Разработка проблемного урока по теме: «Касательная к окружности» 8 кл. с презентацией
план-конспект урока по геометрии (8 класс)

Разработка проблемного урока по теме:

«Касательная к окружности»

Урок направлен на достижение следующих целей:

1) в предметном направлении:        

• Ввести понятие касательной к окружности,
• изучить свойство касательной, свойство отрезков касательных.

2) в метапредметном направлении:           

• Развитие представлений о математике как форме описания и методе познания действительности, создание условий для приобретения первоначального опыта математического моделирования;
• Формирование общих способов интеллектуальной деятельности, характерных для математики и являющихся основой познавательной культуры, значимой для различных сфер человеческой деятельности;

3)  в направлении личностного развития:           

• Развитие логического и критического мышления, культуры речи, способности к умственному эксперименту;
• Формирование интеллектуальной честности и объективности, способности к преодолению мыслительных стереотипов, вытекающих из обыденного опыта;
• Воспитание качеств личности, обеспечивающих социальную мобильность, способность принимать самостоятельные решения;
• Развитие интереса к математическому творчеству и математических способностей

Задачи урока:

Образовательные:

• Формирование у обучающихся системы научных знаний.
• Совершенствование умений запоминать, выделять главное.
• Формирование представлений о значимости.
• Совершенствование умений в решении практических задач.

Развивающие:

• Формирование у обучающихся регулятивных компетенций

(управление своей деятельностью, инициативность, самостоятельность).

• Развитие коммуникативной деятельности (речь, навыки сотрудничества).
• Применение обучающимися  учебного материала, имеющего опорный характер.
• Совершенствование умений анализировать предложенную ситуацию и устанавливать причинно-следственные связи.
• Развитие преобразований и применение новых знаний к решению задач, связанных с конкретными ситуациями.
• Совершенствование  умений и навыков в решении исследовательских задач.

УУД, осуществляемые на уроке:

Предметные:

• Формирование системы научных знаний.
• Использование знаний по предмету для решения конкретных задач.

Метапредметные:

• Регулятивность ( управление своей деятельностью, инициативность, самостоятельность)
• Коммуникативность ( речь, навыки сотрудничества)

Личностные:

• Самоопределение (внутренняя позиция школьника).
• Смыслообразование (мотивация, границы познания).

Методы обучения: проблемный, репродуктивный, частично-поисковый.

Планируемые результаты: 

Учащийся научится формулировать свойство касательной и доказывать     теорему, выражающую свойство отрезков касательных,  применять полученные знания к решению простейших задач.

На уроке приобретет такие компетенции:

Информационная, коммуникативная, исследовательская, готовность к самообразованию.

Основные понятия: определение касательной, определение отрезков касательной.

       Оборудование и материалы: компьютер, проектор, экран, листы для исследования, листы для самооценки, циркуль.

       Время урока: 40 минут.

 Технология: педагогическая мастерская.

        План проведения урока:        

ХОД УРОКА. 

1. Орг. Момент. «Индукция»

   Сегодня у нас не просто урок. Сегодня у нас целая мастерская. А что такое мастерская? Это место, где происходит рождение чего-то нового. В мастерской работают настоящие мастера и подмастерья (их ученики). В мастерской художника рождаются– картины. В мастерской ювелира – украшения. А в мастерской ландшафтного дизайнера – уютные композиции.

- А мы с вами будем работать в мастерской геометрических фигур.  Народная  мудрость гласит: "Ум без догадки - гроша не стоит", поэтому на уроке нам нужны эмоции, образы, умение рассуждать, анализировать, а это невозможно без знаний и вдохновения. И я вам желаю: - Вдохновения  на протяжении всего урока!

Мотивация. Самоконструкция

  - Работать вы будете в группах. - Я думаю, что вам комфортно и удобно.

- Назначьте ответственного в своей группе, который должен следить за тем, чтобы каждый в группе работал. У вас имеются сигнальные карточки.

  Зеленая – это сигнал того, что группа выполнила работу,

красная – есть вопрос.

- На каждом этапе урока вы должны будете оценить свою деятельность в баллах, заполняя листы самооценки,  в которых указаны критерии.

- Итак, перенесемся в нашу мастерскую геометрических фигур.

  - Каждый из нас мечтает создать комфортные условия для проживания. (слайд)

 И за наше короткое лето нам хочется создать уют в маленьком, родном уголке природы.

  - И сейчас я предлагаю  вам выступить в роли ландшафтных дизайнеров, и выполнить не большой проект. Нам необходимо проложить от дома до бассейна дорожку. (слайд)

- Представим, что бассейн имеет форму круга. Расположите его на заданном расстоянии от дома и проложите дорожку (с помощью маркера и линейки), которая будет иметь  общую точку с бассейном.

-Возникли ли у вас затруднения? (нет, т. к. у нас был задан уже размер бассейна, расстояние)

 -А как вы думаете: возникнут ли трудности у дизайнера при выполнении этой работы на практике? (нужны расчеты, нужны знания геометрических понятий) Каких?

(Окружность, центр, радиус, диаметр)

- И сейчас я предлагаю повторить эти определения. Возьмите конверт №1 и соберите определения: начало – на …, продолжение – на…

1.Окружность- геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от заданной точки.

2.Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности.

3. Радиус-это отрезок, соединяющий центр окружности и точку, лежащую на окружности.

4. Центр – это точка, равноудаленная от любой точки, лежащей на окружности.

(проверка) - Оцените свою работу, за каждое правильно составленное  определение поставьте 1 балл.

Целеполагание. Социоконструкция

- Вернемся к нашему дизайну. 

- Так как мы находимся в мастерской геометрических фигур, давайте переформулируем условие проекта на геометрический язык.

Дорожка – это…   Граница бассейна – это….

- как расположена прямая по отношению к окружности? (имеет одну общую точку). А как иначе можно сказать про эту прямую, то есть как проходит по отношению к окружности? (касается)

-И поэтому эта прямая называется касательной. 

- Как вы думаете какая тема нашего урока? (Касательная к окружности.(пишем на доске и в тетради, делаем чертеж- окр., касательная, точка -подписать)

- Пусть нам задана окружность – начертите в тетради любого радиуса, отметим на ней точку. Проведите касательную. А общая точка называется -точка касания.

- Касательная обладает свойствами, имеющими ценность при решении задач.

- Как вы думаете, что мы будем изучать на уроке? (касательную, ее свойства)

- А для чего нужно их изучить нам? (чтобы решать задачи)

- Итак, сегодня на уроке мы изучим свойства касательной и научимся применять их на практике.

Исследовательская работа

- Вернемся  вновь к нашему проекту и я предлагаю вам провести небольшую творческую работу, в результате которой мы и познакомимся с одним из свойств касательной. Работу выполните согласно инструкции.

                 Инструкция для творческой работы.

1. Проложите дорожку к бассейну по – другому,

соблюдая все заданные условия.

2. Обозначьте точки касания буквами В и С.
3. Соедините центр бассейна с точками касания.
4. Определите градусную меру углов между

  радиусами и касательными.

5. Сделайте вывод.

   - Какой вывод вы получили? (спросить в двух группах)

- Это и есть одно из свойств касательной: 

«Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу,  проведенному в точку касания». (плакат) Оцените свою деятельность при выполнении творческой работы. Если вы выполнили работу, согласно инструкции, но не сделали вывод – 2 балла. Если есть вывод – 4 балла.

Задача 1. – Применим это свойство на практике.

Физминутка.

- Мы устали чуточку, отдохнем минуточку.

- Кто согласен с тем, что «Прямая является касательной по отношению к окружности, если она имеет одну общую точку с ней». – встаньте.

- Нарисуйте глазками окружность, а теперь головой, туловищем.

-Улыбнитесь соседу справа, улыбнитесь соседу слева.

- Молодцы, тихонечко садитесь.

Творческая работа в группах   - Продолжим нашу работу.

-Касательная, ребята, обладает еще одним уникальным свойством.

- Я напомню, что мы работаем с дизайнерским проектом.  При выполнении предыдущей работы у вас образовались треугольники АОС и АОВ, сравните их.

1. Что вы можете сказать про стороны АВ и АС. (АВ и АС – называются отрезками касательных)
2. И углы ОАВ и ОАС тоже будут равны. А почему?                

- И мы с вами подошли еще к одному  свойству:

(Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности)

- И сейчас мы докажем это свойство. (рис. 213)

Попробуйте составить цепочку доказательства, опираясь на полученные знания с помощью фраз из конверта №2.

Рассмотрим треугольники АОС и АОВ

По свойству касательных  

АОС и АОВ - прямоугольные треугольники

Катеты ОВ=ОС=R и ОА -общая гипотенуза

Треугольники АОС = АОВ

 Следовательно  АВ=АС  и

- Проверьте работу и Оцените свою работу на данном этапе макс. – 4 балла. Каждая допущенная ошибка минус 1 балл.

7. Первичное закрепление нового материала.

- Мы познакомились еще с одним свойством касательной. Применим на практике: устно решить задачу.

- 1)То есть какой угол? Из каких углов он состоит? Как можно найти маленький угол? Вид треугольника? Почему?

-2) Вид треугольника? Какая теорема нам поможет найти катет?

8. Самостоятельная работа  с самопроверкой по эталону.

Оцените свою работу на данном этапе – макс. 4 балла.

Практическое применение.

- Мы сегодня работали в мастерской дизайнера. Как вы думаете в жизни можно встретить касательную к окружности?

-Все катались на велосипеде? Обращали внимание на цепь, которая помогает движению колес? Видим касательную? (даже 2)-слайд.

- А кто из вас помогал делать ремонт автомобиля?

 - Обращали внимание на ремни – с помощью, которых происходит передача  механической энергии от двигателя, различные конвейеры.

    - Воздушный шар, наполненный горячим воздухом, на котором передвигались по воздуху.    

   Это говорит о том, что геометрические задачи находят широкое практическое применение: в инженерном деле, физике, строительстве и многих других областях.

- Работа по учебнику: № 635, № 639.

9. Подведение итогов.

- Итак, подведем итоги нашего сотрудничества в мастерской. Мы с вами хорошо потрудились и я рад такому сотрудничеству и думаю, что вы еще раз убедились на сколько значимы математические познания в нашей жизни . А на память о нашей встрече хочу подарить вам ромашку. И ромашка эта не простая, а умная- она знает все о касательной и окружности. А что же узнали вы? ( По очереди выходят к доске и срывают лепесток с вопросом).

    Вопросы:

1)Какая прямая называется касательной к окружности?

2)Назовите случаи взаимного расположения прямой и окружности?

3) Какая точка называется точкой касания?

4) Как наиболее точно провести касательную к окружности?

5) Сколько радиусов можно провести перпендикулярно к данной касательной?

6) Что вы знаете об отрезках касательных?

10. Рефлексия, дифференцированное дом. Задание.

- Попробуйте определить, насколько хорошо вы усвоили новое знание.

Выберите смайлик по цвету:

- красный цвет, если испытывали затруднения на уроке;

- жёлтый цвет, если усвоили новое знание, но затрудняетесь применить его на практике;

- зелёный цвет, если усвоили новое знание и научились применять его на практике.

П. 69 № 638              п. 69 № 642              

   п. 69, доказать признак касательной, № 644

- Оцените свою активность на уроке и подсчитайте общее количество баллов. Согласно критериям, поставьте себе оценку за урок.

Критерии оценивания    20-18  баллов – оценка 5,  17-15 баллов – оценка 4

Дополнительный материал к уроку:

учени…     8   класса

 Ф. И.__________________________

- Отложите от дома (от точки А) расстояние  21 см в любом направлении.

- Отметьте точку, совместите ее с центром окружности.

- Проложите дорожку (с помощью линейки) от дома, которая будет касаться  бассейна.

         Инструкция для творческой работы.

1. Проложите дорожку к бассейну по – другому,

соблюдая все заданные условия.

2. Обозначьте точки касания буквами В и С.
3. Соедините центр бассейна с точками касания.
4. Определите градусную меру углов между

  радиусами и касательными.

5. Сделайте вывод.

         Инструкция для творческой работы.

1. Проложите дорожку к бассейну по – другому,

соблюдая все заданные условия.

2. Обозначьте точки касания буквами В и С.
3. Соедините центр бассейна с точками касания.
4. Определите градусную меру углов между

  радиусами и касательными.

5. Сделайте вывод.

учени…     8   класса

 Ф. И.__________________________

учени…     8   класса

 Ф. И.__________________________

учени…     8   класса

 Ф. И.__________________________

учени…     8   класса

 Ф. И.__________________________

учени…     8   класса

 Ф. И.__________________________

Установите взаимное положение и выполните чертеж:

  а) прямой ВС и окружности радиуса 2см с центром А;  

 б) прямой АС и окружности радиуса ВС с центром В;

 в) прямой АВ и окружности радиуса 1 см с центром С;

  г) прямой АС и окружности радиуса равного отрезку ВН,

выходящей из вершины В к стороне АС и центром В.

Установите взаимное положение и выполните чертеж:

  а) прямой ВС и окружности радиуса 2см с центром А;  

 б) прямой АС и окружности радиуса ВС с центром В;

 в) прямой АВ и окружности радиуса 1 см с центром С;

  г) прямой АС и окружности радиуса равного отрезку ВН,

выходящей из вершины В к стороне АС и центром В.