Проект "Пифагор и его теорема"
проект по геометрии (8 класс)

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

города Калининграда

Гимназия № 40 имени Ю.А. Гагарина

Проектная работа

«ПИФАГОР И ЕГО ТЕОРЕМА»

Автор

Середа Дмитрий Николаевич

учащийся  8 «П» класса

МАОУ гимназии № 40 им. Ю. А. Гагарина

Руководитель

Малинская Елена Геннадиевна

учитель  математики

МАОУ Гимназии № 40 им. Ю. А. Гагарина

Калининград

2019

Содержание

      Введение……………………………………………………………….……..3    

1. Биография Пифагора……………………………………………….……..4
2. История теоремы Пифагора……………………………………….……..7
3. Различные способы доказательства теоремы Пифагора…………….....10

1. Древнекитайское доказательство………………………………....10
2. Доказательство Гарфилда………………………………………....11
3. Простейшее доказательство……………………………………....11
4. Доказательство Бхаскары……………………………………...….12
5. Доказательство древних индусов………………………………...12
6. Доказательство с использованием свойства подобия…………..13
7. Доказательство Перигаля……………………………………..…..13

4. Применение теоремы Пифагора……………………………………..….14

1. В архитектуре…………………………………………………..….14
2. В строительстве…………………………………………………....15
3. Молниеотвод…………………………………………………….....16
4. Мобильная связь…………………………………………………...17
5. Современные технологии………………………………………....18
6. Социальные сети…………………………….…………………….18

5. Пифагоровы тройки………………………………….…………………..19

Заключение……………………………………………….………………….23

Список источников……………………………………….…………………25

\

                                          Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень»

Иоганн Кеплер

Введение

     На уроке геометрии мы познакомились с одной из важнейших теорем геометрии для прямоугольного треугольника, известной с древних времен – теоремой Пифагора. Кратко познакомились с историей этой теоремы, рассмотрели ее доказательство, но также узнали, что это одно из ее доказательств. Трудно найти человека, для которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Пожалуй, у каждого взрослого, жизнь которого совершенно не связана с математикой, со школьной скамьи осталось в памяти, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Причина такой популярности теоремы Пифагора очевидна: простота, красота и широкая значимость.

     В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Зная теорему Пифагора можно находить ее новые применения и способы доказательств. Теорема Пифагора занесена в Книгу рекордов Гиннеса, как теорема с наибольшим количеством доказательств.

     Меня заинтересовали эти факты, поэтому я решил продолжить знакомство с историей теоремы, ее доказательствами и практической значимостью в деятельности человека. В этом я вижу актуальность своей работы.

     Цель работы: выяснить различные способы доказательства теоремы Пифагора и изучить ее практическое применение.

     Задачи:

1)Изучить историю открытия теоремы Пифагора;

2)Познакомиться с различными способами доказательства теоремы

   Пифагора;

3)Узнать практическое применение теоремы Пифагора;

4)Исследовать пифагоровы тройки.

1. Биография Пифагора

     Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве совершенного мудреца и великого учёного, посвящённого во все таинства греков и варваров. Ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом». Мы не можем знать достоверно историю Пифагора, поскольку  самые ранние известные источники об учении Пифагора появились лишь 200 лет спустя после его смерти. Сам Пифагор не оставил сочинений, и все сведения о нём и его учении основываются на трудах его последователей, не всегда беспристрастных.

     Пифагор родился в Сидоне Финикийском примерно в 570 до н. э. С ранних лет он обнаружил необыкновенную одарённость. Родителями Пифагора были Мнесарх и Партенида с острова Самос. По одной из версий Мнесарх был камнерезом, по другой – он был богатым купцом из Тира, получившим самосское гражданство за раздачу хлеба в неурожайный год. Мать Пифагора Партенида происходила из знатного рода Анкея, основателя греческой колонии на Самосе.

     Рождение ребёнка будто бы предсказала Пифия в Дельфах, потому Пифагор и получил своё имя, которое значит «тот, о ком объявила Пифия». В частности, Пифия сообщила Мнесарху, что Пифагор принесёт столько пользы и добра людям, сколько не приносил и не принесёт в будущем никто другой.

     По словам античных авторов, Пифагор встретился чуть ли не со всеми известными мудрецами той эпохи, греками, персами, халдеями, египтянами, впитал в себя всё накопленное человечеством знание.

     Античный философ Ямвлих пишет, что Пифагор в 18-летнем возрасте покинул родной остров и, объехав мудрецов в разных краях света, добрался до Египта, где пробыл 22 года, пока его не увёл в Вавилон в числе пленников персидский царь Камбис. Нахождение в плену принесло пользу пытливому уму начинающего математика, ему было чему поучиться. Ведь в те годы математика в Вавилоне была более развитой чем в Египте. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при счёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. Двенадцать лет он провел за изучением математики, геометрии и магии. И, возможно, именно вавилонская геометрия причастна к доказательству соотношения сторон треугольника и истории открытия теоремы. У Пифагора было для этого достаточно полученных знаний и времени. Но, что это произошло в Вавилоне, документального подтверждения или опровержения тому нет.

     Итак, спустя двенадцать лет, Пифагор, наконец, смог вернуться на Самос в 56-летнем возрасте, где соотечественники признали его мудрым человеком.

     Ямвлих сообщает: «Его философия распространилась, вся Эллада стала восхищаться им, и лучшие и мудрейшие мужи приезжали к нему на Самос, желая слушать его учение. Сограждане, однако, принуждали его участвовать во всех посольствах и общественных делах. Пифагор чувствовал, как тяжело, подчиняясь законам отечества, одновременно заниматься философией, и видел, что все прежние философы прожили жизнь на чужбине. Обдумав всё это, отойдя от общественных дел и, как говорят некоторые, считая недостаточной невысокую оценку самосцами его учения, он уехал в Италию, считая своим отечеством страну, где больше способных к обучению людей».

     Так Пифагор поселился в греческой колонии Кротоне в Южной Италии,  где нашёл много последователей. Их привлекала не только мистическая философия, которую он убедительно излагал, но и предписываемый им образ жизни с элементами здорового аскетизма и строгой морали. Пифагор проповедовал нравственное облагораживание невежественного народа, достигнуть которого возможно там, где власть принадлежит касте мудрых и знающих людей, и которым народ повинуется в чём-то безоговорочно, как дети родителям, а в остальном сознательно, подчиняясь нравственному авторитету.

     Пифагор умело использовал знания, полученные в странствиях по свету. Со временем ученый прекращает выступления в храмах и на улицах. Уже в своем доме Пифагор учил медицине, принципам политической деятельности, астрономии, математике, музыке, этике и многому другому. Из его школы вышли выдающиеся политические и государственные деятели, историки, математики и астрономы. Это был не только учитель, но и исследователь. Исследователями становились и его ученики. Пифагор развил теорию музыки и акустики, создав знаменитую «пифагорейскую гамму» и проведя основополагающие эксперименты по изучению музыкальных тонов: найденные соотношения он выразил на языке математики. В Школе Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том, что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям, идеи «гармонии мира» и «музыки сфер», впоследствии приведшие к революции в астрономии, впервые появились именно в Школе Пифагора. Пифагору традиция приписывает введение слов философия и философ.

     Многое сделал ученый и в геометрии. Ему приписывают открытие и доказательство теоремы Пифагора, создание таблицы Пифагора. В школе Пифагора геометрия впервые оформляется в самостоятельную научную дисциплину. Именно Пифагор и его ученики первыми стали изучать геометрию систематически - как теоретическое учение о свойствах абстрактных геометрических фигур, а не как сборник прикладных рецептов по землемерию.
     Прокл так оценивал вклад греческого ученого в геометрию: «Пифагор преобразовал геометрию, придав ей форму свободной науки, рассматривая ее принципы чисто абстрактным образом и исследуя теоремы с нематериальной, интеллектуальной точки зрения.  Именно он нашел теорию иррациональных количеств и конструкцию космических тел».
     Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математику, и, прежде всего, в геометрию. Строго говоря, только с этого момента математика и начинает существовать как наука, а не как собрание древнеегипетских и древневавилонских практических рецептов. С рождением же математики зарождается и наука вообще, ибо «ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства» (Леонардо да Винчи).

     Ученики Пифагора образовали своего рода религиозный орден, или братство посвящённых, состоящий из касты отобранных единомышленников, буквально обожествляющих своего учителя — основателя ордена.

      Заслугой пифагорейцев было выдвижение мысли о количественных закономерностях развития мира, что содействовало развитию математических, физических, астрономических и географических знаний. В основе вещей лежит число, учил Пифагор, познать мир — значит познать управляющие им числа. Изучая числа, пифагорейцы разработали числовые отношения и нашли их во всех областях человеческой деятельности. Числа и пропорции изучались с тем, чтобы познать и описать душу человека, а познав, управлять процессом переселения душ с конечной целью отправить душу в некое высшее божественное состояние.

     Пифагор утверждал, чтобы понять Бога, человек должен познать такие науки как алгебра и геометрия, знать астрономию и понимать музыку. Исследовательская работа сводилась к познанию мистической стороны чисел и философии. Следует отметить, что проповедованные в то время Пифагором принципы, имеют смысл и находят подтверждение и в настоящее время.

     В современном мире Пифагор считается великим математиком и космологом древности, однако ранние свидетельства до III в. до н. э. не упоминают о таких его заслугах.  Таким образом, жизнь Пифагора для нас остается неизведанной доподлинно загадкой, его учение полно мистики, но не лишено смысла и актуальности даже в наши дни.

     Источники сообщают, что Пифагор прожил 80 или 90 лет. Из этого следует дата смерти 490 до н. э. или 480 до н. э.

2. История теоремы Пифагора

     Для нас имя Пифагора связано прежде всего с теоремой Пифагора.                     В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что именно Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Связанная с именем Пифагора, теорема была известна задолго до рождения великого философа. Так в Египте еще пять тысячелетий назад при строительстве сооружений учитывалось соотношение сторон прямоугольного треугольника. А в вавилонских текстах упоминается о все том же соотношении сторон прямоугольного треугольника за 1200 лет до рождения Пифагора.

     Может показаться странным, но исторических фактов доказательства теоремы самим Пифагором нет — ни в архивах, ни в каких-либо других источниках. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих “Начал”. С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в “Началах” принадлежит самому Евклиду.

     Возникает вопрос, почему же тогда история гласит, что возникновение этой теоремы   связано с Пифагором? Ответ может быть только один - он доказал соотношение сторон в треугольнике. Он сделал то, что века назад не делали те, кто просто пользовался соотношением сторон и гипотенузы, установленным опытным путем. Легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он "запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы". В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: "… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста".

     Исторический обзор теоремы Пифагора начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

«Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3,    

а высота 4».

     Кантор (крупнейший немецкий историк математики) обнаружил на хранящемся в Берлинском музее папирусе записанное египтянами примерно в 2300 г. до н.э. равенство 3 ² + 4 ² = 5². По мнению Кантора, гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

     Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м с узлами на каждом метре и вобьем колышки в землю, как на рисунке.

Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра.

     Несколько больше было известно о теореме Пифагора вавилонянам.                         В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т.е. к 2000 году до н.э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях.

     Геометрия у индусов была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 8 века до н.э. Наряду с чисто ритуальными предписаниями, существуют и сочинения геометрически теологического характера, называемые Сульвасутры. В этих сочинениях, относящихся к 4 или 5 веку до н.э., мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36, 39.

     В средние века теорема Пифагора определяла границу, если не наибольших возможных, то, по крайней мере, хороших математических знаний. Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облаченного в мантию профессора или человека в цилиндре, в те времена нередко употреблялся как символ математики. 

     В заключение приведу различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.

     У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

     В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

     Латинский перевод арабского текста:

     «Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол».

     Перевод с немецкого (около 1400 года):

     «Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу».

     В первом русском переводе евклидовых «Начал», теорема Пифагора изложена так:

     «В прямоугольном треугольнике квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».

      Как видим, в разных странах и разных языках существуют различные варианты формулировки знакомой нам теоремы. Созданные в разное время и в разных языках, они отражают суть одной математической закономерности, доказательство которой также имеет множество вариантов.

3. Различные способы доказательства         теоремы Пифагора.

     В средние века ученики считали доказательство теоремы слишком трудным делом. Слабые ученики заучивали теоремы наизусть, без понимания смысла доказательства. В связи с этим они получили прозвище "ослы", потому что теорема Пифагора была для них непреодолимым препятствием, как для осла мост. В средние века ученики придумали шутливый стих на предмет этой теоремы:

Пифагоровы штаны – на все стороны равны,
Чтобы это доказать, нужно снять и показать.

     В наше время известно множество доказательств теоремы Пифагора. А сама теорема даже заслужила место в «Книге рекордов Гиннеса» как получившая наибольшее число доказательств. Американский автор Э. Лумис в книге «Пифагорово предложение», вышедшей в 1940 г., собрал 370 разных доказательств, включая одно, предложенное президентом США Джеймсом Абрамом Гарфилдом.

     3.1. Древнекитайское доказательство.

     На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе.

     3.2. Доказательство Джеймса Абрахама Гарфилда (20-й президент США с марта по сентябрь 1881 года ).

     На рисунке три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь данной фигуры можно находить либо по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников.

    Приравнивая эти выражения, получим

     Раскрывая скобки и сокращая, получим

     Теорема доказана.

     3.3. Простейшее доказательство.

Простейшее доказательство получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит четыре исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.

     3.4. Доказательство Бхаскары.

     В  своем трактате «Венец учения» (около 1150 г.) крупнейший индийский математик и астроном Бхаскара приводит следующее доказательство теоремы Пифагора.

     Пусть АВСD квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВЕ (АВ = с, ВЕ = а, ЕА = b).

     Пусть СК ┴ BE, DL ┴ CK, AM ┴ DL, BE ┴ AM

ΔABE = ΔBCK = ΔCDL = ΔDAM,

значит KL = LM = ME = EK = a-b.

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABE,  равна сумме площадей четырех прямоугольных треугольников и квадрата, длина стороны которого равна  (a-b).

Тогда

     Значит

Теорема доказана.

     3.5. Доказательство древних индусов.

     Здесь изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна (a+b). Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади всего квадрата отнять четыре площади прямоугольных треугольников с катетами a и b, то останутся равные площади, то есть  Теорема доказана.

     Впрочем, древние индусы доказательство теоремы не записывали, а сопровождали чертеж надписью «Смотри!».

     3.6. Доказательство с использованием свойства подобия.

В прямоугольном треугольнике ACB проведем высоту CD. Поскольку треугольники ACB, ADC и CDB подобные, то

,

где l, l1, l2 – соответственные линейные элементы этих треугольников, а S, S1, S2 – их площади. Сложив эти два равенства, получим

В частности, a2 + b2 = c2. Теорема доказана.

     3.7. Доказательство Перегаля.

     На мой взгляд, это одно из красивейших доказательств.

     Через центр квадрата, построенного на большем катете, проводят вертикальную и горизонтальную линии (перпендикулярную и параллельную гипотенузе соответственно). В результате получаются соответственно равные многоугольники, которые  одинаково пронумерованы.

4. Применение теоремы Пифагора.

     4.1. В архитектуре.

     В зданиях готического и ромaнского стилей верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон.

     На рисунке представлен простой пример окна в готическом стиле.

     Способ построения его очень прост.

     Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна l  для наружных дуг и половине ширины - для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е.  и, следовательно, радиус равен . А тогда становится ясным и положение ее центра.

     В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.

     В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке.

 Если l по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны   Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна , один катет равен  , а другой

По теореме Пифагора имеем:

 .

     4.2. В строительстве.

     При проектировании частного дома необходимо учитывать множество различных параметров. Если их рассчитать неверно, то прочность строения будет под большим сомнением. То же самое касается и крыши дома. Здесь еще до начала строительства нужно выяснить и высоту конька, и площадь кровли и многое другое, в том числе и рассчитать длину стропил. В первую очередь стоит определиться с типом крыши, ведь именно от этого и будет зависеть длина ската и стропил. Самым распространенным вариантом считается двухскатная конструкция, при этом она может быть симметричная или ассиметричная.

     Итак,  рассчитаем длину стропил. Если крыша имеет симметричную форму, то посчитать этот параметр не сложно. Для этого используется теорема Пифагора.

где с – это искомая длина стропила;

       а – это высота, на которой расположен конек (от основания крыши);

       b – это половина ширины дома.

     При этом с помощью этой формулы можно рассчитать дину стропил только до мауэрлата. Здесь не учитывается длина свесов. Если они будут являться продолжением стропил, то к рассчитанному параметру нужно прибавить их длину. Какой длины выбрать свесы – это решать самим владельцам дома. Согласно существующим строительным нормативам этот параметр должен быть в пределах от 50 до 60 сантиметров. Меньше делать не стоит, в противном случае могут пострадать стены и фундамент. Иногда свесы делают более одного метра. В этом случае вдоль стены получается небольшой навес, который можно использовать для отдыха или хранения вещей.

     А как сделать расчет, если крыша будет ассиметричной? В этом случае скаты будут разными. Но и тут можно воспользоваться теоремой Пифагора. Рассчитать стропила на крышу можно по той же формуле, только вначале выяснить значение параметра b (в первом случае он равен половине ширины дома). Если крыша асимметричная, то еще на стадии ее проектирования   рассчитывается, на каком расстоянии от стен будет расположен конек. Именно это значение и берется в качестве параметра b. В результате расчета  получим длину каждой из стропильных ног (на левый и правый скат).

     4.3. Молниеотвод.

     Теорема Пифагора нашла своё применение и в физике для определения высоты молниеотвода. Молниеотвод обязательно должен быть на зданиях, где находятся люди. Гроза и ее непременный атрибут молния – атмосферное явление, таящее в себе достаточно большую опасность. Достаточно сказать, что в год в мире от удара молнии гибнет более 3000 человек (что гораздо больше числа погибших в авиакатастрофах), а материальный ущерб исчисляется миллиардами долларов.

     Для демонстрации случая практического применения теоремы Пифагора определим наименьшую доступную высоту молниеотвода на двускатной крыше детского сада.

     Учтём, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты.

По плану размеры крыши a=50м и b=12м, высоту молниеотвода обозначим через h.    О – основание молниеотвода. Расстояние от основания молниеотвода до предмета S.

     Если установить молниеотвод посередине крыши, то определим максимальное расстояние S от основания молниеотвода до края крыши:

     Молниеотвод защитит здание при условии , значит

В нашем случае получаем, что высота молниеотвода должна быть не менее 13 метров.

     4.4. Мобильная связь.

     В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора.

     При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу:

Какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе R, если известно, что радиус Земли равен 6 380 км?

     Согласно свойству касательной: Δ ВСО – прямоугольный (∠С=90°).

     Пусть AB = h км, BC = R км, OC = r = 6380 км, OB = OA + AB, OB = r + h

     Используя теорему Пифагора, получаем:

     Используя информацию о технических характеристиках вышки сотовой связи  решим эту задачу.

     Решение:

Если известен радиус зоны покрытия R=20 км, то используя предыдущие вычисления, получим:

=>31 м – высота вышки.

     4.5. Современные технологии.

     Применяется теорема Пифагора и во всех современных технологиях. Не забыли о теореме и при создании кино в 3D - 6D – измерениях, где кроме привычных нам 3-х величин: высоты, длины, ширины – учитываются время, запах и вкус. Как связаны с теоремой вкусы и запахи? Все очень просто – при показе фильма нужно рассчитать, куда и какие запахи и вкусы следует направлять в зрительном зале.

     4.6. Социальные сети.

     Есть такой закон — закон Меткалфа, формулирующий уровень

полезности социальной сети: он говорит, что ценность социальной сети

растёт в квадратичной зависимости от количества пользователей в ней.

     Например, Сеть из 50 млн. пользователей = Сеть из 40 млн. пользователей + Сеть из 30 млн. пользователей.

     Кажется удивительным, что полезность социальной сети в 50 миллионов человек выражается через полезность двух социальных сетей, в сумме имеющих 70 миллионов человек, но это на самом деле так. Социальная сеть растёт нелинейно.

5. Пифагоровы тройки.

     Теорема Пифагора продолжает оставаться живительным источником красоты, совершенства и творчества для новых поколений. Несмотря на то что, суть теоремы проста и изящна, но было бы ошибкой думать, что в плане её содержания не осталось места для каких-то новых исследований. Результатом одного из таких исследований являются Пифагоровы тройки.

     Пифагорова тройка — упорядоченный набор из трёх натуральных чисел (x,y,z), удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению:

     При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами. Названы в честь Пифагора Самосского, хотя открыты задолго до него.

     Поскольку уравнение однородно, при умножении x, y  и z  на одно и то же натуральное число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка (x,y,z) называется примитивной, если она не может быть получена таким способом из какой-то другой пифагоровой тройки, то есть если  x, y  и z   являются взаимно простыми числами. Другими словами, наибольший общий делитель примитивной пифагоровой тройки  (x,y,z) равен 1.

     В примитивной тройке (x,y,z) числа x и y имеют разную чётность, причём чётное делится на 4, а  z – всегда нечётно.

     Любая примитивная пифагорова тройка (x,y,z), где x – нечётно, а  y – чётно, однозначно представляется в виде  для некоторых натуральных взаимно простых чисел разной чётности.

     Эти числа можно вычислить по формулам:

     Наоборот, любая такая пара чисел (m, n) задаёт примитивную пифагорову тройку  .

     Геометрический смысл пифагоровых троек состоит в том, что они выражают стороны прямоугольного треугольника.

     Наиболее известной в развитых древних культурах была тройка (3, 4, 5), которая позволяла древним строить прямые углы. 

     В архитектуре надгробий Древней Месопотамии встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

     Вавилонские математики умели вычислять пифагоровы тройки. Вавилонская глиняная табличка, названная Plimpton 322, содержит пятнадцать пифагоровых троек (точнее пятнадцать пар чисел a и c , таких что ). Считается, что эта табличка была создана около 1800 года до н. э.

     Нахождением пифагоровых троек занимались Евклид, Пифагор, Диофант и многие другие. 

     Формула Евклида является основным средством построения пифагоровых троек. Согласно ей для любой пары натуральных чисел   () целые числа

образуют пифагорову тройку. Тройки, образованные по формуле Евклида, примитивны тогда и только тогда, когда m  и n взаимно просты и                      нечётно. Если m  и n  нечётны, то a, b  и c  будут чётными и тройка не примитивна. Однако деление  a, b  и c  на 2 даёт примитивную тройку, если m  и n взаимно просты.

     Любая примитивная тройка получается из единственной пары взаимно простых чисел m  и n, одно из которых чётно. Отсюда следует, что существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек.

     Несмотря на то, что формула Евклида генерирует все примитивные тройки, она не порождает все тройки. При добавлении дополнительного параметра k получается формула, порождающая все пифагоровы треугольники единственным образом:

где   m, n, k – натуральные числа ,  нечётно, m  и n  взаимно просты.

     Со времён Евклида было найдено множество формул для генерации троек.

     Рассмотрим некоторые свойства пифагоровых троек.

     Свойство 1.  Числа, входящие в простейшую пифагорову тройку, попарно взаимно просты. 

     Свойство 2.  В простейшей пифагоровой тройке только одно число может быть чётным. 

     Свойство 3. В простейшей пифагоровой тройке числа x и y не могут быть одновременно нечётными. 

     Пифагоровы числа обладают рядом любопытных особенностей:

     Один из катетов должен быть кратен трём.

     Один из катетов должен быть кратен четырём.

     Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти. 

  Таблица. Некоторые пифагоровы тройки

     Примитивные пифагоровы тройки используются в криптографии (наука о методах обеспечения конфиденциальности) в качестве случайных последовательностей и для генерации ключей. Также пифагоровы тройки используются в геодезии.

     Для меня самой актуальной является возможность использования пифагоровых троек для быстрого решения задач по геометрии.

     Оказывается, что, выучив наизусть пять пифагоровых троек (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17) и (9,40,41), можно быстро решать 60% задач по геометрии. При этом не нужно совершать математических действий по возведению в квадрат и взятию квадратного корня. Это позволяет значительно сэкономить время и избежать ошибок в вычислениях, что особенно будет важно при выполнении заданий на ОГЭ и ЕГЭ.

Решение задач с помощью пифагоровых троек

(Учебник «Геометрия 7 8 9» Л.С. Атанасян).

     №493. Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.

     Дано:

ABCD – ромб, 

DB=10 см, AC=24 см.

     Найти: 

AB=?

SABCD=?

     Решение:

ABCD – ромб => BD ┴ AC, AO=OC, BO=OD,

AO=AC : 2=12 см, BO=BD : 2=5 см.

ΔABO – прямоугольный. Числа 5 и 12 – это два элемента из пифагоровой тройки (5,12,13) => AB=BC=CD=DA=13 см.

     Ответ: 13 см; 120 см2.

     №498. Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами: а) 6,8,10; б) 5,6,7; в) 9,12,15; г) 10,24,26; д) 3,4,6; е) 11,9,13; ж) 15,20,25. В каждом случае ответ обоснуйте.

а) Числа 6,8,10 имеют общий делитель 2. Разделив получаем пифагорову тройку (3,4,5) => треугольник является прямоугольным.

б) Числа 5,6,7 не являются пифагоровой тройкой. Значит треугольник не прямоугольный.

в) Числа 9,12,15 не являются пифагоровой тройкой. Значит треугольник не прямоугольный.

г) Числа 10,24,26 имеют общий делитель 2. Разделив получаем пифагорову тройку (5,12,13) => треугольник является прямоугольным.

д) Числа 3,4,6 не являются пифагоровой тройкой. Значит треугольник не прямоугольный.

е) Числа 11,9,13 не являются пифагоровой тройкой. Значит треугольник не прямоугольный.

ж) Числа 15,20,25 имеют общий делитель 5. Разделив получаем пифагорову тройку (3,4,5) => треугольник является прямоугольным.

    Таким образом, не проводя вычислений, практически в уме очень быстро решаются задачи.

Заключение.

     В заключение приведу основные выводы по работе.

     Теорема Пифагора – одна из основополагающих теорем геометрии. Она применяется для решения огромного количества геометрических задач. Является примером простоты, красоты и широкой значимости.

    Несмотря на то, что теорема носит имя Пифагора, ее знаменитое соотношение сторон в прямоугольном треугольнике было известно задолго до его рождения. С помощью верёвки разделенной узлами на 12 равных частей древние египтяне строили прямоугольный треугольник и прямой угол. Этот удобный и очень точный способ употребляли землемеры для проведения на местности перпендикулярных линий. Для этого брали шнур и три колышка. Шнур располагали треугольником так, чтобы одна сторона состояла из трех частей, вторая – из четырех,  и последняя – из пяти таких частей. Шнур при этом образует треугольник, в котором есть прямой угол. 

     Также найдены свидетельства о знании соотношения сторон в прямоугольном треугольнике в Древнем Китае, у древних индусов, в Вавилоне. И все это было задолго до жизни Пифагора. Однако эта теорема названа его именем, потому что Пифагор доказал соотношение сторон в треугольнике. Он сделал то, что века назад не делали те, кто просто пользовался соотношением сторон и гипотенузы, установленным опытным путем.

     Со временем доказательств теоремы Пифагора все прибавлялось. На сегодняшний день их насчитывается более пятисот. Теорема даже занесена в Книгу рекордов Гиннеса, как имеющая наибольшее число доказательств.

     В своей работе я привел несколько способов доказательства теоремы Пифагора, не изучаемых в школе.

     Сегодня теорема широко применяется в различных сферах деятельности, почти везде, где необходимы геометрические расчеты. Некоторые примеры практического применения я изучил в ходе написания работы. Это:

• использование в архитектуре для обеспечения прочности и эстетики окон в романском стиле;
• в строительстве для расчета длины стропил двухскатной крыши;
• в физике при расчете высоты молниеотвода для обеспечения безопасности здания в случае удара молнии;
• применение
• в области высоких технологии для расчета эффективности применения спецэффектов в современных кинозалах;
• в расчете полезности новой социальной сети.

     В ходе написания данной работы я обнаружил тему пифагоровых троек. Изначально я не собирался писать о них, но меня очень заинтересовала эта тема.

     Пифагорова тройка — это упорядоченный набор из трёх натуральных чисел (x,y,z), удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению:

     При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами. Названы в честь Пифагора Самосского, хотя открыты задолго до него.

     Геометрический смысл пифагоровых троек состоит в том, что они выражают стороны прямоугольного треугольника.

     Самая известная простейшая пифагорова тройка – (3,4,5), т.е. это наш знаменитый египетский треугольник.

     Оказывается, что, выучив наизусть пять пифагоровых троек (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17) и (9,40,41), можно быстро решать 60% задач по геометрии. При этом не нужно совершать математических действий по возведению в квадрат и взятию квадратного корня. Это позволяет значительно сэкономить время и избежать ошибок в вычислениях, что особенно будет важно при выполнении заданий на ОГЭ и ЕГЭ.

     Таким образом, все поставленные задачи, поставленные перед написанием работы, выполнены. В процессе написания данной работы я получил новые полезные для меня знания.

Общий вывод работы:

• Теорема Пифагора – одна из важнейших теорем геометрии;
• На ее основании решается множество задач геометрии;
• Теорема имеет большое практическое значение при расчетах в архитектуре , строительстве, физике, астрономии и т.д.;

Список источников.

1. Акимова С. Занимательная математика, серия "Нескучный учебник". – Санкт-Петербург. : "Тригон", 1997.
2. Волошников А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. – М.: Просвещение, 1993.
3. Еленьский Ш. По следам Пифагора. М., 1961.
4. Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.
5. По следам теоремы Пифагора. М: Самообразование, 2000.
6. Рассчитываем длину стропил и свесов двухскатной крыши // kryshagid.ru/stropilnaya-sistema/kak-rasschitat-dlinu-stropil-dvuxskatnoj-kryshi.html
7. //ru.wikipedia.org
8. //www.youtube.com/watch?v=TqCVqSHBTus