Сборник практических задач по геометрии для 8 класса
учебно-методический материал по геометрии (8 класс)

Е.И. Кузьменкова

Геометрические задачи

практического содержания

8 класс

Санкт-Петербург

2023

Иллюстрации И.А. Гольской

Кузьменкова Е.И. (автор-составитель) Геометрические задачи практического содержания – СПб, 2023. 34 с.

В сборнике представлены геометрические задачи практического содержания для учащихся 8 класса. Сборник включает в себя 5 тем, которые изучаются в 8 классе в курсе геометрии. Помимо задач практического содержания в каждой теме представлено задание «Дискуссия», при обсуждении которого учащиеся имеют возможность выразить свое мнение, касающееся вопроса задания.

Оглавление

Введение 1

Теорема Пифагора4

Площади…………..9

Окружность15

Четырехугольники..20

Подобие треугольников..24

Ответы..27

Введение

Разработанный сборник задач по геометрии практического содержания включает в себя задачи по темам, которые изучаются в курсе геометрии 8 класса, а именно:

1) Теорема Пифагора

2) Площадь

3) Окружность

4) Четырехугольники

5) Подобие треугольников

Каждая тема включает в себя помимо задач практического содержания, задание “Дискуссия”, которое дает возможность учащимся креативно подойти к поставленному вопросу, научиться отстаивать свою точку зрения с помощью аргументированного ответа, четко ставить вопросы для выступающих, проводить анализ, обобщение, сравнение ответов нескольких команд. А также уметь находить неточности и ошибки в выступлениях других команд, критически подходить к информации, которую представляет команда соперников.

Некоторые задачи, представленные в сборнике, являются вариативными и требуют от учащегося еще большего внимания при их решении. Решая данный тип задач, учащемуся необходимо рассмотреть всевозможные варианты расположения объектов, про которые идет речь в тексте задания, чтобы, предоставить содержательно полный и правильный ответ на вопрос задачи. Вариативность геометрических задач позволяет учащемуся понять, что рассмотрение всевозможных вариантов решения задачи дает возможность в некоторых случаях получить выгодное с различных точек зрения решение и ответ.

Решение задач практического содержания, как один из способов развития критического и креативного мышления, органично вписывается в урок по геометрии на различных его этапах (как на этапе мотивации, так и на закреплении изученного материала), а также данные задачи применимы на различных типах уроков. Задание” Дискуссия” целесообразно давать учащимся в качестве домашнего задания, чтобы у выступающих групп была возможность подготовить качественное выступление на урок, отведенный под данное задание, подробно изучить вопрос, поставленный перед ними.

Учащиеся имеют возможность убедиться в правильности своих ответов, сверив их с ответами, предложенными авторами в конце сборника. Также у учащихся есть возможность сверить чертежи к некоторым задачам в ответах.

1. Теорема Пифагора

1. Ученик 8 класса, чтобы добраться до дома, вышел из школы в направлении на запад и проехал на роликах 3 км, а затем повернул на юг и проехал 4 км и оказался дома.

Выберите верные утверждения и обоснуйте истинность верных и ложность неверных утверждений:

1. Расстояние от школы до дома равно 7 км
2. Путь, который ученик проехал на роликах меньше, чем расстояние от школы до дома
3. Расстояние от школы до дома равно 5 км
4. Путь, который проделал ученик от школы до дома в два раза больше чем расстояние от школы до дома

B) Петя и Лена вышли из дома. Петя пошел в направлении на юг, а Лена на восток. Какое расстояние будет между ребятами, если Петя прошел 800 метров, а Лена в два раза меньше?

C) Два учащихся вышли из школы по дорогам, составляющим прямой угол. Один учащийся за час прошел 3 км, второй – 4 км. Какое расстояние станет между учащимися через час\два часа? Может ли через два часа расстояние между учащимися быть равным 0 км? Обоснуйте свой ответ.

D) На двух столбах, высотой 6 и 10 метров сидят ястребы. Птицы заметили неподвижную добычу на земле, которая находилась в 9 метрах от первого столба и в 5 метрах от второго. Ястреб с какого столба поймает первым добычу, учитывая, что птицы взлетели одновременно и их скорости одинаковые?

E) Покупателю необходимо купить ноутбук, диагональ которого должна быть не менее 50см. При

покупке ноутбука,

на информационной табличке указана ширина и длина монитора. Какие варианты, предложенные ниже в таблице, подойдут покупателю?

F) Поместится ли в ведро цилиндрической формы с диаметром 9 см кирпич, размерами 6 см на 8 см на 10 см? Если нет, то диаметр какой минимальной длины должно иметь ведро, чтобы туда поместился данный кирпич?

G) Задание «Дискуссия»:

Вопрос для дискуссии: « Необходимо ли знание теоремы Пифагора при решении задач в повседневной жизни?»

• Учащимся необходимо разделиться на 2 группы:

1. Знание теоремы Пифагора необходимо при решении задач из жизни (Привести примеры задач, при решении которых целесообразно обратиться к теореме Пифагора, а также обратить внимание слушателей на то, что применение знаний теоремы Пифагора помогают рациональнее решить поставленную задачу; привести пример, где задача решается и без теоремы, но сложнее и дольше).
2. Знание теоремы Пифагора необязательно при решении задач из жизни (Привести примеры задач, которые решаются быстро и несложно без применения теоремы Пифагора)

• Задача оппонентов – опровергнуть точку зрения выступающих, приведя соответствующие аргументы (можно в форме задач), найти неточности или ошибочные рассуждения в выступлении команды соперников.
• В конце занятия учащиеся взвешивают все «За» и «Против» и приходят к общему выводу.

2. Площади

A) Вам необходимо выбрать наиболее бюджетный вариант материалов, которые необходимо купить в одном магазине одним чеком для ремонта комнаты. Стоит учитывать не только стоимость материалов, но и доставку при оформлении заказа.

Необходимо поклеить обои в комнате, в которой 4 стены прямоугольной формы размерами 7м на 3м каждая (высота потолков 3м). В одной из стен установлено окно с дверью в лоджию, окно с дверью занимает площадь в 3м². Необходимо постелить ламинат на пол (чтобы узнать площадь пола, необходимо обратиться к условию про стены в комнате).

B) При заполнении информации про участок владелец столкнулся с такой проблемой, что нашел в документах только размеры участка, но не нашел информации про площадь. Как владельцу вычислить площадь участка треугольной формы, размеры которого: a)12м, 17м,25 м; b)19м, 45м, 18м?

C) Покупателю предложили за одну и ту же стоимость купить участок площадью 15 соток (узнайте, сколько м² в 1 сотке) вместо участка в форме ромба, диагонали которого 50м и 34м. Какой участок выгоднее по метражу для покупателя? Пытались ли покупателя обмануть, уверяя, что первый участок по метражу больше?

D) Сколько необходимо купить пачек семян (1 пачка рассчитана на 5м²), чтобы засадить клумбу:

1. Прямоугольной формы размерами 11м на 13м

2. Треугольной формы размерами 3м, 4м, 5м

3. В форме квадрата со стороной 6м

4. В форме ромба с диагоналями 5м и 7м?

В магазине продавец предложил купить для участка в форме квадрата со стороной 6м вместо данных в условии пачек семян 11 пачек других семян по акции (1 пачка рассчитана на 3м² и пачки продаются только комплектом по 11 шт). Данный комплект стоит 903 руб., а пачки семян, описанные в условии, стоят 127 руб. Как лучше поступить покупателю, чтобы сэкономить? Предложил ли продавец магазина выгодное для покупателя предложение?

E) Хватит ли моляру банки краски, чтобы покрасить ступени и площадку изображенной на рисунке лестницы? Банка краски рассчитана на 60м².

F) Задание «Дискуссия»:

Вопрос для дискуссии: « Достаточно ли знать 1 формулу вычисления площади ромба для успешного решения задач из жизни?»

• Учащимся необходимо разделиться на 2 группы:

1. 1 формулы недостаточно для успешного решения задач на вычисление площади ромба (Привести примеры задач, где часть из них удобно решать, применяя первую формулу для вычисления площади ромба, а вторую часть задач, применяя вторую формулу; продемонстрировать, что не всегда рационально вычислять площадь ромба только с помощью одной формулы).
2. С помощью только 1 формулы можно решить задачу на вычисление площади ромба (Привести примеры задач, в которых достаточно знаний 1 формулы, чтобы быстро вычислить площадь ромба; привести аргументы, почему знание 1 формулы намного выигрышнее для учащегося, чем знание 2 формул при решении задачи).

• Задача оппонентов – найти неточности или ошибки в предложенных решениях задач, а также опровергнуть при возможности точку зрения выступающих, приведя соответствующие аргументы (могут быть в виде задач).
• В конце занятия учащиеся взвешивают все «За» и «Против» по предложенному вопросу и приходят к общему выводу.

3. Окружность

1. С центра озера и населенного пункта A одновременно отправились в пункт B, который расположен на берегу озера, лодочник и пешеход. Известно, что расстояние от пункта A до центра озера равно 1000 м, а расстояние от берега озера (пункта M) до пункта A равно 500м. Кто доберется быстрее, учитывая, что скорости пешехода и лодочника равны и прямая, обозначающая дорогу, по которой идет пешеход, является касательной к окружности (озеру)?

2. Задача про квадрокоптер:

Квадрокоптер взлетел на высоту 2 км над Землей, радиус которой приблизительно равен 6400 км. Как далеко камера квадрокоптера будет видеть?

3. Бабушка испекла пирог с капустой круглой формы для своих внуков: Пети, Саши, Антона, Миши и Ромы. Чтобы никого не обидеть, бабушка разрезала пирог на одинаковые кусочки в количестве равном числу ее внуков. Найдите градусную меру угла, заключенного между разрезами пирога.

4. У мастера есть спил дерева для декора. Ему необходимо разрезать спил на 18 равных кусков для дальнейшей с ними работы, как показано на рисунке. Чему равна градусная мера угла, заключенного между разрезами?

5. На рисунке показано расположение населенных пунктов (точки M, F, A, P), три из которых находятся на берегу озера в форме круга. Предложите как минимум 4 маршрута и укажите их протяженность, используя доступные пути (по озеру или по дорогам), если известно, что прямые MA и MF (дороги по рисунку) являются касательными к окружности (озеро), MF=11 км, AM=8 км, AO=10 км, PF=7 км.
6. Задание «Дискуссия»:

Вопрос для дискуссии: «Необходимы ли знания по данной теме в повседневной жизни?»

• Учащимся необходимо разделиться на 2 группы:

1. Знания по данной теме необходимы в повседневной жизни (Предложить примеры из жизни, в которых не обойтись без знаний по теме «Окружность», либо задачу из жизни рациональнее решать, обращаясь к знаниям именно по данной теме).
2. Можно обойтись без знаний по данной теме в повседневной жизни (Привести примеры из жизни, где можно проще и быстрее решить задачу, связанную с темой « Окружность», без знаний по данной теме, например, с помощью знаний по другим темам геометрии, либо с помощью знаний из других наук).

• Задача оппонентов – опровергнуть точку зрения выступающих, приведя соответствующие аргументы. Например, команда, считающая, что можно обойтись без знаний по данной теме, может предложить наиболее удобное решение задачи соперников без применения знаний по теме «Окружность». Аналогично может поступить команда, которая отвечает за то, что знания по теме необходимы.
• В конце дискуссии учащиеся взвешивают «За» и «Против» и приходят к общему выводу – необходимы знания или можно обойтись без них в реальной жизни.

4. Четырехугольники

1. На рисунке улицы Санкт-Петербурга образуют стороны четырехугольника ABCD , ∟B=2∟C. Найдите градусную меру ∟B, если ∟A+∟D=210°.

2. На рисунке представлен участок четырехугольной формы. FG||SH, ∟(GH; SH
3. )= 90°, FG=100м, GH=90м, SG=180м. Предложите 2 верных и 2 неверных утверждения по условию задачи (обоснуйте их истинность или ложность).
4. Для декорирования краев полотна необходимо купить тесьму «Вьюнок». Полотно имеет форму параллелограмма, смежные стороны которого равны 12 и 17 см.

1. Хватит ли 300 мм тесьмы для декорирования полотна?
2. В магазине рукоделия акция «Два по цене одного»: два рулона тесьмы, каждый из которых длиной 500 мм за 120 руб. А также тесьму можно купить «на развес», стоимость услуги – 18 руб./10 см. Какой вариант покупателю будет выгоднее выбрать для декорирования полотна, с вышеописанными размерами?
3. Выберите верные утверждения и обоснуйте их истинность:

A) Чтобы узнать, сколько по длине нужно тесьмы, недостаточно знать длины смежных сторон полотна;

B) Длины 2-х пар противоположных сторон полотна равны;

C) Чтобы узнать, сколько по длине нужно тесьмы, достаточно знать сумму длин противоположных сторон.

D) Рыбак находится на озере в (.)O. Точки A, B – уловистые места, закрепленные в навигаторе рыбака. Отрезок DC - береговая линия южной оконечности острова, где расположен лагерь. Точки A, B, C, D образуют ромб такой, что AB=10 км, AC=12 км. Хватит ли рыбаку бензина, чтобы добраться до берега, если в канистре осталось 5 литров, а расход составляет 1 л/км?

5. Задание «Дискуссия»:

Вопрос для дискуссии: «В каких областях профессиональной деятельности используются знания по теме «Четырехугольники»?»

• Учащимся необходимо разделиться на группы по 5-6 человек.
• Задача выступающей команды – представить самые яркие и удачные примеры использования знаний по теме «Четырехугольники» в выбранных профессиональных деятельностях.
• Задача оппонентов – оценить, насколько реальна и осуществима ситуация, описанная выступающими. А также не согласиться с приведенными примерами, если команда выдает за знания по теме «Четырехугольники» знания из других тем геометрии, например, подменяет знания по данной теме знаниями по теме «Треугольники» и т.п.
• В конце занятия проводится голосование среди учащихся, где решается, какая команда наиболее успешно и обоснованно представила свои идеи по данному вопросу.

5. Подобие треугольников

1. Друзья решили поговорить по рации, дальность действия которой 13 км. Витя находился дома на 8 этаже (высота 1 этажа приблизительно 3м), а Саша ростом 1,6м на улице в 2 км от здания напротив дома друга. Сработает ли рация у друзей?

2. Для нахождения высоты снежной горки поблизости от нее была воткнута в землю палка длиной 1,6 м. Тень палки составила 0,8м. Известно, что тень горки 3,5м. Найдите высоту горки.

3. Ниже представлен план дорог, связывающих между собой 3 села: Майское, Нижнее и Кирпичное. На плане указано, что автомобилист находится в 1 км от села Майское, которое расположено в 8 км от села Нижнее. От села Майское проложена дорога, протяженностью 4 км, соединяющая данное село с шоссе, по которому мог бы проехать автомобилист от своего места нахождения до Кирпичного, если бы не ремонтные работы. Какое минимальное количество км придется преодолеть автомобилисту, чтобы добраться до Кирпичного, учитывая, что дороги от Майского до шоссе и от Нижнего до Кирпичного параллельны.

4. Задание «Дискуссия»:

Вопрос для дискуссии: «В каких областях профессиональной деятельности человека необходимы знания по данной теме?»

• Учащимся необходимо разделиться на группы по 5-6 человек.
• Задача выступающей команды – представить самые яркие и удачные примеры использования знаний по теме «Подобие» в выбранных профессиональных деятельностях.
• Задача оппонентов – оценить, насколько реальна и осуществима ситуация, описанная выступающими. А также не согласиться с приведенными примерами, если команда выдает за знания по теме «Подобие» знания из других тем геометрии, например, подменяет знания по теме «Подобие» знаниями по теме «Равенство» и т.п.
• В конце занятия проводится голосование среди учащихся, где решается, какая команда наиболее успешно и обоснованно представила свои идеи по данному вопросу.

Ответы

1. Теорема Пифагора

A. 1) Ложь

2) Ложь

3) Истина

4) Ложь

B. 400 м

C. 5км; 10км

D. Ястреб со второго столба поймает добычу раньше.

E. №1 и №2

F. Не поместится. 10см

2. Площади

A. “Легкий ремонт”

B. a) 90

b) Участка треугольной формы с такими размерами не существует

C. Первый участок выгоднее. Да, пытались.

D. 1) 29

2) 2

3) 8

4) 4

Выгоднее покупать за 127 рублей. Продавец предложил невыгодное предложение.

E. Да, хватит.

3. Окружность

A. Лодочник быстрее.

B. 72

C. 20

E.

4. Четырехугольники

A. 100

C. На развес выгоднее.

1) Ложь

2) Ложь

3) Истина

D. Хватит

5. Подобие треугольников

A. Рация не сработает

B. 7

C. 45