Векторы в прямоугольной системе координат
план-конспект занятия по геометрии (10, 11 класс)

Векторы в прямоугольной системе координат.

1. Длина вектора.

Вектор задается двумя координатами : длина по оси Ох и длина по оси Оу

Рассмотрим закрашенный прямоугольный треугольник. В этом треугольнике вектор  является гипотенузой, а   и    являются катетами.  Тогда длину вектора    можно найти по теореме Пифагора.

Вспомним, что

длина отрезка обозначается как модуль

Посчитаем по клеточкам   ;  .

Тогда длина вектора

1. Задание: найти длину вектора

Решение: 

Тогда длина вектора  

2. Задание: найти длину вектора

Решение:

Тогда длина вектора  

3. Задание: Из произвольной точки С на координатной плоскости  построить вектор  =(4;-2) и найти его длину.

В этом задании сказано, что надо выбрать любую точку на плоскости, назвать её  , а потом из неё пойти на 4 клеточки вправо (+4), а затем на 2 клеточки вниз (-2) и поставить точку . Из точки  провести стрелочку в точку . Это и будет наш вектор  .

Теперь найдём длину вектора  .

2. Линейные комбинации векторов

С помощью операций сложения, вычитания и умножения на число можно создавать ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ векторов.

1. Сложение векторов по правилу треугольника.

Чтобы сложить два вектора, надо к концу первого вектора пристроить второй вектор. Вектор суммы будет идти из начала первого вектора в конец второго.

Посмотрим, как это будет выглядеть в прямоугольной системе координат.

Даны вектор    и вектор  ,  тогда

Чтобы найти каждую координату вектора суммы, надо сложить соответствующие координаты слагаемых.

2. Вычитание векторов.

Чтобы найти каждую координату вектора разности векторов, надо вычесть соответствующие координаты векторов.

Например:

Можете проверить это на чертеже самостоятельно.

3. Умножение вектора на число.

При умножении вектора на число надо каждую координату исходного вектора умножить на это число.

Рассмотрим примеры:

Даны векторы:  , , .

Найти координаты вектора

Решение:  

Решение:

Решение:

Ответ:    

Надо быть внимательными со знаками, когда умножаете на отрицательное число или у вектора координата со знаком минус. Действуют обычные правила умножения отрицательных чисел.

4. Даны векторы:  ,

Найти координаты вектора  

Решение

3. Разложение вектора по координатным осям.

Единичный вектор, выходящий из начала координат О  по оси Ох принято обозначать  , а единичный вектор, выходящий из начала координат О  по оси Оу принято обозначать  . Это так называемые базисные векторы.

Любой вектор можно представить как линейную комбинацию этих двух векторов (разложить по прямоугольному базису).

Как попасть из точки О в точку М? По вектору .

Но в прямоугольной системе координат мы не можем ходить наискосок, поэтому придется идти сначала по оси Ох 8 шагов, а потом по оси Оу 4 шага.

Это можно записать так:

    Это и есть разложение вектора по координатным осям.

Решим пример:

Дан вектор

1. разложить вектор по базису  .

Решение:

2. начертить этот вектор, если известны координаты точки А(4;2).

3. Найти координаты точки В.

Координата точки В равна координате точки А плюс длина вектора по каждой оси.

А(4;2),

В(4+5 ; 2+3)

Итак, точка В(9;5).

(Можете проверить по клеточкам.)

С векторами можно производить ещё некоторые действия, например, можно найти скалярное произведение векторов или векторное произведение векторов и так далее…

4. Векторы в пространстве.

До сих пор мы работали на плоскости. А если нам надо попасть стрелой в шишку на ёлке? Это тоже будет вектор движения, но уже в трехмерном пространстве. Придется добавить ещё одну ось, показывающую высоту.

У нас были оси Ох, Оу, а теперь добавим ещё ось OZ.

Система координат будет выглядеть так:

Рассмотрим самый простой вектор в пространстве, который выходит из точки О.

Дан вектор .

Мы не умеем летать наискосок,  значит, чтобы пройти из точки О в точку А, надо пройти по оси Ох 3 шага, потом параллельно оси Оу 5 шагов, а потом взлететь вертикально вверх параллельно оси OZ  на 4 деления.

Удобнее всего показать вам это на объёмной фигуре параллелепипед

(это, например, коробка с соком или спичечный коробок).

Для векторов в пространстве действуют те же правила, что и на плоскости.

Единственное отличие при вычислении длины вектора. Не буду вдаваться в подробности, но теорема Пифагора действует и здесь, только в ней три слагаемых.

Примеры:

1. Найти длину нашего вектора  :

2. Даны векторы:  , , .

Найти координаты вектора  

Решение:

Аналогично делаем все остальные операции с векторами в пространстве.