Теорема Пифагора.Нахождение целочисленных прямоугольных треугольников.
занимательные факты по геометрии (8 класс)

Теорема Пифагора. Нахождение целочисленных треугольников

Мы хорошо знаем эту  теорему: «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах». Открытие этой теоремы приписывают знаменитому  древнегреческому философу Пифагору, на самом деле  была известна в древнем Вавилоне по меньшей мере за 1200 лет до Пифагора. Предполагают, что Пифагор узнал о ней во время одного из своих путешествий в Вавилон или Египет. Доказательство теоремы, приведённое в знаменитом учебнике геометрии Евклида , без особых изменений перешло в другие учебники.

Пифагор указал способ нахождения любого числа целочисленных прямоугольных треугольников. Он утверждал, что в прямоугольном треугольнике, у которого длины катетов выражаются целыми числами, длина гипотенузы будет выражаться тоже целым числом. Прав он или нет? Докажем это в общем случае.

1.Пусть п- натуральное число, тогда а=п+(п+1)= 2п+1, в=2п(п+1), гипотенуза с=а2+в2=(п+(п+1))2+(2п(п+1))2= п2+2п(п+1)+(п+1)2+(п+1)2+(2п(2п+1))2=п2+2п2+2п+п2+2п+1=п2+2п2+2п+п2+2п+1+(2п(2п+1))2=4п2+4п+1+4п2(2п+1)2=4п(п+1)+1+4п2(2п+1)2=(2п(2п+1)+1)2

с2=(2п(2п+1)+1)2, с = 2п(2п+1)+1

п= 1, а= 2*1+1=3, в=2*1(1+1)= 4, с= 2*1+1=5, с=2*1(1+1)=1=5

п=2, а=2*2+1=5, в= 2*2(2+1)=12, с= 12+1=13

п=3, аналогично находим по формулам а=7, в=24, с=25 и т.д.

2.Пусть к,р,п- произвольные натуральные числа, р больше п. а=к( р2-п2), в= 2крп- целочисленные ,тогда с= к(р2+п2) и  (к(р2-п2))2 + (2крп )2=(к(р2+п2))2. 

Задачи:

5.На сторонах равнобедренного прямоугольного треугольника построены квадраты. Докажите , что два меньших квадрата можно разрезать на куски, из которых можно составить больший квадрат.

7. Квадраты, построенные на катетах прямоугольного треугольника, можно разрезать на куски, из которых можно составить квадрат, построенный на гипотенузе.