости». Комбинированный урок. На уроке предусмотрено использование следующих типов электронных образовательных материалов: «Галерея изображений (группа изображений по одной тематике)», «Диагностическая работа», «Инструкция по выполнению задания в формате ГИА», «Инструкция по выполнению практической работы», «Интерактивная статья (параграф учебника)».)

БЛОК 1. Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала

Этап Мотивирование на учебную деятельность

Здравствуйте, дорогие ребята!

Сегодня у нас очень интересный урок, на котором мы будем изучать одну из важнейших тем в геометрии — перпендикулярные и наклонные линии, а также расстояние от точки до плоскости и от прямой до плоскости. Эти понятия играют ключевую роль во многих областях математики и физики, поэтому они помогут нам лучше понять устройство нашего трёхмерного мира.

На этом занятии мы узнаем, как правильно измерять расстояния в пространстве, какие существуют способы построения перпендикуляров и наклонных линий, а самое главное — как всё это применяется на практике. Мы решим несколько интересных задач и постараемся закрепить все новые знания.

Так что готовьте ваши карандаши, линейки и мозги — впереди нас ждут захватывающие приключения в мире геометрии!

Этап Актуализация опорных знаний

Для повторения изученных на предыдущих уроках понятий проведите фронтальный опрос. Затем предложите выполнить задания.

Задачи на чертежах

Найди расстояние от вершины B представленного многогранника до выделенной плоскости. Все ребра многогранников равны 1 см.

БЛОК 2. Освоение нового материала

Этап Осуществление учебных действий по освоению нового материала

На этом этапе необходимо ввести понятие «расстояние между скрещивающимися прямыми» и рассмотреть подходы к решению задач на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Интерактивная статья (параграф учебника)

Определение. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из них и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.

Действительно, a ⊂ a, A ∈ a, b⊂β, AB ⊥ β ⇒ AB ⊥ b.

Тогда длина отрезка AB — это расстояние между:

• плоскостями α и β;
• прямой a и плоскостью α;
• прямыми a и b.

Кроме того, AB — это общий перпендикуляр к прямым a и b. Сформулируем утверждение: для любых двух скрещивающихся прямых существует отрезок, перпендикулярный этим прямым, концы которого лежат на этих прямых. Проведи доказательство утверждения самостоятельно.

Определение. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок, который перпендикулярен этим прямым и концы которого лежат на этих прямых.

Таким образом, длина общего перпендикуляра скрещивающихся прямых равна расстоянию между этими прямыми.

БЛОК 3. Применение изученного материала

Этап Применение знаний, в том числе в новых ситуациях

На данном этапе урока для закрепления изученного теоретического материала проведите фронтальный опрос, используя предложенные задания.

Фронтальный опрос «Расстояние между скрещивающимися прямыми»

Диагностическая работа

Этап Выполнение заданий в формате ГИА (ОГЭ, ЕГЭ)

Предложите учащимся рассмотреть задания в формате ЕГЭ. Обратите внимание учеников на структуру задания второй части профильного ЕГЭ, а также прокомментируйте требования, которые предъявляются к решению на экзамене.

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=12 и BC=53. Длины боковых ребер пирамиды SA=5, SB=13, SD=10.

а)  Докажи, что SA перпендикулярна плоскости ABC.

б)  Найди расстояние от вершины A до плоскости SBC.

Проведем доказательство пункта а.

1. △SAB:AB=12, SA=5, SB=13. Заметим, что SB2=AB2+SA2, откуда по теореме, обратной теореме Пифагора, следует, что △SAB — прямоугольный с прямым углом А, откуда SA⊥AB.

2. △SAD : AD = BC = 53 (по свойству прямоугольника ABCD),
SA=5, SD=10. Аналогично первому треугольнику SD2 = AD2 + SA2, следовательно, △SAD — прямоугольный с прямым углом A и SA⊥AD.

3. Из 1 и 2 следует, что так как SA⊥AB и SA⊥AD, то SA перпендикулярна плоскости основания пирамиды, значит SA⊥ABC.

Решим задание под пунктом б.

Прямая CB перпендикулярна плоскости SAB, так как CB⊥AB (ABCD — прямоугольник), CB⊥SA
(SA перпендикулярна плоскости ABC). Опустим из
A перпендикуляр AH на SB, причем AH⊥CB. Поэтому его длина и есть расстояние от A до плоскости SBC. Из формулы площади треугольника SAB следует:

SA⋅AB=SB⋅AH, откуда AH=SA⋅ABSB=5⋅12/13=60/13

Ответ: 60/13.

БЛОК 4. Подведение итогов, домашнее задание

Этап Рефлексия

Ну вот, ребята, наш урок подошёл к концу. Подведём итоги того, чему мы сегодня научились.

Мы подробно разобрали такие важные понятия, как перпендикуляр и наклонная линия, а также узнали, как найти расстояние от точки до плоскости и от прямой до плоскости. Эти знания позволят вам глубже понимать структуру пространства и помогут в решении множества задач, которые могут встретиться как в школе, так и в будущем.

Вы молодцы! Все активно работали, задавали вопросы и помогали друг другу. Надеюсь, что вы поняли всю важность этих понятий и сможете применить их в дальнейших занятиях.

Не забывайте повторять пройденное и тренируйтесь решать задачи самостоятельно. Ведь практика — лучший способ закрепления материала.

Желаю вам успехов в учёбе и до встречи на следующем уроке!

Этап Домашнее задание

На уроке были рассмотрены две задачи в формате профильного ЕГЭ. Для закрепления умений решать геометрические задачи на доказательство, находить элементы фигуры, а также оформлять решение в соответствии с экзаменационными требованиями предложите учащимся выполнить домашнюю работу.

Расстояние от точки до плоскости в призме

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, AB=AC=5, BC=6. Высота призмы равна 3.

а) Докажи, что плоскость, проходящая через точки A, A1 и середину ребра B1C1, перпендикулярна прямой BC.

б) Найди расстояние от середины ребра B1C1 до плоскости BCA1.

Интерактивная статья (параграф учебника)