Конспект урока по геометрии в 11 классе "Решение задач по теме "Объём конуса" ".
план-конспект урока по геометрии на тему

МБОУ «Первомайская СОШ   Оренбургского района»

Конспект урока по геометрии  в 11 классе

Решение задач по теме «Объём конуса».

Газизова В.В.

Цель урока:  повторить все формулы,  связанные с конусом,

 закономерности, связанные с подобными конусами,

 научиться решать задачи на нахождение элементов конуса,

 его  объёма,

 приобрести опыт решения задач на конус из ЕГЭ.

План  урока:  

1. Организационный момент.
2. Проверка  знания  теоретического материала:  определение конуса и формул, выражающих взаимосвязи между  элементами  конуса.
3. Проверка  домашней работы.
4. Устная работа по презентации.

        1) фронтальная работа

        2) блиц - опрос

        3) самопроверка, самооценка.

     5. Решение задачи из учебника № 706.

     6.  Подготовка к экзаменам. Решение подборки  задач по материалам ЕГЭ. 

          (прототипы № 8 - профиль, и прототипы № 13 -база.)

     7. Дифференцированная самостоятельная работа  по карточкам.

    (группа А – профиль, группа В - база).

     8. Дифференцированная домашняя работа.

     9. Итог урока.

    10. Дополнительная информация о конусе.

Ход урока:

I. Организационный момент.

Сегодня на уроке в поле нашего внимания  задачи на нахождение элементов конуса, объёма конуса.

Вдохновляющими словами нашего урока будут слова:

«Никогда не сдавайся. Цель может быть уже так близка!»

И главная  цель нашего урока – приобрести драгоценный опыт решения задач на вычисление элементов конуса и  объёма конуса.  Мы увидим, как отражается данная тема в вариантах ЕГЭ, и с помощью  заданий по  карточке, проверим свои силы в решении задач по материалам ЕГЭ.

II. Повторение теоретического материала по теме:

1. Определение  конуса.
2. Формулы.

(Один из учеников на крыле доски выписывает по памяти  формулы, выражающие  взаимосвязи между элементами конуса и отвечает определение конуса.)

          R2 + h2 = L2                                                      Для подобных конусов:

Sсек  = (π R2α)/360        R1/ R2 = h1/ h2 = L1/ L2 = k

Sбок  = (π L2α)/360                                 k – коэффициент подобия

Sбок  = π R L                                  S1/ S2 = k2           V1/ V2 = k3          

Дополнительный  вопрос:

          Какое отношение к конусу имеет формула   Sсек  = (π R2α)/360 ?

(Развертка боковой поверхности  конуса  представляет из себя

 сектор,    радиус которого – образующая конуса, с учётом

 этого    формула и  принимает вид  Sбок  = (π L2α)/360.)

III.  Проверка домашней работы.

1. Цилиндр и конус имеют общее основание

    и общую высоту.

    Вычислите объем цилиндра,  если

    объем конуса равен 40см3.

   Дано: конус вписан в цилиндр; Vк = 40.

    Найти: Vц.

    Решениe:  Vк = 1/3 π R2 h;  

                     Vц = π R2 h;  

Сравнивая формулы для нахождения объёмов цилиндра и конуса, замечаем, что объём цилиндра в 3 раза больше объёма конуса,  то есть Vц = 3 Vк, следовательно  Vц = 3*40 = 120 см3.

Ответ: 120 см3

2. Прямоугольный треугольник с   катетами 3 см

    и 4 см  вращается около меньшего катета.

    Определите объем полученного тела.

Дано: прямоугольный треугольник с   катетами

3 см  и 4 см  вращается около меньшего катета

Найти:Vт.

Решение:  полученным телом вращения является конус, у которого радиус основания 4 см, а высота 3 см. По формуле Vк = 1/3 π R2 h  найдём объём конуса:  Vк = 1/3 π 42* 3 = 16 π см3.

Ответ: 16 π см3

3. Образующая конуса равна 60 см, высота 30 см.

    Найдите объем конуса. 

Дано: конус; L = 60 см; h = 30 см.

Найти: V.                    

IV. Устная работа.

1. (2-5 слайд.)

На слайде появляются пифагоровы тройки чисел.

Вопрос учителя: «Что бы это значило? И какое отношение эти числа имеют к конусу?»

Ученики узнают, что это – пифагоровы тройки чисел и  такие значения   могут принимать  радиус, высота и образующая конуса, так как эти элементы образуют  прямоугольный треугольник и, значит, связаны формулой   R2 + h2 = L2  по теореме Пифагора.

            На слайде  визуализируется  постепенно всё, о чём говорится: конус,

          формула, прямоугольный треугольник.

          Затем появляется таблица с пропусками значений элементов конуса.

          Ученики должны найти значение образующей, высоты, радиуса конуса

           по известным двум другим элементам.  

           Правильные ответы     визуализируются.

2. (6 – 9 слайд.) Решение двух  обратных задач на конус, вписанный в цилиндр.

1. Объём цилиндра 45 см3. Найти объём конуса.
2. Объём конуса 2,7 дм3. Найти объём цилиндра.

        Ученики  комментируют своё решение, анимация

                  визуализирует взаимосвязь между объёмами данных фигур.

3. (10 слайд)  Решение 4х задач  (прототипов № 13, базового уровня)

с обобщающим выводом.

1. Как изменится объём конуса, если его высота  увеличится в 2 раза.

2. как изменится объём конуса, если его высота уменьшится в 3 раза.

3. Как изменится объём конуса, если его радиус  увеличится в 3 раза.

4. Как изменится объём конуса, если его радиус  уменьшится в 4 раза.

4. (11 слайд) Блиц-опрос.

             5. ( 12 слайд) Самопроверка и самооценка.

                  Ученики проверяют свои решения  по  ответам на слайде.

                  Критерии выставления оценки:

        5 правильных ответов – «5»

                   4 правильных ответа   -  «4»

        3 правильных ответа   -  «3»

        2 правильных ответа   -  «2»

        1 правильный ответ    -   «2»

V. Работа над задачей из учебника (стр. 173, №706)

     1. Анализ условия задачи.

     2. Составление плана решения задачи.

          1. Из формулы V = 1/3 π R2 h   найти  R.

          2. Зная  R и h найти L.

3. По формулам Sбок  = (π L2α)/360  и  Sбок  = π R L найти α.

     3. Оформление решения задачи на  доске и в тетрадях.

Дано: конус; h = 12 см; V = 324π см3

Найти: α.

Решение:

1. V = 1/3 π R2 h;  

    Подставляем известную высоту и   объём,    получаем уравнение:

        324π =  1/3 π R2 12;

        324π = 4 π R2;

     Делим левую и правую часть уравнения на 4π, получаем:

        R2 = 81

        R = 9. (значение R = -9 не удовлетворяет условию задачи).

2. Итак, R = 9 и h = 12 см.  

     По теореме Пифагора ( или с помощью  пифагоровых троек)  находим длину образующей. L = 15 см.

3. Воспользуемся формулами:  Sбок  = (π L2α)/360  и  Sбок  = π R L

        Так как левые части этих формул равны, то равны и правые части,

     то есть:  (π L2α)/360  =  π R L  

     отсюда следует, что  α = (360R)/L;  α = (360*9)/15 = 216º.

        Ответ: 216º.

VI. Решение задач по материалам ЕГЭ.

      Работа учащихся с карточками. В карточках два варианта.

1 вариант  - подборка заданий из вариантов ЕГЭ профильного уровня, прототипы № 8.

2 вариант – подборка заданий из вариантов ЕГЭ базового уровня,

прототипы № 13.

Подробно  решаем № 6 и № 7  у доски.

        Задача № 6

   Объем конуса равен 16. Через  середину высоты параллельно

   основанию конуса проведено сечение, которое является основанием

   меньшего конуса с той же вершиной.  Найдите объем меньшего конуса.

Дано: конус; hб/ hм = 2/1;     Vб = 16.

Найти: Vм

Решение: данные конусы подобны,

с   коэффициентом подобия   k = 2.

Отношение объёмов подобных конусов

равно коэффициенту подобия в третьей

          степени, то есть   Vб/ Vм =23

Поэтому   Vм = Vб/8 = 2.

Ответ: 2.

         Задача № 7

           В сосуде, имеющем форму конуса, уровень  жидкости

        достигает  высоты.  Объём жидкости равен 40 мл.  Сколько

        миллилитров жидкости нужно  долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

Дано: конус;   hб/ hм = 2/1;   Vм = 40 мл  

        Найти: Vб -Vм        

Решение: данные конусы подобны,

с   коэффициентом подобия   k = 2.

          Vб/ Vм =23

Поэтому Vб = 8 Vм.     Vб = 320 мл.

Vб -Vм = 320 – 40 = 280 мл

Ответ: 280.

 VII.  Дифференцированная самостоятельная  работа по карточкам.

          (задания взяты с сайта https://ege.sdamgia.ru/ )

          Группа А. (профиль) № 1 - 5.

          Группа Б. (база)   №1 - 7.

Задачи в карточке:

VIII. Домашняя работа (дифференцированная).

Задания из открытого банка заданий ЕГЭ  по математике.

База.

1. Объем конуса равен  96. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. 

2.  Высота конуса равна 12, образующая равна 14.

Найдите его объем, деленный на  .

3. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 3 и наклонена к плоскости основания под углом 30. В ответе укажите  .

4..Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту.

Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 18.

___________________________________________

Ответы:

1) 12; 2) 208; 3)3,375; 4) 54.

 Профиль. Задача из учебника №707 и работа по карточке.

1.  Найдите объём части конуса,  изображенной на рисунке.  

 В ответе укажите .

2. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает

2/5 высоты. Объём жидкости равен 256 мл. Чему равен объём сосуда?

(Ответ в миллилитрах.)

____________________________________________

Ответы:

1) 117; 2) 4000

IX. Итог урока.

Что нового мы узнали на уроке?

-научились решать  задачи на нахождение объёма конуса;

- повторили взаимосвязь между элементами конуса -  радиусом основания, высотой и образующей;

- потренировались в мгновенном определении этих элементов с помощью пифагоровых троек (ресурс экономии времени на ЕГЭ);

- проанализировали, как меняется  объёма конуса в зависимости от изменения высоты и радиуса конуса;

- приобрели опыт решения задач, прототипов №8 профильного уровня и прототипов № 13 базового уровня.

Учитель отмечает  успешную работу  учащихся, выставляет отметки.

IX. Дополнительная информация о конусе.

В «Началах» Евклида, в сочинениях Архимеда уже имеются точные правила вычисления объёмов круглых тел (цилиндра, конуса,  шара) и их частей. Такие задачи часто встречаются на практике, потому, что понятие «конуса» есть в разных науках. Например:

В биологии есть понятие «конус нарастания» - верхушка побега, корня.

В геологии  есть понятие «конус выноса» -форма рельефа, образованного скоплением гальки, гравия, песка, вынесенными горными реками на равнину.

В физике есть понятие «конус безопасности», созданный громоотводом.

Учитель предлагает ребятам привести  примеры, где ещё применяется понятие конуса, где человеку необходимо знать элементы конуса, его объём. (передняя часть самолёта имеет форму конуса, свет от прожектора, кинокамеры и т.д.)