Конспект урока по геометрии «Углы, связанные с окружностью. Решение задач» (8 кл)
план-конспект урока по геометрии (8 класс) по теме

Урок закрепления и развития знаний, умений, навыков

по геометрии в 8 классе по теме:  

«Решение задач»

Задача урока: опираясь на ранее рассмотренный приём при доказательстве теоремы о вписанном угле, доказать новые утверждения об углах, связанных с окружностью.

Цели урока:

- образовательная: совершенствовать знания о центральном и вписанном углах;

формировать умения применять их при решении задач;

учить учащихся использовать известные приёмы доказательства

при решении математических задач;

- развивающая:        формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии,

сопоставления;

углублять знания  по данной теме;

развивать точную лаконичную речь;

- воспитательная:  учить преодолевать трудности;

воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Структура  урока.

-сообщение учащимся цели предстоящей работы;

-воспроизведение учащимся знаний, умений и навыков, которые потребуются для выполнения предложенных заданий;

-перенос приобретённых знаний и их первичное применение в новых условиях;

-подведение итогов урока; задание на дом;

-выставление оценок за урок.

Ход урока.

Ребята, сегодня на уроке мы продолжим решение задач на применение понятий центрального и вписанного углов, а также попытаемся самостоятельно доказать новые утверждения об углах, связанных с окружностью, используя один из знакомых нам уже приёмов рассуждении.

Итак, вашему вниманию предлагается следующее задание:

1. Перечислите центральные и вписанные углы.
2. Сформулируйте определения центрального и вписанного углов.
3. Как связаны центральный и вписанный углы с градусными мерами дуг, на которые они опираются?
4. На прошлом уроке мы выяснили, что

А также увидели, что

По заготовленным чертежам: найти Х.

Попробуем выяснить ещё факты об углах, связанных с окружностью.

При доказательстве теоремы о вписанном угле были использованы центральный и вписанный углы, а также свойство внешнего угла треугольника.

Какой метод доказательства мы использовали?

(Достроить до треугольника и использовать свойство внешнего угла треугольника).

1.

Дано: окружность (O;OA);

AB, BC-секущие и окружности;

Доказать:  

Доказательство:

1)Достроим до  ABN;

2)  1-вписанный, то  ;

3)  1-внешний, то 1=2 + 3;

4)  2-вписанный, то  2=KN;

5) 3=1-2, т.е. 3 = AC - KN = ( AC -KN).

Итак, В = ( AC- KN).

Утверждение: Угол, образованный двумя секущими, выходящими из одной точки, измеряется полуразностью дуг, заключённых внутри угла.

Утверждение: Угол, вершина которого расположена вне окружности, а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках, измеряется полуразностью дуг, заключенных внутри угла.

2.

Дано: окружность (О;ОВ);

AB-касательная;

т.В –точка касания;

BD-хорда;

Доказать:  B=BD.

Доказательство:

1)Достроим до треугольника;

BE-диаметр;DE-хорда;

2) ABE= 1+ 2.

ABE=90 по теореме о свойстве касательной;

1+2=

3) BDE=, вписанный угол, опирающийся на полуокружность.

2+ 3= по свойству острых углов в прямоугольном треугольнике.

Итак, 1+ 2=

2+ 3=, то  1= 3.

4)3 - вписанный,

3= BD,

т.е.  B=BD.

Утверждение: Угол, составленный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключенной внутри него.

3.

Дано: окружность (O;OA);

AB - касательная;

т.A - точка касания;

CD - секущая; BCD.

Доказать: B=1/2(AD- AC)

Доказательство:

1)Достроим до треугольника: AC-хорда

2) 1 - внешний,

1= 2+ 3;

1-вписанный; 1=AD

3) 3= AC (смотри утверждение 1);

4) 2= 1-3, т.е. 2=AD-AC= ( AD- AC);

Итак, В= (AD- AC).

Утверждение: Угол, образованный касательной к окружности и секущей, с вершиной вне окружности, заключенных внутри угла.

Примените доказанные утверждения при решении задач: №661 со взаимной проверкой.

Подведение итогов.

Задание на дом:
Итак, урок подошёл к завершению. Мы доказали три важных утверждения, которые в дальнейшем помогут нам легко решать задачи.

Предлагаю перечертить оставшиеся две окружности и выполнить доказательства дома.

Причём можете опираться на решение №718.

Выставление оценок.