Теорема Эйлера и правильные многогранники. Применение теоремы Эйлера к решению задач.
презентация к уроку по геометрии (10 класс) по теме

Автор: Макарова Татьяна Павловна,

учитель математики

ГБОУ средней общеобразовательной школы №618

г. Москвы

Предмет: геометрия

ЗАПУСК

Тема урока «Теорема Эйлера и правильные многогранники».

СМЕНА СЛАЙДА

В школьном курсе теме правильных многогранников уделено достаточно много времени. Различные задачи такого типа, от самых легких до самых сложных, можно встретить на контрольных работах, олимпиадах и математических конкурсах.

Для лучшего их понимания предлагаю  подробное рассмотрение Теоремы Эйлера и вытекающих из неё свойств.

СМЕНА СЛАЙДА

Цель урока:

Изучить классификацию правильных многогранников и их свойства

Проанализировать связь геометрии, теории чисел и алгебры

Применять теорему Эйлера к решению задач

Развить представления о правильных  многогранниках и живой и неживой природой

СМЕНА СЛАЙДА

Прежде всего, нужно сказать, что выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и если в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Из литературы известно, что всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников, а именно:

Тетраэдр

Гексаэдр

Октаэдр

Икосаэдр

Додекаэдр

СМЕНА СЛАЙДА

Их названия пришли из Древней Греции. Также правильные многогранники использовали в своих фантазиях ученые, такие как:

Платон

Кеплер

Макаров

Морозов

СМЕНА СЛАЙДА

Кеплер, например, считал, что существует связь между правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами.

Согласно его предположению в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.

Но его гипотеза после проверки оказалась ошибочной.

 СМЕНА СЛАЙДА

Проведем исследовательскую работу: 1. прежде всего подсчитаем сколько у каждого из многогранников граней, вершин и ребер.

Результаты занесем в таблицу 1, которую вы видите на экране (показать после проведения работы для сравнения результатов).

СМЕНА СЛАЙДА

Но никакой закономерности в возрастании чисел в столбцах мы не увидели.

Тогда  рассмотрим сумму чисел в двух столбцах: «грани» и «вершины» и составим новую таблицу вычислений, которую вы видите на экране.

Вот теперь закономерность заметна. Можно сформулировать её так: «Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2», т.е.

Г + В = Р + 2

СМЕНА СЛАЙДА

Эта формула была открыта Леонардом  Эйлером (1752 г.), имя которого с тех пор она носит.

 Теорема Эйлера играет огромную роль в математике. С её помощью было доказано огромное количество теорем, она получила далеко идущие обобщения. Более того, эта теорема открыла новую главу в математике, которая называется топологией.

СМЕНА СЛАЙДА

Из теоремы Эйлера вытекает невозможность существования иных правильных многогранников, кроме тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра. На  этом и последующих двух слайдах представлено доказательство этого факта.

СМЕНА СЛАЙДА

Доказательство ведется методом исключения: из предположительно существующих девяти комбинаторно правильных многогранников типа (m,n) по ходу решения отпадают четыре, существование которых невозможно.

СМЕНА СЛАЙДА

Таким образом доказано, что комбинаторно правильных многогранников существует всего пять видов, их мы и видим в таблице №4

СМЕНА СЛАЙДА

Так же теорему Эйлера и вытекающие из неё следствия я использовал при решении задач

В задачах :

Г - количество граней

Г с индексом  3- количество  треугольных граней

Г с индексом  4- количество четырехугольных  граней

Г с индексом  5- количество пятиугольных граней

В – количество вершин

В с индексом  3- количество вершин в которых сходятся  3 ребра

В с индексом  4- количество вершин в которых сходятся  4 ребра

В с индексом  5- количество вершин в которых сходятся  5 ребер

Р – количество ребер

СМЕНА СЛАЙДА(после щелчка переход на задачу два)

СМЕНА СЛАЙДА

Рассмотрим основные свойства правильных многогранников, а именно:

1)Двойственность. Если в двух многогранниках число вершин одного равно числу граней другого и наоборот, то такие многогранники называются двойственными друг другу

2) Наличие 3 сфер - вписанной, описанной и касающейся всех ребер правильного многогранника, причем центры этих трех сфер совпадают.

СМЕНА СЛАЙДА

В практической часть урока: произведем расчет объема додекаэдра, где

a- сторона правильного додекаэдра

СМЕНА СЛАЙДА

Найдем значение тангенса 36 градусов и получим значение S5.

СМЕНА СЛАЙДА

Чтобы найти r, воспользуемся свойством, что центр вписанной сферы — это точка пересечения биссекторов всех двугранных углов и, следовательно, лежит в каждом из них.

СМЕНА СЛАЙДА

Остается найти             Изобразим фрагмент додекаэдра, на модели убедившись, что перпендикуляры к ребру, лежащие в плоскостях пересекающихся в нем граней и проходящие через вершины, находятся вне многоугольников–граней

СМЕНА СЛАЙДА

Находим значения

Синуса

Косинуса

Тангенса

СМЕНА СЛАЙДА

Находим r и подставляем все найденные значения в формулу для нахождения объёма и получаем ответ.

СМЕНА СЛАЙДА

В таблице 5 представлены формулы для расчета объёмов и площадей поверхности выпуклых правильных многогранников со сторонами равными  a.

СМЕНА СЛАЙДА

правильные многогранники хорошо изучены учеными. Но сам ли человек их придумал? Скорее всего — нет, он «подсмотрел» их у природы.

Например, скелет одноклеточного организма феодарии(его вы видите на экране)  по форме напоминает икосаэдр.

такая природная геометризация вызвана, по–видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

СМЕНА СЛАЙДА

Итог урока:

доказана невозможность существования иных правильных выпуклых многогранников, кроме тетраэдра, гексаэдра, октаэдра, икосаэдра и додекаэдра.

систематизированы и более подробно изучены свойства правильных многогранников

Выделена связь :Топология – теорема Эйлера – геометрия

теорема Эйлера применена при решении задач

показана связь Неживая природа – правильные многогранники – живая природа

В заключение хочу обратить внимание на слова Л. Кэрролла, которые являются эпиграфом моего реферата: «Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук»

СМЕНА СЛАЙДА

Спасибо за внимание!