Урок геометрии на тему "Теорема о трёх перпендикулярах", 10 класс
план-конспект урока по геометрии (10 класс)

Слайд 1

Выполнила: Афанасьева д.с . Урок на тему: «Теорема о трёх перпендикулярах»

Слайд 2

Календарно – тематическое планирование Предмет: Геометрия Класс: 10 Учебник: Геометрия 10-11 Атанасян Л.С. «Теорема о трёх перпендикулярах» находится во 2 главе, параграфе 2 «Перпендикуляр и наклонные».

Слайд 3

Цели урока изучить теорему о трех перпендикулярах; формировать навык применения теоремы о 3-х перпендикулярах в решении задач; продолжить развитие пространственного представления, логического мышления, умения самостоятельно организовывать свою деятельность; воспитывать аккуратность и творческий подход к выполняемой работе.

Слайд 4

Этапы урока Организационный момент (2 мин.) Актуализация опорных знаний (7 мин.) Изучение нового материала (15 мин.) Первичное закрепление полученных знаний (17 мин.) Подведение итогов урока (3 мин.) Домашнее задание (1 мин.)

Слайд 5

Ход урока 45 мин.

Слайд 6

Организационный момент «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их !» ( Д. По′йа )

Слайд 7

Актуализация опорных знаний Посмотрите на рисунок. AH – перпендикулярна α . Как называется отрезок АН? АМ? НМ? AH – перпендикуляр АМ – наклонная НМ – проекция наклонной

Слайд 8

Актуализация опорных знаний 1 Вариант 2 Вариант 1 Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если… Прямая перпендикулярна к плоскости, если она… 2 Если плоскость перпендикулярна одной из 2-х параллельных прямых, то она… Если одна из 2-х параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то… 3 Две прямые называются перпендикулярными, если… Расстоянием от точки до некоторой плоскости называется… 4 Сделать чертеж: плоскость и точка М .Постройте из точки М: а) перпендикуляр МС к плоскости , б) наклонные МА и МВ к плоскости . МА = МВ. в) сравните длины проекций этих наклонных, сделайте вывод. МА > МВ в) сравните длины проекций этих наклонных, сделайте вывод. 1 Вариант 2 Вариант 1 Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если… Прямая перпендикулярна к плоскости, если она… 2 Если плоскость перпендикулярна одной из 2-х параллельных прямых, то она… Если одна из 2-х параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то… 3 Две прямые называются перпендикулярными, если… Расстоянием от точки до некоторой плоскости называется… 4 МА = МВ. в) сравните длины проекций этих наклонных, сделайте вывод. МА > МВ в) сравните длины проекций этих наклонных, сделайте вывод.

Слайд 9

Изучение нового материала ТЕОРЕМА О ТРЁХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Слайд 10

Изучение нового материала Дано: АН ┴ α АМ – наклонная НМ – проекция а с α М а, а ┴ НМ ______________ Док - ть: а ┴ А М

Слайд 11

Доказательство Рассмотрим пл -ть (АНМ) а ┴ АН (Т.к. АН ┴ α , а с α ) а ┴ НМ (по усл .) АН ᑎ НМ а ┴ (АНМ) (Из п.2,3,4) а ┴ любой прямой плоскости (АНМ) АМ с (АНМ) а ┴ АМ ч .т.д .

Слайд 12

А если прямая перпендикулярна наклонной, будет ли она перпендикулярна её проекции? ВОПрос

Слайд 13

Обратная теорема Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. Дано: АН ┴ α АМ – наклонная НМ – проекция а с α М а, а ┴ АМ ______________ Док - ть: а ┴ НМ

Слайд 14

Первичное закрепление полученных знаний Задача 1 Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС , точка М – середина стороны ВС . Докажите, что МК ⊥ ВС. Дано: АК ⊥ (АВС) АВ=ВС=СА ВМ=МС ____________ Док-ть: МК ⊥ ВС

Слайд 15

Первичное закрепление полученных знаний Док-во: Рассм . ∆ АВС: АВ = ВС=СА АМ - медиана. (биссектриса, высота) = > АМ ⊥ ВС АМ - это проекция наклонной КМ на плоскость АВС . ВС ⊥ АМ ВС ⊥ МК (по теореме о 3-х перпендикулярах) Дано: АК ⊥ (АВС) АВ=ВС=СА ВМ=МС ____________ Док-ть: МК ⊥ ВС

Слайд 16

Первичное закрепление полученных знаний Задача 2 Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника АВСD. Докажите, что треугольники АМD и МСD – прямоугольные. Дано: АВС D – прямоугольник МВ ⊥ (АВС D ) ________________________ Док-ть: ∆ A М D и ∆МС D - прямоугольные

Слайд 17

Первичное закрепление полученных знаний Док-во: 1) МВ ⊥ (АВС D ), МА – наклонная, ВА - ее проекция. Проекция ВА ⊥ АD из плоскости АВС . Значит , и наклонная МА ⊥ А D (по теореме о 3-х перпендикулярах). ∆ АМD - прямоугольный, так как угол МАD - прямой. 2) МС – наклонная, ВС - проекция наклонной МС на плоскость АВС . Проекция ВС ⊥ СD = > наклонная МС ⊥ СD (по теореме о 3-х перпендикулярах ). Угол МСD прямой = > ∆ МС D - прямоугольный Дано: АВС D – прямоугольник МВ ⊥ (АВС D ) ________________________ Док-ть: ∆ A М D и ∆МС D - прямоугольные

Слайд 18

Первичное закрепление полученных знаний Решаем задачи № 141, 145 из учебника

Слайд 19

Решение

Слайд 20

Подведение итогов урока Продолжите предложения Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярно к её проекции на эту плоскость… Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней…

Слайд 21

Домашнее задание §2.20 в учебнике на стр. 42 – выучить № 142, 152, 153 (доказать обратную теорему)

Слайд 22

Спасибо за урок!