Построение различными способами центра круга без использования геометрических инструментов
план-конспект занятия по геометрии (7, 8 класс) на тему

Тема: Построение различными способами центра круга без использования геометрических инструментов

Цель: создание мотивации к проведению исследования; удовлетворение познавательных потребностей учащихся; расширение круга интересов учащихся; воспитание культуры исследовательской деятельности; формирование навыков самостоятельной работы, содействовать воспитанию интереса к математике и её приложениям

Ход занятия

1. Организационный момент

Здравствуйте, ребята! Наше сегодняшнее занятие хочу начать словами одного мудреца

«Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума –

это геометрия. Клетка геометрии – треугольник. Он так же

неисчерпаем, как и вселенная. Окружность – душа геометрии.

Познайте окружность, и вы не только познаете душу

геометрии, но и возвысите душу свою»

2. Мотивация занятия

Вступительное слово учителя: «Всё вокруг – геометрия».

 «Я думаю, что никогда, до настоящего времени, мы не жили в такой геометрический период. Всё вокруг – геометрия». Эти слова великого французского архитектора Ле Корбюзье очень тонко характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живём, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Лучше ориентироваться в нём, открывать новое, понимать красоту и мудрость окружающего мира поможет вам эта наука.  

 Представим себе, что сегодня наш класс – научно-исследовательский институт. Вы, ученики, - сотрудники этого института. А именно, сотрудники различных лабораторий по проблемам математики. Вас всех пригласили принять участие в заседании учёного совета этого НИИ, чтобы исследовать «НГО: неопознанный геометрический объект». . 

3. Изучение нового материала.

   Создание проблемной ситуации.

Название НГО, который нам предстоит исследовать в лаборатории НИИ, вы узнаете, отгадав загадку.

Нет углов у меня                                    

И похож на блюдце  я,                            

На тарелку, колесо.

Кто же я такой, друзья ? (Круг)

Итак, НГО является круг. Отправляемся в лабораторию теоретиков.

Лаборатория теоретиков.

В этой лаборатории наша задача – вспомнить элементы НГО. В ней вам предстоит дать ответы на вопросы:

• что называют кругом?
• что называют окружностью?
•  какой отрезок называют радиусом окружности?
•  какой отрезок называют диаметром окружности?
•  что называют хордой окружности?
•  во сколько раз диаметр длиннее радиуса?

Окружность – замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром окружности.

Круг – это часть плоскости, которая лежит внутри окружности (вместе с самой окружностью).

Радиус – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Все радиусы окружности равны друг другу.

Диаметр – отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр окружности. Диаметр состоит из двух радиусов, поэтому длина диаметра в 2 раза больше радиуса. Т.е. d = 2r, где диаметр обозначается буквой d, радиус буквой r.

Все диаметры окружности равны друг другу.

Хорда – это отрезок, соединяющие две точки окружности.

Центр, радиус, диаметр, хорда круга – это соответственно, центр, радиус, диаметр, хорда окружности, ограничивающей круг.

С этого момента мы будем его называть ОГО (опознанный геометрический объект). И наша задача исследовать его.

4. Практическая работа

Лаборатория  исследователей.

Отправляемся в лабораторию исследователей.

В курсе геометрии 7 класса вы познакомитесь с задачами на построение с помощью циркуля и линейки.

А сегодня в лаборатории исследований я предлагаю вам найти различные способы определения положения центра для данного круга без использования геометрических инструментов.

Найти центр круга с помощью двух перегибаний листа бумаги

Решение 1: Для этого достаточно двух сгибаний. Они выполняются таким образом, чтобы граница круга совместилась сама с собою, т.е. одна полуокружность совпала с другой полуокружностью

- Ребята, как вы думаете, а можно ли найти центр круга с помощью трёх перегибаний листа бумаги

Решение 2 (с помощью трех перегибаний листа бумаги)

Линии сгиба будем обозначать пунктиром, а операцию сгибания и разгибания стрелкой.

а) Согнем круг, как показано на рис. 1, получим хорду АВ.

б) Стрелка на рис. 2 показывает, что нужно согнуть круг таким образом, чтобы точки А и В совпали, а затем разогнуть. Получится еще одна линия сгиба - СD.

в) Стрелка на рис. 3 показывает, что нужно сначала согнуть фигуру таким образом, чтобы совместились точки С и D, а потом разогнуть. В результате получим линию МN.

                                          Рис.  3

Обозначим точку пересечения СD и МN буквой О. Точка О — искомый центр круга (см. рис. 3).

Решение 3 (с помощью четырех перегибаний круга)

В этом способе центр круга получается как точка пересечения двух диаметров, перпендикулярных двум хордам. Построение показано на рис. 4—6.

                                           Рис. 6

5. Физкультминутка.

Что ж, пора немного отдохнуть. Приглашаю всех на разминку.

Сядьте ровно. Покажите мне руками маленькую окружность. А теперь представьте, что наша окружность раздувается, становится все больше и больше. Показываем, вот какая получилась окружность. А теперь поднимаем эту окружность над собой и держим над головой. Представим, что подул ветер и наша окружность наклоняется сначала влево, потом вправо. А теперь представим, что окружность превратилась в воздушный шарик и отпускаем ее. Молодцы!

А теперь продолжим работу в лаборатории исследователей

Решение 4 (с использованием листа прямоугольной формы и линейки без делений)

а) Сгибая лист, как показано на рис. 9, находим биссектрису прямого угла (луч, содержащий его ось симметрии).

б) Расположим круг поверх прямоугольника так, чтобы окружность касалась сторон угла, и с помощью линейки построим ось симметрии круга (рис. 10).

в) Повернем круг так, чтобы он по-прежнему касался сторон угла, и проведем вторую ось симметрии (рис. 11).

             Рис. 9                                               Рис. 10                                            Рис. 11

Пересечение двух осей симметрии определяет положение центра круга

Решения 5(с помощью прямоугольного треугольника)

Расположим прямоугольный треугольник* АВС так, чтобы вершина прямого угла С находилась на окружности, и обозначим точки пересечения окружности с катетами буквами Р и Q, тогда отрезок РQ  будет диаметром круга (рис. 14).

                        Рис. 14

Применив описанный способ построения дважды, получим два диаметра, точка их пересечения — искомый центр круга.

Если после нахождения диаметра круга перегибанием определим его середину (см. решение 3), то получим еще один способ решения проблемы.

                     Рис. 15

__________________

* Вообще говоря, размеры треугольника должны быть таковы, чтобы его катеты пересекали границу круга в различных точках. В качестве треугольника можно взять, например, линейку в форме прямоугольного треугольника.

Заметим, что если размеры треугольника оказались малы и катеты треугольника не пересекают окружность (рис. 15), то предложенный способ построения (см. решение 6) не годится.

Решения 6 (с помощью дополнительных построений)

а) Проведем с помощью линейки прямую t.

б) Расположим круг таким образом, чтобы он касался прямой t, точку касания обозначим буквой С (рис. 16).

          С

             Рис. 16

в) Пусть одна из сторон прямоугольного треугольника находится на прямой, причем вершина прямого угла совпадает с точкой касания, тогда вторая сторона указывает положение диаметра круга.

г) Далее центр круга можно определить двумя способами: повернув круг и изобразив второй диаметр или перегибая круг (см. решение 3).

Во всех рассмотренных способах решения можно выделить две общие операции:

1) нахождение диаметра круга;

2) нахождение середины диаметра.

Способы отличаются друг от друга только приемами (действиями), с помощью которых выполняется каждая операция. В одних случаях используются перегибания круга, в других - дополнительные построения. Иногда для нахождения середины построенного диаметра приходится строить второй диаметр. Однако наиболее простое действие - перегибание листа для построения центра круга как точки пересечения двух прямых линий.

6. Практическое занятие

Отправляемся в лабораторию практиков

Лаборатория практиков.

Ребята, как вы думаете, можно ли так сложить лист бумаги, чтобы одним прямолинейным разрезом вырезать из этого листа данный многоугольник? В нашем случае пятиконечная звезда.

Решение: проведем лучи, исходящие из центра и проходящие через вершины. По этим листам сложим лист бумаги и отрежем уголок. После разворачивания получим вырезанную звезду.

9. Рефлексия.

А теперь продолжите предложения, которые вы видите на доске:

Сегодня я узнал…

Было интересно…

Я понял, что…

Теперь я могу…

Я научился…

У меня получилось…

Я попробую….

Меня удивило…

Мне захотелось…

10. Итоги урока.

Сегодня на занятии мы научились строить центр круга без геометрических инструментов. Работа в лабораториях НИИ сегодня подошла к завершению

Окончен урок, и выполнен план.

Спасибо, ребята, огромное вам.

За то, что упорно и дружно трудились,

И знания точно уж вам пригодились.