Система оценивания образовательных достижений
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс)

Вариант 1

Задание 11. Геометрическая прогрессия (bn) задана условиями:

Найдите сумму первых пяти её членов.

Решение.

Геометрическая прогрессия – это прогрессия вида , где q - множитель, на который меняется следующее значение члена прогрессии. Из выражения  следует, что q=3. Сумма n членов геометрической прогрессии равна:

и при n=5 имеем:

Ответ: -847.

Задание 13. Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) вычисляется по формуле , где ω — угловая скорость (в с^-1) , R — радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 4 с^-1, а центростремительное ускорение равно 96 м/с2. Ответ дайте в метрах.

Решение.

Выразим радиус из формулы центростремительного ускорения:

.

Вычислим радиус R, подставив в формулу a=96 и ω = 4, получим:

 метров.

Ответ: 6.

Задание 15. Две сосны растут на расстоянии 15 м одна от другой. Высота одной сосны 30 м, а другой — 22 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.

Решение.

Первая сосна выше второй на 30-22=8 метров. Расстояние между ними 15 метров. Это два катета прямоугольного треугольника, а расстояние между их верхушками – гипотенуза этого треугольника, которая равна (по теореме Пифагора):

 метров.

Ответ: 17.

Задание 16. В треугольнике ABC известно, что угол BAC = 48°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Так как AD биссектриса угла BAC, то она делит этот угол пополам. Следовательно, угол BAD представляет собой половинку угла BAC и равен:

.

Ответ: 24.

Задание 17. Точка О — центр окружности, на которой лежат точки А, В и С. Известно, что углы ABC = 69° и OAB = 48°. Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ABC является вписанным углом, опирающийся на дугу AC. Известно, что градусная мера дуги, на которую опирается вписанный угол в 2 раза больше этого угла, то есть

.

Угол AOC – центральный и равен градусной мере дуги AC, на которую он опирается, то есть . Рассмотрим треугольник AOC – равнобедренный, так как AO=OC – радиусы окружности. Углы при основании этого треугольника равны, а сумма всех углов 180°, следовательно,

.

Тогда,

а угол

и угол BCO равен:

Ответ: 21.

Задание 18. Диагонали АС и BD трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О, ВС = 7, AD = 9, АС = 32. Найдите АО.

Решение.

Из рисунка видно, что треугольники BCO и AOD подобны друг другу. Следовательно, можно записать отношение

,

то есть точка O делит отрезок AC в отношении 7:9, отсчитывая от вершины C. Это означает, что весь отрезок AC можно разделить на 7+9=16 равных частей, 7 из которых составляет OC, а 9 – AO, то есть:

.

Ответ: 18.

Задание 19. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение.

Площадь треугольника можно найти как половину произведения его высоты (красная линия на рисунке) на длину его основания (синяя линия на рисунке):

Из рисунка видно, что высота h=4, основание a=5 и его площадь равна

.

Ответ: 10.

Задание 20. Какие из следующих утверждений верны?

1) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.

2) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.

3) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.

Решение.

1) Да, площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание, а высота всегда меньше длины оставшихся двух сторон.

2) Нет, вписанный угол в 2 раза меньше соответствующего ему центрального угла.

3) Да, можно.

Ответ: 13.

Задание 21. Решите уравнение 

Решение.

1. Найдем один из корней кубического уравнения. Для этого рассмотрим числа 1; -1 и 3; -3 (наименьшие делители свободного члена кубического уравнения). Путем подстановки каждого из этих числе вместо x, проверим, является ли один из них корнем (для этого уравнение должно быть равно 0):

- для x=1:  - не подходит;

- для x=-1:  - не подходит;

- для x= 3:  - подходит.

2. Теперь выполним деление кубического многочлена на x-3, воспользовавшись схемой Горнера, имеем:

3. Получаем квадратное уравнение для вычисления оставшихся двух корней:

Получили три корня 3; -3; -4.

Ответ: 3; -3; -4.

Задание 22. Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 21 км/ч. Через час после него со скоростью 15 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 9 часов после этого догнал первого.

Решение.

Обозначим через x км/ч скорость третьего велосипедиста. Перед выездом третьего велосипедиста первый ехал уже 2 часа и проехал 42 км, а второй ехал 1 час и проехал 15 км. Скорость сближения третьего со вторым равна x-15 км/ч. Следовательно, третий догнал второго через  часов. Скорость сближения третьего с первым равна x-21 и он догнал его через  часов. Так как третий догнал первого через 9 часов после того, как он догнал второго, можно записать равенство:

,

откуда

Решаем квадратное уравнение, получаем корни:

Так как скорость третьего велосипедиста не может быть меньше, чем у второго 15 км/ч, то получаем решение x = 25 км/ч.

Ответ: 25.

Задание 23. Постройте график функции

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение.

Построим график функции  при  и график функции  при .

Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки, если она проходит через вершину одной из парабол. Получаем, что m = -2,25 или m = 12,25.

Ответ: -2,25; 12,25.

Задание 24. Углы В и С треугольника ABC равны соответственно 71° и 79°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 8.

Решение.

Пусть R — радиус описанной окружности, тогда

.

Получаем, что

.

Ответ: 8.

Задание 25. Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках А и В, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой АВ. Докажите, что прямые АВ и IJ перпендикулярны.

Решение.

Точка I равноудалена от точек A и B, поэтому эта точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Аналогично, точка J лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Значит, прямая, содержащая точки I и J, является серединным перпендикуляром к отрезку AB. Следовательно, прямые IJ и АВ перпендикулярны.

Задание 26. Биссектриса СМ треугольника ABC делит сторону АВ на отрезки AM = 5 и MB =10. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку С, пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.

Решение.

По свойству биссектрисы треугольника

Углы DCA и DBC равны по свойству    угла между касательной и хордой (см. рис.). Следовательно, треугольники DAC и DCB подобны по двум углам.

Из этой системы уравнений находим, что CD = 10.

Ответ: 10.

Вариант 2

Задание 10. Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ: А) ; Б) ; В) .

ГРАФИКИ

Решение.

Графики и функции представляют собой гиперболы. Если перед дробью у функции гиперболы стоит знак минус, то график определен во II и IV четвертях системы координат, иначе, при положительном знаке, график определен в I и III четвертях. Множитель перед  «прижимает» график гиперболы к осям координат, и чем меньше множитель, тем сильнее график «прижат» к осям системы координат. Учитывая это, выберем графику соответствующую функцию, имеем:

А) функция имеет знак «+», график определен в I и III, множитель перед x равен 1/9, график сильно прижат к осям – это график под номером 3;

Б) функция имеет знак «+», график определен в I и III, множитель перед x равен 9, график не сильно прижат к осям, следовательно, это график под номером 2;

В) функция имеет знак «-», график расположен во II и IV четвертях, множитель перед x равен 9 – график не сильно прижат к осям – это соответствует графику под цифрой 1;

Ответ: 321.

Ответ задания: 231.

Задание 12. Найдите значение выражения   при x = 1,6.

Решение.

Сначала упростим выражение, получим:

И вычислим его при x=1,6:

.

Ответ: 4,5.

Задание 14. Укажите неравенство, решением которого является любое число.

1) ; 2) ; 3) ; 4) 

Решение.

1) В данном неравенстве выполняется сложение двух положительных чисел и задается условие, что эта сумма должна быть строго больше 0. Очевидно, что в качестве x здесь можно взять любое число.

2) Данное неравенство выполняется не при любых значениях x, например, при x=20 оно больше 0.

3) Это неравенство не имеет решений, т.к. сумма двух положительных чисел не может быть меньше нуля.

4) Данное неравенство выполняется не при любых x, например, при x=0 оно будет меньше 0.

Ответ: 1.

Задание 20. Какое из следующих утверждений верно?

1) Все равнобедренные треугольники подобны.

2) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

3) Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

Решение.

1) Нет, из условий подобия следует, что все стороны и углы треугольников пропорционально больше или меньше друг друга.

2) Да, диагонали взаимно перпендикулярны у квадрата, это частный случай прямоугольника.

3) Нет, сумма углов в любом треугольнике 180 градусов.

Ответ: 2.

Задание 21. Решите уравнение 

Решение.

1. Найдем один из корней кубического уравнения. Для этого рассмотрим числа 1; -1 и 2; -2 (делители свободного члена кубического уравнения). Путем подстановки каждого из этих чисел вместо x, проверим, является ли один из них корнем (для этого уравнение должно быть равно 0):

- для x=1:  - подходит (один из корней).

2. Теперь выполним деление кубического многочлена на x-1, воспользовавшись схемой Горнера, имеем:

3. Получаем квадратное уравнение для вычисления оставшихся двух корней:

Получили три корня -2; -1; 1.

Ответ: -2; -1; 1.

Задание 22. Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 21 км/ч. Через час после него со скоростью 15 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 9 часов после этого догнал первого.

Решение.

Обозначим через x км/ч скорость третьего велосипедиста. Перед выездом третьего велосипедиста первый ехал уже 2 часа и проехал 42 км, а второй ехал 1 час и проехал 15 км. Скорость сближения третьего со вторым равна x-15 км/ч. Следовательно, третий догнал второго через  часов. Скорость сближения третьего с первым равна x-21 и он догнал его через  часов. Так как третий догнал первого через 9 часов после того, как он догнал второго, можно записать равенство:

,

откуда

Решаем квадратное уравнение, получаем корни:

Так как скорость третьего велосипедиста не может быть меньше, чем у второго 15 км/ч, то получаем решение x = 25 км/ч.

Ответ: 25.

Задание 23. Постройте график функции

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение.

1. Если x<0, то

Последнее выражение соответствует графику параболы, ветви направлены вниз, координаты вершины , , то есть, (-2; 4).

Дополнительные точки для построения графика:

2. Если , то

Представляет собой график параболы, ветви направлены вверх, координата вершины ,  (3; -9).

Дополнительные точки для построения графика:

3. Построение графика (см. рисунок ниже).

Из графика видно, что прямая y=m имеет ровно две точки пересечения с графиком при m=-9 и 4 (см. красные линии на графике).

Ответ: -9; 4.

Задание 24. Углы В и С треугольника ABC равны соответственно 72° и 78°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 17.

Решение.

1. Рассмотрим треугольник ABC, в котором угол A, равен:

2. По теореме синусов, имеем:

,

где R – радиус описанной окружности. Отсюда следует, что

и

.

Ответ: 17.

Задание 25. Окружности с центрами в точках Е и F пересекаются в точках С и D, причём точки Е и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые CD и EF перпендикулярны.

Решение.

Треугольник CEF равен треугольнику DEF по трем сторонам, т.к. CE=DE (как радиусы одной окружности), EF – общая сторона (см. рисунок ниже). Тогда углы .

Рассмотрим треугольник CED – равнобедренный, EF – биссектриса угла E, следовательно, EF – высота и .

Задание 26. Биссектриса СМ треугольника ABC делит сторону АВ на отрезки AM = 9 и MB = 12. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку С, пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.

Решение.

1. Так как CM – биссектриса, то по свойству биссектрисы:

,

откуда

.

2. Угол ABC – вписанный и опирается на дугу AC, поэтому, угол ABC в 2 раза меньше градусной меры дуги AC:  и .

Угол ACD – это угол между касательной и хордой, следовательно,

И получаем, что , а треугольники CDB и ADC подобны по двум углам (так как угол D – общий). Для подобных треугольников можно записать следующее отношение:

,

откуда

 и .

Так как AD = DB-21, имеем:

Ответ: 36.

Вариант 3. 

Задание 8. В городе из учебных заведений имеются школы, колледжи, училища и институты. Данные представлены на круговой диаграмме.

Какие из утверждений относительно количества учебных заведений разных видов неверны, если всего в городе 30 учебных заведений?

1) В городе из учебных заведений больше всего школ.

2) В городе меньше 15 % всех учебных заведений — училища.

3) В городе примерно 1/8 всех учебных заведений — институты.

4) В городе больше 5 колледжей.

Решение.

1) Сегмент, отображающий школы, занимает более половины круга, следовательно, школ в городе больше всего.

2) Училища занимают примерно четверть всей диаграммы, то есть их около 25%, что больше 15%.

3) Институты имеют сегмент, примерно равный 1/8.

4) Сегмент колледжей примерно составляет 1/10, что соответствует 3-м колледжам.

Ответ: 24.

Задание 10. На рисунках изображены графики функций вида . Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

ГРАФИКИ

КОЭФФИЦИЕНТЫ: 1) a < 0, c > 0; 2) a > 0, c < 0; 3) a > 0, c > 0

Решение.

Множитель  перед  показывает куда направлены ветви параболы. Если a<0, то ветви направлены вниз, если a>0, то ветви направлены вверх. Слагаемое  отвечает за сдвиг графика параболы по оси Oy на соответствующую величину. Выполним анализ графиков и свяжем их с приведенными коэффициентами, получим:

В данном задании два графика А) и В) имеют ветви направленные вверх и отрицательное смещение по оси Oy. Следовательно, они оба имеют коэффициент a>0, а коэффициент c < 0 будет у графика с наибольшим отрицательным смещением по Oy, то есть у В), а значение c > 0 у графика А).

А) ветви вверх и коэффициент c>0 (см. выше), что соответствует варианту под номером 3;

Б) ветви вниз, это сразу указывает на вариант ответа под номером 1;

В) ветви вверх с коэффициентом c < 0 (см. выше), что соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 312.

Задание 11. Арифметическая прогрессия (an) задана условиями:

Найдите сумму первых шести её членов.

Решение.

Арифметическая прогрессия – это прогрессия вида , где d – разность прогрессии. Из выражения  следует, что d=12. Найдем сумму первых шести её членов по формуле

,

при n=6:

.

Ответ: 150.

Задание 12. Найдите значение выражения при x = 9,5, y = - 6.

Решение.

Сначала упростим выражение, получим:

.

Вычислим выражение, подставив вместо y=-6:

.

Ответ: -1,2.

Задание 13. Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле , где I — сила тока (в амперах), R — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 283,5 Вт, а сила тока равна 4,5 А. Ответ дайте в омах.

Решение.

Выразим сопротивление из формулы мощности, получим:

и найдем значение R при P=283,5 и I=4,5:

 Ом.

Ответ: 14.

Задание 14. Укажите решение неравенства

.

1) нет решений; 2) ; 3) (-7; 7); 4) .

Решение.

Перепишем неравенство в виде:

,

что соответствует (-7; 7), то есть варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3.

Задание 15. Проектор полностью освещает экран А высотой 70 см, расположенный на расстоянии 140 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от проектора нужно расположить экран В высотой 150 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ дайте в сантиметрах.

Решение.

Из рисунка видно, что маленький и большой треугольники подобны друг другу по двум углам (в целом у них равны все 3 угла, но для подобия достаточно равенства двух). Расстояние 140 см от проектора до экрана A – это высота в малом треугольнике (см. красная линия на рисунке). Расстояние x от проектора до экрана B – это та же высота, в большом треугольнике. Тогда можно записать следующие отношения:

,

откуда

 см.

Ответ: 300.

Задание 16. Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 19. Найдите площадь этого треугольника.

Решение.

Известно, что площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание, к которому эта высота проведена. В задании дано значение высоты h=19 и длина основания a=16. Тогда площадь треугольника равна

.

Ответ: 152.

Задание 17. Площадь круга равна 88. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 90°.

Решение.

Если центральный угол равен 90°, то закрашенный сектор в точности равен 1/4 от всего круга, так как . Так как вся площадь круга 88, то площадь сектора будет равна

.

Ответ: 22.

Задание 18. В ромбе ABCD угол ABC равен 134°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сумма всех углов в ромбе равна 360°, а противоположные углы равны. Следовательно, угол BCD равен:

.

Диагональ AC ромба является также биссектрисой углов BAD и BCD, следовательно, угол ACD в 2 раза меньше угла BCD:

.

Ответ: 23.

Задание 19. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне АС.

Решение.

Длина средней линии, параллельной стороне АС в 2 раза меньше стороны AC. Из рисунка видно, что AC=8 клеток, следовательно, длина средней линии равна 4 клетки.

Ответ: 4.

Задание 20. Какие из следующих утверждений верны?

1) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.

2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

3) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Решение.

1) Да, так как сумма углов в треугольнике 180°, то максимальное значение наименьшего из его углов равно 180:3=60° (случай равностороннего треугольника).

2) Нет, средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.

3) Да, касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Ответ: 13.

Задание 21. Решите уравнение 

Решение.

1. Извлечем кубический корень из левой и правой частей уравнения, получим:

2. Решаем квадратное уравнение, получаем два корня:

Ответ: 1; 5.

Задание 22. Два автомобиля одновременно отправляются в 950-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 18 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 4 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Решение.

Обозначим через x км/ч скорость первого автомобиля. Тогда скорость второго автомобиля равна x-18 км/ч. Первый проезжает путь в 950 км за  часов, а второй за  часов. Так как первый прибывает на 4 часа раньше второго, получаем уравнение:

,

откуда

Решаем квадратное уравнение:

Имеем только один положительный корень x=75 км/ч.

Ответ: 75.

Задание 23. Постройте график функции

Определите, при каких значениях k прямая у = kx не имеет с графиком общих точек.

Решение.

1. Если x < 0, то

определен при . График представляет собой часть гиперболы.

Точки для построения графика:

2. Если x > 0, то

определен при . График представляет собой часть гиперболы.

Точки для построения графика:

3. Построение графика

Прямая y=kx не имеет общих точек с графиком, при k=-1; 0 и 1 (см. красные линии на графике). Коэффициент k задает угол наклона линии y=kx, которая проходит через начало координат (0; 0). При этом k должен быть выбран так, чтобы прямая проходила через отсутствующие на графике точки (-1; -1) и (1; -1). Значения k можно вычислить, подставив значения этих координат в функцию:

При k = 0 прямая совпадает с осью Ox и также не имеет общих точек с графиком.

Ответ: -1; 0; 1.

Задание 24. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 24, BF = 18.

Решение.

У трапеции ABCD основания , следовательно, углы  как внутренние односторонние при параллельных прямых. По условию задачи AF и BF – биссектрисы соответствующих углов, тогда сумма углов

и, следовательно, угол  (так как сумма углов в треугольнике ABF равна 180 градусов). Таким образом, имеем прямоугольный треугольник AFB с гипотенузой AB, которую вычислим по теореме Пифагора:

Ответ: 30.

Задание 25. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ВСА и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.

Решение.

1. Рассмотрим треугольники BOC и AOD. Углы 1 и 2 равны по условию задания, а углы BOC и AOD равны как вертикальные. Следовательно, треугольники BOC и AOD подобны по двум углам.

Из подобия треугольников BOC и AOD можно записать отношение:

.

2. Треугольники AOB и DOC подобны, так как  и углы AOB и DOC равны между собой (как вертикальные углы). В подобных треугольниках их соответствующие углы равны, следовательно, , что то же самое, что и .

Задание 26. Точки М и N лежат на стороне АС треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки М и N и касающейся луча АВ, если .

Решение.

1. Треугольник AFM подобен треугольнику ANF по двум углам (угол A – общий, а ). Отсюда следует, что

2. Рассмотрим треугольник AFM. По теореме косинусов находим FM:

То есть, треугольник AFM – равнобедренный с основанием AF. Соответственно, углы при основании такого треугольника равны, получаем, , откуда

и .

3. Рассмотрим треугольник FMN. По теореме синусов, имеем:

,

где R – радиус описанной окружности. Откуда:

.

Ответ: 5,4.

Вариант 4.

Задание 8. В городе из учебных заведений имеются школы, колледжи, училища и институты. Данные представлены на круговой диаграмме.

Какие из утверждений относительно количества учебных заведений разных видов верны, если всего в городе 45 учебных заведений?

1) В городе более 30 школ.

2) В городе более трети всех учебных заведений — институты.

3) В городе школ, колледжей и училищ менее 15/16 всех учебных заведений.

4) В городе примерно четверть всех учебных заведений — училища.

Решение.

1) Не верно. Школы занимают чуть более половины от всех учебных заведений, то есть немногим более 45:2 = 22,5, что существенно меньше 30.

2) Не верно. Институты составляют примерно 1/8 от всех учебных заведений.

3) Верно. Так как институтов примерно 1/8, то все остальные учебные заведения составляют , что меньше 15/16.

4) Верно. Училища занимают примерно четверть от всех учебных заведений.

Ответ: 34.

Задание 9. На экзамене 20 билетов, Андрей не выучил 1 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение.

Найдено решение такого же или подобного задания

Источник: Вариант 4. Задание 9. ОГЭ 2018 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение

Задание 9. На экзамене 50 билетов, Сеня не выучил 5 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение.

Пусть событие A – Сеня выбрал выученный билет. Число благоприятных исходов для этого события равно 50-5=45. Общее число исходов 50. Получаем следующую вероятность события A:

.

Ответ: 0,9.

Ответ задания: 0,95.

Задание 10. На рисунках изображены графики функций вида . Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

ГРАФИКИ

КОЭФФИЦИЕНТЫ: 1) а > 0, с < 0; 2) а < 0, с > 0; 3) а > 0, с> 0

Решение.

Найдено решение такого же или подобного задания

Источник: Вариант 4. Задание 10. ОГЭ 2018 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение

Задание 10. На рисунках изображены графики функций вида . Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

ГРАФИКИ

КОЭФФИЦИЕНТЫ: 1) a < 0, c > 0; 2) a > 0, c < 0; 3) a > 0, c > 0

Решение.

Множитель  перед  показывает куда направлены ветви параболы. Если a<0, то ветви направлены вниз, если a>0, то ветви направлены вверх. Слагаемое  отвечает за сдвиг графика параболы по оси Oy на соответствующую величину. Выполним анализ графиков и свяжем их с приведенными коэффициентами, получим:

В данном задании два графика А) и В) имеют ветви направленные вверх и отрицательное смещение по оси Oy. Следовательно, они оба имеют коэффициент a>0, а коэффициент c < 0 будет у графика с наибольшим отрицательным смещением по Oy, то есть у В), а значение c > 0 у графика А).

А) ветви вверх и коэффициент c>0 (см. выше), что соответствует варианту под номером 3;

Б) ветви вниз, это сразу указывает на вариант ответа под номером 1;

В) ветви вверх с коэффициентом c < 0 (см. выше), что соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 312.

Ответ задания: 312.

Задание 11. Арифметическая прогрессия (an) задана условиями:

Найдите сумму первых восьми её членов.

Решение.

Найдено решение такого же или подобного задания

Источник: Вариант 4. Задание 11. ОГЭ 2018 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение

Задание 11. Арифметическая прогрессия (an) задана условиями:

Найдите сумму первых шести её членов.

Решение.

Арифметическая прогрессия – это прогрессия вида , где d – разность прогрессии. Из выражения  следует, что d=12. Найдем сумму первых шести её членов по формуле

,

при n=6:

.

Ответ: 150.

Ответ задания: -400.

Задание 12. Найдите значение выражения  при x = -7, y = 6,8.

Решение.

Упростим выражение, получим:

и при y=6,8 равно

.

Ответ: 1,7.

Задание 13. Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле , где I — сила тока (в амперах), R — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 650,25 Вт, а сила тока равна 8,5 А. Ответ дайте в омах.

Решение.

Найдено решение такого же или подобного задания

Источник: Вариант 4. Задание 13. ОГЭ 2018 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение

Задание 13. Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле , где I — сила тока (в амперах), R — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 283,5 Вт, а сила тока равна 4,5 А. Ответ дайте в омах.

Решение.

Выразим сопротивление из формулы мощности, получим:

и найдем значение R при P=283,5 и I=4,5:

 Ом.

Ответ: 14.

Задание 14. Укажите решение неравенства

.

1) [-7; 7]; 2) нет решений; 3) ; 4) 

Решение.

Перепишем неравенство в виде:

то есть, имеем промежуток , что соответствует ответу под номером 3.

Ответ: 3.

Задание 15. Проектор полностью освещает экран А высотой 240 см, расположенный на расстоянии 300 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от проектора нужно расположить экран В высотой 80 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ дайте в сантиметрах.

Решение.

Найдено решение такого же или подобного задания

Источник: Вариант 4. Задание 15. ОГЭ 2018 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение

Задание 15. Проектор полностью освещает экран А высотой 70 см, расположенный на расстоянии 140 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от проектора нужно расположить экран В высотой 150 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ дайте в сантиметрах.

Решение.

Из рисунка видно, что маленький и большой треугольники подобны друг другу по двум углам (в целом у них равны все 3 угла, но для подобия достаточно равенства двух). Расстояние 140 см от проектора до экрана A – это высота в малом треугольнике (см. красная линия на рисунке). Расстояние x от проектора до экрана B – это та же высота, в большом треугольнике. Тогда можно записать следующие отношения:

,

откуда

 см.

Ответ: 300.

Ответ задания: 100.

Задание 16. Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна 23. Найдите площадь этого треугольника.

Решение.

Найдено решение такого же или подобного задания

Источник: Вариант 4. Задание 16. ОГЭ 2018 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение

Задание 16. Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 19. Найдите площадь этого треугольника.

Решение.

Известно, что площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание, к которому эта высота проведена. В задании дано значение высоты h=19 и длина основания a=16. Тогда площадь треугольника равна

.

Ответ: 152.

Ответ задания: 161.

Задание 17. Площадь круга равна 72. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 90°.

Решение.

Найдено решение такого же или подобного задания

Источник: Вариант 4. Задание 17. ОГЭ 2018 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение

Задание 17. Площадь круга равна 88. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 90°.

Решение.

Если центральный угол равен 90°, то закрашенный сектор в точности равен 1/4 от всего круга, так как . Так как вся площадь круга 88, то площадь сектора будет равна

.

Ответ: 22.

Ответ задания: 18.

Задание 18. В ромбе ABCD угол ABC равен 40°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Найдено решение такого же или подобного задания

Источник: Вариант 4. Задание 18. ОГЭ 2018 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение

Задание 18. В ромбе ABCD угол ABC равен 134°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сумма всех углов в ромбе равна 360°, а противоположные углы равны. Следовательно, угол BCD равен:

.

Диагональ AC ромба является также биссектрисой углов BAD и BCD, следовательно, угол ACD в 2 раза меньше угла BCD:

.

Ответ: 23.

Ответ задания: 70.

Задание 19. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне АС.

Решение.

Найдено решение такого же или подобного задания

Источник: Вариант 4. Задание 19. ОГЭ 2018 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение

Задание 19. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне АС.

Решение.

Длина средней линии, параллельной стороне АС в 2 раза меньше стороны AC. Из рисунка видно, что AC=8 клеток, следовательно, длина средней линии равна 4 клетки.

Ответ: 4.

Ответ задания: 3.

Задание 20. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

2) Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

3) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

Решение.

1) Не верно, еще должен быть равен угол между ними.

2) Верно, средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

3) Верно, длина гипотенузы меньше суммы длин его катетов.

Ответ: 23.

Задание 21. Решите уравнение 

Решение.

Возьмем корень третьей степени из обеих частей уравнения, получим:

Решим квадратное уравнение:

Ответ: 2; 4.

Задание 22. Два автомобиля одновременно отправляются в 840-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 4 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Решение.

Найдено решение такого же или подобного задания

Источник: Вариант 4. Задание 22. ОГЭ 2018 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение

Задание 22. Два автомобиля одновременно отправляются в 950-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 18 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 4 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Решение.

Обозначим через x км/ч скорость первого автомобиля. Тогда скорость второго автомобиля равна x-18 км/ч. Первый проезжает путь в 950 км за  часов, а второй за  часов. Так как первый прибывает на 4 часа раньше второго, получаем уравнение:

,

откуда

Решаем квадратное уравнение:

Имеем только один положительный корень x=75 км/ч.

Ответ: 75.

Ответ задания: 60.

Задание 23. Постройте график функции

Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.

Решение.

1. Если x < 0, то

определена при  и представляет собой график части гиперболы.

Точки для построения графика:

2. Если x > 0, то

определена при и собой график части гиперболы.

Точки для построения графика:

3. Построение графика

Прямая y=kx не имеет общих точек с графиком, при k=-16; 0 и 16 (см. красные линии на графике). Коэффициент k задает угол наклона линии y=kx, которая проходит через начало координат (0; 0). При этом k должен быть выбран так, чтобы прямая проходила через отсутствующие на графике точки (-1/4; -4) и (1/4; -4). Значения k можно вычислить, подставив значения этих координат в функцию:

При k = 0 прямая совпадает с осью Ox и также не имеет общих точек с графиком.

Ответ: -16; 0; 16.

Задание 24. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 24, BF = 7.

Решение.

Найдено решение такого же или подобного задания

Источник: Вариант 33. Задание 24. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение

Задание 24. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 24, BF = 18.

Решение.

У трапеции ABCD основания , следовательно, углы  как внутренние односторонние при параллельных прямых. По условию задачи AF и BF – биссектрисы соответствующих углов, тогда сумма углов

и, следовательно, угол  (так как сумма углов в треугольнике ABF равна 180 градусов). Таким образом, имеем прямоугольный треугольник AFB с гипотенузой AB, которую вычислим по теореме Пифагора:

Ответ: 30.

Ответ задания: 25.

Задание 25. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.

Решение.

1. Треугольники ABO и DCO подобны по двум углам ( по условию и  как вертикальные углы). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

    (*)

2. Треугольники BOC и DOC подобны, так как  как вертикальные и выполняется условие (*) (по двум пропорциональным сторонам и равным углам, заключенными между ними).

3. В подобных треугольниках соответствующие углы равны, следовательно, , что то же самое, что и .

Задание 26. Точки М и N лежат на стороне АС треугольника ABC на расстояниях соответственно 18 и 40 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки М и N и касающейся луча АВ, если .

Решение.

Найдено решение такого же или подобного задания

Источник: Вариант 4. Задание 26. ОГЭ 2018 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение

Задание 26. Точки М и N лежат на стороне АС треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки М и N и касающейся луча АВ, если .

Решение.

1. Треугольник AFM подобен треугольнику ANF по двум углам (угол A – общий, а ). Отсюда следует, что

2. Рассмотрим треугольник AFM. По теореме косинусов находим FM:

То есть, треугольник AFM – равнобедренный с основанием AF. Соответственно, углы при основании такого треугольника равны, получаем, , откуда

и .

3. Рассмотрим треугольник FMN. По теореме синусов, имеем:

,

где R – радиус описанной окружности. Откуда:

.

Ответ: 5,4.

Ответ задания: 13,5.

Вариант 6

Задание 7. В начале учебного года в школе было 1250 учащихся, а к концу учебного года их стало 950. На сколько процентов уменьшилось за учебный год число учащихся?

Решение.

Пусть 1250 учащихся – это 100%, а 950 – это x%. Тогда будет справедливо отношение:

,

откуда

 %.

Таким образом, число учащихся снизилось на 100-76=24%.

Ответ: 24.

Задание 8. На диаграмме показано распределение земель Уральского федерального округа по категориям. Определите по диаграмме, земли какой категории преобладают.

*Прочие земли — это земли поселений; земли промышленности и иного специального назначения; земли особо охраняемых территорий и объектов.

1) земли лесного фонда

2) земли сельскохозяйственного назначения

3) земли запаса

4) прочие земли

Решение.

Чем больше сектор на круговой диаграмме, тем больше земли данного назначения. Из рисунка видно, что самый большой сектор соответствует земли лесного фонда, то есть, имеем вариант под номером 1.

Ответ: 1.

Задание 9. Родительский комитет закупил 15 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 12 с машинами и 3 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 15 детьми, среди которых есть Миша. Найдите вероятность того, что Мише достанется пазл с машиной.

Решение.

В задаче сказано, что все 15 пазлов распределяются случайным образом среди 15 детей, то есть все пазлы будут распределены. Обозначим через событие A то, что Мише достанется пазл с машиной. Число благоприятных исходов для события A равно 12 (всего 12 пазлов с машинами). Всего исходов 15, следовательно, искомая вероятность, равна:

.

Ответ: 0,8.

Задание 10. На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

ГРАФИКИ

КОЭФФИЦИЕНТЫ: 1) k<0, b<0; 2) k>0, b>0; 3) k<0, b>0

Решение.

Коэффициент k в уравнении прямой отвечает за угловой коэффициент между прямой и осью Ox. Если k>0, то прямая с осью Ox образует острый угол, если k<0, то тупой угол. Параметр b отвечает за сдвиг графика прямой по оси Oy. Если b>0, то имеем сдвиг вертикально вверх, при b<0 – вертикально вниз. Проанализируем графики и свяжем их с коэффициентами, получим:

А) Прямая образует тупой угол с осью Ox и смещена вверх (видно при x=0) по оси Oy. Следовательно, k<0, b>0 – это вариант коэффициентов под номером 3.

Б) Прямая также образует тупой угол и смещена вниз, значит k<0, b<0 – коэффициенты под номером 1.

В) Прямая образует острый угол (k>0) и это только один вариант коэффициентов под номером 2.

Ответ: 312.

Задание 11. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: -7; -4; -1; ... Найдите сумму первых шести её членов.

Решение.

Сначала найдем разность d арифметической прогрессии по формуле

Теперь найдем шестой член арифметической прогрессии по формуле  при n=6, получим:

.

Тогда сумму первый шести членов можно вычислить как

при n=6, имеем:

.

Ответ: 3.

Задание 12. Найдите значение выражения  при a = 20, x = 40.

Решение.

Упростим выражение, получим:

.

Подставим вместо a=20 и x=40:

.

Ответ: 0,5.

Задание 13. Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) вычисляется по формуле a=w^2*R, где w — угловая скорость (в с-1), R — радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 6 с-1, а центростремительное ускорение равно 18 м/с2. Ответ дайте в метрах.

Решение.

В задаче дана формула центростремительного ускорения  и значения ускорения a=18 и угловой скорости w=6. Найдем радиус R из данного уравнения, имеем:

и, подставляя числовые значения, находим:

 метра.

Ответ: 0,5.

Задание 14. Укажите решение системы неравенств 

Решение.

Перепишем систему неравенств в следующем виде:

то есть , что соответствует решению под номером 3.

Ответ: 3.

Задание 15. Фонарь закреплён на столбе на высоте 5,4 м. Человек стоит на расстоянии 6 м от столба и отбрасывает тень длиной 3 м. Какого роста человек? Ответ дайте в метрах.

Решение.

На рисунке ниже показана сцена из задачи. Требуется найти рост человека, то есть значение x.

Можно заметить, что имеются два подобных треугольника: малый и большой, для которых можно записать следующее соотношение:

,

откуда

 метра.

Ответ: 1,8.

Задание 16. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 48°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Так как треугольник прямоугольный, то имеем два известных угла и нужно найти третий угол. Учитывая, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, получаем для третьего угла

.

Ответ: 42.

Задание 17. В окружности с центром в точке О отрезки АС и BD — диаметры. Угол AOD равен 44°. Найдите угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сначала найдем градусную меру дуги AB, на которую опирается вписанный угол ACB. Так как АС и BD — диаметры, то градусная мера дуг AD=BC и равна 44°, так как дуга AD равна градусной мере центрального угла AOD. Дуги AB=CD также равны между собой, следовательно, градусная мера дуги AB, равна

Значение вписанного угла в 2 раза меньше дуги AB, на которую он опирается, то есть

.

Ответ: 68.

Задание 18. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 5 и 6.

Решение.

Площадь ромба можно найти через его диагонали по формуле

.

В данной задаче d1=5, d2=6 и площадь равна

.

Ответ: 15.

Задание 19. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

Решение.

Катеты – это стороны треугольника, исходящие из прямого угла. Из рисунка видно, что длина больше катета (синяя линия) составляет 8 клеток.

Ответ: 8.

Задание 20. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.

2) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.

3) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

Решение.

1) Не верно.

2) Верно. Сумма всех углов в треугольнике всегда 180 градусов, прямой угол 90 градусов, значит, два оставшихся острых угла равны в сумме 90 градусам.

3) Верно.

Ответ: 23.

Задание 21. Сократите дробь .

Решение.

Учитывая, что  и , получим:

Ответ: 100.

Задание 22. Имеются два сосуда, содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 65 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Решение.

Пусть x% - концентрация первого раствора и y% - концентрация второго раствора. Тогда величину кислоты, содержащейся в первом растворе можно определить как , а во втором растворе как . В задаче сказано, что если объединить эти два раствора, то получится раствор 65% кислоты, то есть величина кислоты в объединенном растворе будет равна . Имеем уравнение

.

Также в задаче сказано, что при равных объемах растворов получается раствор 60% кислоты, то есть можно записать, что

Получаем систему двух уравнений:

Умножим второе уравнение на 12

и вычтем из первого, получим:

Таким образом, второй раствор имеем концентрацию 35% и кислоты во втором растворе равно

 кг.

Ответ: 2,8.

Задание 23. Постройте график функции

.

Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение.

Найдено решение такого же или подобного задания

Источник: Вариант 5. Задание 23. ОГЭ 2017 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение

Задание 23. Постройте график функции

.

Определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение.

1. ОДЗ функции .

2. Упростим выражение функции, получим:

.

3. Запишем функцию при x<0 и , тем самым избавимся от модуля:

- для x<0 функция принимает вид:

с множеством точек для построения:

- для  функция имеет вид

и следующее множество точек:

4. Построим по данным точкам график (см. рисунок ниже).

Прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки при m=1 (см. красная линия на рисунке).

Задание 24. Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 150°, a CD = 26.

Решение.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CDH, в котором угол . Так как косинус угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, то можно записать, что

,

откуда

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM, в котором AM=CH. Известно, что синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то есть, имеем:

,

откуда

.

Подставляя вместо AM найденное ранее числовое значение, получаем:

.

Ответ: 13√2.

Задание 25. Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.

Решение.

Найдено решение такого же или подобного задания

Источник: Вариант 5. Задание 25. ОГЭ 2017 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение

Задание 25. Точка Е — середина боковой стороны АВ трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Решение.

Из рисунка видно, что площадь треугольника ECD можно выразить как

.

Площадь трапеции можно вычислить как произведение средней линии трапеции  на высоту HH1, то есть

.

Площади треугольников BCE и AED равны

Тогда, площадь треугольника ECD равна

.

Учитывая, что , получаем:

То есть площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции ABCD.

Задание 26. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение.

Найдено решение такого же или подобного задания

Источник: Вариант 5. Задание 26. ОГЭ 2017 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение

Задание 26. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение.

1. По условию задачи биссектриса BE и медиана AD пересекаются под прямым углом. Следовательно, в треугольнике ABD BO – медиана, и треугольник ABD равнобедренный с основанием AD. Тогда AO=OD=4.

Если медиана с биссектрисой пересекаются под 90 градусов, то в точке пересечения биссектриса делится в отношении 3:1, считая от вершины, следовательно, .

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB, в котором известны два катета AO и BO. По теореме Пифагора найдем гипотенузу AB:

.

Так как BD=AB, а BC=2BD=2AB, то

.

3. Вычислим длину отрезка AE из прямоугольного треугольника AOE по теореме Пифагора:

По свойству биссектрисы треугольника можно записать, что

,

откуда

и сторона AC равна

.

Ответ: .

Вариант 7

Задание 1. Найдите значение выражения .

Решение.

Упростим и вычислим выражение, получим:

.

Ответ: 8910.

Задание 3. Какое из данных чисел принадлежит промежутку [5; 6]?

1) √5; 2) √6; 3) √27; 4) √37

Решение.

Так как промежуток представляет собой положительные числа больше 1, то проверку вхождения в диапазон можно проверить с помощью неравенства:

где  - проверяемое на вхождение в интервал число. Отсюда видно, что число  входит в этот диапазон, а все остальные числа не входят.

Ответ: 3.

Задание 7. Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 7:13 соответственно. Сколько процентов деревьев в парке составляют хвойные?

Решение.

Вся доля всех деревьев в парке равна 7+13=20. Хвойных деревьев 7 от этой доли, то есть

.

Ответ: 35.

Задание 8. На диаграмме показан возрастной состав населения России. Определите по диаграмме, население какого возраста составляет более 40% от всего населения.

1) 0-14 лет; 2) 15-50 лет; 3) 51-64 лет; 4) 65 лет и более.

В ответе запишите номер выбранного варианта ответа.

Решение.

Более 40% - это почти более половины населения. Из рисунка видно, что этому соответствует самый большой сегмент с возрастом от 15 до 50 лет.

Ответ: 2.

Задание 9. В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, четыре неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение.

Обозначим через событие А выбор исправного фонарика. Так как в среднем 4 фонарика из 100 неисправны, то исправных фонариков равно 100-4=96, что составляет число благоприятных исходов для события А. Всего исходов равно 100, получаем значение вероятности:

.

Ответ: 0,96.

Задание 10. На рисунках изображены графики функций вида y = ax^2+ bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики:

Коэффициенты: 1) a>0, c<0; 2) a>0, c>0; 3) a<0, c>0

Решение.

Множитель  перед  показывает куда направлены ветви параболы. Если a<0, то ветви направлены вниз, если a>0, то ветви направлены вверх. Слагаемое  отвечает за сдвиг графика параболы по оси Oy на соответствующую величину. Выполним анализ графиков и свяжем их с приведенными коэффициентами, получим:

А) ветви вверх, смещение по Oy положительное, следовательно, a>0, c>0 и это соответствует варианту под номером 2;

Б) ветви вниз, это сразу указывает на вариант ответа под номером 3;

В) ветви вверх и отрицательное смещение по Oy, вариант ответа под номером 1.

Ответ: 231

Задание 11. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 448; 112; 28; ... Найдите сумму первых четырёх её членов.

Решение.

Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел, которая формируется по правилу , где  - множитель, на который меняется последующий член прогрессии. Из первых двух членов геометрической прогрессии , получим:

.

Тогда четвертый член прогрессии будет равен:

,

в результате получаем последовательность

448, 112, 28, 7,

и их сумма, равна:

448+112+28+7=595.

Ответ: 595.

Задание 12. Найдите значение выражения  при x=-1,8.

Решение.

Сначала упростим выражение, получим:

и вычислим при , имеем:

.

Ответ: -2,5.

Задание 13. В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле С = 6500 + 4000n, где n — число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 14 колец. Ответ укажите в рублях.

Решение.

Найдем стоимость колодца при , используя формулу для вычисления стоимости C, получим:

.

Ответ: 62500.

Задание 14. Укажите множество решений неравенства .

1) 

2) 

3) 

4) 

Решение.

Упростим неравенство, приведем его к более простому виду:

то есть , что соответствует ответу под номером 1.

Ответ: 1.

Задание 15. Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 4,8 м от земли. Длина троса равна 5 м. Найдите расстояние от точки основания флагштока до места крепления троса на земле. Ответ дайте в метрах.

Решение.

Высота образует прямой угол с землей, следовательно, имеем прямоугольный треугольник, у которого известна гипотенуза 5 м и один катет 4,8 м. Найдем по теореме Пифагора третью сторону треугольника, получим:

,

то есть расстояние от точки основания флагштока до места крепления троса на земле составляет 1,4 м.

Ответ: 1,4.

Задание 16. В треугольнике два угла равны 47° и 64°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Так как сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусов, то третий угол будет равен

.

Ответ: 69.

Задание 17. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол AOB = 66°. Длина меньшей дуги АВ равна 99. Найдите длину большей дуги АВ.

Решение.

Длина всей окружности определяется по формуле . Примем за 1 градус дуги величину  части окружности (так как в круге 360 градусов), тогда длина дуги в , будет равна

.

В задаче дан угол  и длина дуги , найдем из формулы длины дуги радиус окружности:

.

Тогда длина большей дуги будет равна длине дуги в 360-66=294 градусов и составит величину

.

Ответ: 441.

Задание 18. Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные 11° и 60° соответственно. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Углы при основании равнобедренной трапеции равны, то есть . Также равны углы . Учитывая, что , то получаем, что , и так как в четырехугольнике сумма всех углов равна 360 градусов, имеем:

.

Ответ: 109

Задание 19. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 отмечены три точки: A, B и C. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС.

Решение.

Расстояние от точки A до середины отрезка BC – это горизонтальный отрезок, исходящий из точки A к стороне BC (красная горизонтальная линия на рисунке). Длина этого отрезка равна 3 клеткам, то есть ее длина равна 3.

Ответ: 3.

Задание 20. Какие из следующих утверждений верны?

1)  Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

2)  Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.

3)  Все диаметры окружности равны между собой.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение.

1) Верно. Предельное расстояние между двумя любыми сторонами не должно превышать длину третьей стороны, например,  и длины 1 просто не хватит, чтобы соединить вершины этих двух сторон.

2) Не верно. Площадь трапеции равна полусумме длин оснований на ее высоту.

3) Верно. Диаметры одной окружности имеют одну и ту же величину.

Ответ: 13.

Задание 21. Решите неравенство .

Решение.

Можно заметить, что данное неравенство будет больше либо равно 0, если

.

Преобразуем данное выражение, перепишем его в виде:

Из последнего выражения имеем две точки, делящие числовую ось:

 и 

.

Ответ: 

Задание 22. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 60 км. Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

Решение.

Обозначим через x км/ч скорость велосипедиста на пути из A в B. Так как расстояние между пунктами A и B составляет 60 км, то время, которое затратил велосипедист, чтобы проехать это расстояние, равно  часов. На обратном пути его скорость увеличилась на 10 км/ч и составила x+10 км/ч, следовательно, он затратил на обратный путь . В задаче сказано, что на обратном пути он сделал остановку на 3 часа, следовательно, в сумме (с учетом остановки) на обратный путь было потрачено  часа. Учитывая, что время, потраченное на путь из A в B и на обратный путь равны, получаем уравнение:

.

Упростим выражение, перепишем его в виде:

Решаем квадратное уравнение, получаем два корня:

Так как скорость велосипедиста величина положительная, получаем его скорость 10 км/ч.

Ответ: 10.

Задание 23. Постройте график функции  и определите, при каких значениях k прямая у = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение.

Сначала упростим выражение, приведем его к виду:

,

определена при  и . Вычислим следующие точки для построения графика гиперболы:

Из графика видно, что прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку при k=81

Задание 24. Прямая, параллельная стороне АС треугольника ABC, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. Найдите BN, если MN = 13, АС = 65, NC = 28.

Решение.

Сначала докажем, что треугольники BMN и ABC подобные. Так как , то равны и углы  и . Следовательно, треугольники BMN и BAC подобны по двум углам. Для подобных треугольников можно записать следующее соотношение длин их сторон:

.

Пусть сторона , тогда сторона  (по условию задачи), и отношение сторон можно записать как

То есть длина стороны BN=7.

Ответ: 7.

задание 25. Биссектрисы углов В и С параллелограмма ABCD пересекаются в точке М стороны AD. Докажите, что М — середина AD.

Решение.

Так как ABCD – параллелограмм, то стороны  и . Из этого положения следует равенство углов  и . Так как BM – биссектриса, то равны и углы . Из равенства двух углов при основании BM следует, что треугольник ABM – равнобедренный, с равными сторонами AB=AM. Аналогично для треугольника CMD, у которого углы при основании MC равны, следовательно, он равнобедренный и CD=MD. Учитывая, что ABCD – параллелограмм, у которого стороны AB=CD, то автоматически следует, что и AM=MD, то есть точка M – середина отрезка AD. Положение доказано.

Вариант 8

Вариант 9

Задание 23. Постройте график функции

Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.

Решение.

1. Если x < 0, то

определена при  и представляет собой график части гиперболы.

Точки для построения графика:

2. Если x > 0, то

определена при и собой график части гиперболы.

Точки для построения графика:

3. Построение графика

Прямая y=kx не имеет общих точек с графиком, при k=-9; 0 и 9 (см. красные линии на графике). Коэффициент k задает угол наклона линии y=kx, которая проходит через начало координат (0; 0). При этом k должен быть выбран так, чтобы прямая проходила через отсутствующие на графике точки (-1/3; -3) и (1/3; -3). Значения k можно вычислить, подставив значения этих координат в функцию:

При k = 0 прямая совпадает с осью Ox и также не имеет общих точек с графиком.

Ответ: -9; 0; 9.

Вариант 10

Задание 4. Найдите значение выражения .

Решение.

Вычислим выражение, учитывая, что :

Ответ: -1.

Задание 7. Плата за телефон составляет 350 рублей в месяц. В следующем году она увеличится на 11 %. Сколько рублей придётся платить ежемесячно за телефон в следующем году?

Решение.

Увеличение на 11% означает 100+11=111% от первоначальной величины 350 рублей, то есть:

 рублей.

Ответ: 388,5.

Задание 8. Какая из следующих круговых диаграмм показывает распределение животных и птиц на ферме, если коров на ферме 17%, овец и баранов — 4%, кур — 31%, свиней — 38% и лошадей — 10%?

Решение.

Самый большой по площади сектор составляет 38%, что равно , то есть он составляет 90° (четверть круга) и еще чуть более 45° (восьмая круга). Такой сектор можно найти на 1 и 3 диаграммах. Следующий по площади идет сектор в 31%, то есть  и это равно 90° и еще примерно 22°. Такой сектор можно найти на диаграмме номер 3. Следовательно, получаем ответ под номером 3.

Ответ: 3.

Задание 9. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Норвегии или Швеции.

Решение.

Обозначим через событие А – первым стартует спортсмен из Норвегии, а через событие В – первым стартует спортсмен из Швеции. Число благоприятных исходов для события А равно 6 (число спортсменов из Норвегии), а число благоприятных исходов для события В равно 3 (число спортсменов из Швеции). Всего возможных исходов 11+6+3=20 (общее число спортсменов). Событие, связанное со стартом спортсмена из Норвегии или Швеции – это сумма событий А и В, то есть A+B. Так как события А и В несовместные (не могут произойти одновременно), то вероятность суммы этих событий будет равна сумме их вероятностей:

.

Вероятность события А равна

,

а вероятность события В

,

и вероятность их суммы:

.

Ответ: 0,45.

Задание 10. На рисунках изображены графики функций вида y = ax^2 + bx + c, Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики:

Коэффициенты: 1) a>0, c<0; 2) a<0, c>0; 3) a>0, c>0

Решение.

Множитель  перед  показывает куда направлены ветви параболы. Если a<0, то ветви направлены вниз, если a>0, то ветви направлены вверх. Слагаемое  отвечает за сдвиг графика параболы по оси Oy на соответствующую величину. Выполним анализ графиков и свяжем их с приведенными коэффициентами, получим:

А) ветви вверх, смещение по Oy отрицательное, следовательно, a>0, c<0 и это соответствует варианту под номером 1;

Б) ветви вниз с положительным смещением по оси Oy, то есть a<0, c>0, что соответствует варианту ответа под номером 2;

В) ветви вверх, смещение по оси Oy тоже вверх, следовательно, a>0, c>0, что соответствует варианту 3;

Ответ: 123.

Задание 11. Последовательность () задана условиями: c1=2, . Найдите c6.

Решение.

Последовательность вида  соответствует арифметической последовательности с разностью  (величина, на которую изменяется следующий член прогрессии). Зная величину , найдем  по формуле арифметической прогрессии для n-го члена , то есть

.

Ответ: 12.

Задание 12. Найдите значение выражения  при a=-0,1.

Решение.

Сначала упростим выражение, приведем его к виду:

и вычислим при a=-0,1, получим:

.

Ответ: -44,5.

Задание 13. Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой tF=1,8*tC+32, где tC — температура в градусах Цельсия, tF — температура в градусах Фаренгейта. Какая температура по шкале Фаренгейта соответствует -90° по шкале Цельсия?

Решение.

По условию задачи дана температура в Цельсиях . Используя формулу перевода температуры из шкалы Цельсия в шкалу по Фаренгейту, получим:

Ответ: -130.

Задание 14. Укажите неравенство, решением которого является любое число.

1) ; 2) ; 3) ; 4) 

Решение.

Найдем неравенство, которому соответствует решение вида , получим:

1)  соответствует решению ;

2)  - будет верным при любом , следовательно, оно и является ответом задачи.

Ответ: 2.

Задание 15. Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота средней опоры 2,2 м, высота большей опоры 2,5 м. Найдите высоту меньшей опоры. Ответ дайте в метрах.

Решение.

Малая и большая опоры образуют основания прямоугольной трапеции, а среднюю опору можно воспринимать как среднюю линию трапеции. Известно, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований. Обозначим через  длину малой опоры, тогда можно записать равенство:

,

откуда

Ответ: 1,9.

Задание 16. В треугольнике ABC известно, что АВ = ВС, угол ABC = 106°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Дан равнобедренный треугольник с равными сторонами AB=BC и основанием AC. В таком треугольнике углы при основании равны, то есть . Учитывая, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов, получим значение угла BCA:

Ответ: 37.

Задание 17. В угол С величиной 157° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, где О — центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Касательная образует прямой угол с радиусом, проведенным в точку касания. Следовательно, углы . Учитывая, что сумма углов в любом четырехугольнике равна 360 градусов, вычислим четвертый неизвестный угол O, получим:

Ответ: 23.

Задание 18. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение.

Площадь параллелограмма можно вычислить как произведение его высоты h на длину стороны a, к которой проведена эта высота:

.

Из рисунка видно, что h=12, a=3+5=8, и площадь параллелограмма, равна:

.

Ответ: 96.

Задание 19. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение.

Среднюю линию трапеции (красная линия на рисунке) можно найти как полусумму оснований трапеции (синие линии):

.

Из рисунка видно, что длины оснований равны a=3, b=9 и длина средней линии равна

.

Ответ: 6.

Задание 20. Какое из следующих утверждений верно?

1) Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.

2) Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.

3) Площадь любого параллелограмма равна произведению длин его сторон.

Решение.

1) Верно. Диагонали прямоугольника всегда делятся пополам точкой пересечения.

2) Не верно. Точка пересечения двух окружностей удалена от их центров пропорционально радиусам этих окружностей.

3) Не верно. Площадь параллелограмма так не определяется. Ее можно найти, например, как произведение высоты параллелограмма на длину стороны, к которой эта высота проведена.

Ответ: 1.

Задание 21. Решите уравнение .

Решение.

Сначала выполним преобразование уравнения, получим:

Последнее выражение показывает, что уравнение будет равно, если хотя бы один из множителей равен 0, то есть имеем следующие три уравнения:

Ответ: -4; -3; 3.

Задание 22. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 51 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью на 34 км/ч больше скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста.

Решение.

Пусть скорость первого автомобилиста х км/ч, тогда скорость второго автомобилиста на второй половине пути х+34 км/ч. (причем так как на второй половине пути второй автомобилист догонял первого то x>51)
Пусть t - время потраченное каждым автомобилистом на путь АВ, тогда по условию задачи, тогда весь путь равен xt км.
По условию задачи составляем уравнение

или





 - не подходит , скорость не может быть отрицательной


ответ: 68 км/ч - скорость первого автомобилиста

Задание 23. Постройте график функции  и определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.

Решение.

Для графика функции с модулем |x| рассмотрим два случая:

1. Если , то

,

которая определена при  и .

2. Если  (равно 0 не уже может быть см. выше), то

,

определена при  и .

Таким образом, исходное выражение функции можно записать в виде следующей системы двух функций:

1. Функция  представляет собой гиперболу при , расположенной в III координатной четверти. Множество точек для ее построения следующее:

2. Функция  представляет собой гиперболу при , расположенной в IV координатной четверти. Множество точек для ее построения следующее:

Прямая y=kx не будет иметь с графиком общих точек при k=-12,25; 12,25; 0 (см. красные линии на рисунке). Параметр k представляет собой угловой коэффициент прямой (угол наклона прямой к оси Ox) и вычисляется как , где  - изменение функции;  - изменение аргумента. Например, прямая y=kx не будет иметь общих точек с графиком, если пройдет через точку (-2/7; -3,5) (вторая точка (0; 0)), тогда ,  и . Аналогично вычисляется значение -12,25, а при k=0 прямая совпадает с осью Ox.

Задание 24. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если ВК = 6, CK = 10.

Найдено решение такого же или подобного задания

Источник: Вариант 19. Задание 24. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение

Задание 24. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если ВК = 3, CK = 19.

Решение.

Так как ABCD – параллелограмм, то стороны , следовательно, углы  как накрест лежащие при параллельных прямых BC, AD и секущей AK. По условию задачи AK – биссектриса угла A, значит, углы  и отсюда получаем, что . Таким образом, треугольник ABK равнобедренный со сторонами AB=BK=3 и основанием AK. Учитывая, что в параллелограмме противоположные стороны равны, и BC=3+19=22, то периметр равен

.

Ответ: 50.

Задание 25. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.

Решение.

Проведем в четырехугольнике диагонали AC и BD и отметим точку E на их пересечении. Рассмотрим треугольники ABE и DEC, у которых равны углы  по условию задачи, а также равны углы  как вертикальные. Таким образом, треугольники ABE и DEC подобные по двум углам с пропорциональными сторонами BE и CE, а также AE и DE. Рассмотрим теперь треугольники AED и BEC, у которых сторона AE пропорциональна стороне DE, а сторона BE пропорциональна стороне CE, кроме того, равны углы  как вертикальные. Отсюда следует, что треугольники AED и BEC подобны по двум соответствующим пропорциональным сторонам и углу между ними. Так как у подобных треугольников соответствующие углы равны, то угол . Утверждение доказано.

Задание 26.

Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей.                                       Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Искомое расстояние - длина перпендикуляра ВН, опущенного из В на СD.

AB и CD - хорды, перпендикулярны  прямой ОО1, содержащей диаметры окружностей. 

AB||CD

Пусть центр меньшей окружности - О, большей - О₁. 

Проведем радиусы r и R в точки касания. 

Проведем к О₁D отрезок ОК||BD. 

Т.к.  r ||R, и оба перпендикулярны ВD,  то ОКВD- прямоугольник. 

ОK=BD

О₁К=R-r=45-36=9

OO₁=R+r=45+36=81

Из ∆ OКО₁ по т.Пифагора

OК=√(81²-9²)=√6480=36√5

∠HBD=∠KOO₁- заключены между взаимно параллельными сторонами. 

∆ OKO₁ ~ ∆ BHD

cos∠KOO₁=OK/OO₁

cos∠HBD=cos∠KOO₁=(36√5):9=(4√5):9

BH=BD•cos∠HBD=(36√5)•(4√5):9=80 (ед. длины)