Метод координат в решении стереометрических задач
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (10 класс) на тему

Метод координат в решении задач С2

Во многих стереометрических задачах С2, связанных с нахождением расстояния между скрещивающимися прямыми, расстояния между прямой и плоскостью или угла между прямой и плоскостью, угла между плоскостями бывает сложно найти правильное геометрическое решение. Не раз отмечали и наши эксперты по проверке работ ЕГЭ, что применение метода координат дает больше положительных результатов.

Немного теоретических и практических навыков приобретают наши ученики в курсе стереометрии 11 класса, где мы учим их определять координаты точки в пространстве, рассматриваем координаты векторов, находим углы между векторами через скалярное произведение в координатах. Готовя наших учеников к ЕГЭ, мы понимаем, что, к сожалению, мало уроков отводится на изучение геометрии и материала наших учебников явно недостаточно. Благо, сейчас кроме справочников большие возможности нам предоставляет интернет, где очень много информации различного рода: от статей до видеоуроков.

Прежде всего, рассматривая задачи на применения метода координат, надо объяснить учащимся, что вводя систему координат для многогранников, направление осей можно выбирать произвольно. Очень удобно это в прямоугольном параллелепипеде или кубе, сложнее в призмах и пирамидах, основаниями которых служит не прямоугольник.

Задача 1

Найти угол между прямыми АВ1 и ВС1 в кубе АВСDА1В1С1D1.

Решение

Введем систему координат с центром в точке В.

В(0;0;0;), А(1;0;0), В1(0;0;1), С1(0;1;1)

Угол между прямыми АВ1 и ВС1 можно  рассмотреть как угол между направляющими векторами АВ1 и ВС1. Тогда cos α = |( АВ1,ВС1)| 

                                                                             |АВ1|·|ВС1|

                           АВ1{-1;0;1},  ВС1{0;1;1}  

cos α =       -1·0 + 0·1 + 1·1            =   1             

             √(-1)²+0²+1² ·√0²+1²+1²         2                 т. е.   α = 60°.                    

При решении задач методом координат на вычисление угла между прямой и плоскостью или угла между плоскостями необходимо составлять уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Уравнение плоскости имеет вид: , где , ,  и  – числовые коэффициенты.

Пусть  нам нужно написать уравнение плоскости, которая проходит через точки ,  и  .

Так как точки принадлежат плоскости, то при подстановке их координат в уравнение плоскости, мы получим верные равенства.

Так как у нас три точки, мы должны получить систему из трех уравнений с четырьмя неизвестными. Преобразуем уравнение, разделив обе его части на число  . Получим:

Мы можем переписать  это уравнение в виде: 

Внимание! Если плоскость проходит через начало координат, то d=0.

Чтобы найти коэффициенты А, В и С, подставим координаты точек ,  и  в уравнение плоскости .

Получим систему уравнений:

Решив ее, мы найдем значения коэффициентов А, В и С.

Величина двугранного угла измеряется величиной соответствующего линейного угла. Пусть наши плоскости   и  заданы уравнениями:

:  

:  

Косинус угла   между плоскостями находится по формуле, похожей на формулу косинуса угла между векторами:

В ответе мы записываем , так как величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла.

Задача 2

В правильной четырехугольной призме АВСDА1В1С1D1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА1 взята точка М так, что АМ = 8 см. На ребре ВВ1 взята точка K так,  что ВК = 8 см. Найдите угол между плоскостью D1MK и плоскостью CC1D.

Сделаем чертеж. Введем систему координат с началом в точке А1. Составим уравнения плоскостей D1MK и CC1D.

D1MK: D1(0;12;0), M(0;0;21-8), K(12;0;8)

Подставим координаты точек в уравнение плоскости :

Отсюда: , ,

Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости:

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения плоскости на . Получим уравнение плоскости D1MK:  

(а1 = 5, b1 = 13, c = 12).

Аналогично составляем уравнение плоскости CC1D: С(12;12;21), С1(12;12;0), D(0;12;0).

12А + 12В + 21С + 1 = 0,            С = 0

12А + 12В + 1 = 0,                      А = 0

12В + 1 =0                                  В = - 1/12      

-1/12 у + 1 =0  или   у – 12 = 0   (а2 = 0, b2 = 1, с2 = 0)

соs φ  = _|5·0 + 13·1 + 12·0|_   =    _13_  =    1               φ = 45°.

           √52+132+122 · √02+12+02      13√2      √2

Уравнение плоскости можно составить с помощью матрицы, точнее вычисления ее определителя. Для этого необходимо познакомить учащихся с азами теории матриц.

Матрица – это прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины столбцов.

В общем виде матрицу размером m×n записывают так

   Нам необходимо показать, как вычислять определитель матрицы второго порядка - число, получаемое  следующим образом: 

и определитель матрицы третьего порядка: .

Уравнение плоскости, проходящей через точки ,  и   получим из определителя

х – х1      у- у1      z – z1

х2 – х1     у2 - у1    z2 – z1     = 0 

х3 – х1     у3- у1     z3 – z1             где х, у, z – переменные величины.

Приравнивая к нулю значение определителя матрицы, и получается уравнение плоскости.

Задача 3

В правильной треугольной призме все ребра равны 1. Найти косинус угла между плоскостями АСВ1 и А1ВС1.

     Введем систему координат, например, с  

     началом в точке А. Тогда А(0;0;0), В(1;0;0),  

     А1(0;0;1), В1(1;0;1).

     Сложнее найти координаты точек С и С1.

     Т.к. угол в основании треугольника 60°, то  

     ось у не совпадает с АС.

     Рассмотрим отдельно треугольник АВС в  

х     координатной плоскости ху: АВ = 1, хс = ½,  

      ус = √3/2.

      Т.о. С(1/2, √3/2; 0), С1(1/2, √3/2; 1).

Составим уравнение плоскости АСВ1  и плоскости А1ВС1.

АСВ1:   А(0;0;0), В1(1;0;1), С(1/2, √3/2; 0)

x-0    у-0    z-0

1-0    0-0    1-0        = 0

½-0   √3/2-0   0-0

x·   0    1   - y· 1   1  + z· 1    0      = x·(0-√3/2)-y·(0-½) +z·(√3/2-0)

   √3/2 0         ½  0         ½  √3/2

-√3/2x +½y+√3/2 z = 0  , т.е. коэф. А=-√3/2, В=½, С=√3/2

Вектор нормали плоскости АСВ1    n1(-√3/2; ½; √3/2).

А1ВС1:   А1(0;0;1), В(1;0;0), С1(1/2, √3/2; 1)

x-0    у-0    z-1

1-0    0-0    0-1        = 0

½-0   √3/2-0   1-1

x·   0  -1    - y· 1  -1  +z· 1    0     =x·(0+√3/2)-y·(0+½) +z·(√3/2-0)

   √3/2  0         ½  0        ½  √3/2

√3/2x -½y+√3/2 z = 0  , т.е. коэф. А=√3/2, В=-½, С=√3/2

Вектор нормали плоскости А1СВ1    n2(√3/2; -½; √3/2)

Угол между плоскостями рассмотрим как угол между векторами- нормалями к каждой плоскости (т.е. векторами перпендикулярными плоскостям), которые имеют координаты, равные коэффициентам а, b, c  в уравнениях плоскостей.

α = (n1, n2)    и косинус между векторами-нормалями вычисляется через скалярное произведение векторов:

cos α = |( n1, n1)| 

            |n1|·|n1|

Основные этапы: ввести систему координат, составить через три точки уравнения плоскостей, их коэффициенты использовать для вычисления косинуса угла между плоскостями.

Много других различных задач можно решить методом координат: найти расстояние между прямой и плоскостью, расстояние между прямыми и т.д.