Конспект урока "Пифагор и его теорема"
план-конспект занятия по геометрии (6 класс) на тему

Конспект Внеурочной деятельности «Пифагор и его терема»

Цели занятия.

• Воспитание устойчивого интереса к будущему изучению предмета геометрии, понимания роли геометрии в решении практических задач, возникающих в окружающем нас мире.
• Воспитание у учащихся общеучебных умений и навыков: работы с дополнительной литературой по математике; поиска, в том числе с использованием сети Интернет;  выбора и анализа нужной информации по заданной теме и составления исчерпывающего сообщения в краткой форме; оформления наглядности и защиты своего выступления.
• Расширение познания учащихся о жизни великого математика Пифагора, о знаменитой теореме Пифагора и её различных способах доказательства.
• Рассмотрение решения разных практических задач на применение теоремы Пифагора.

Планируемые результаты обучения:

- личностные: умения выслушивать мнение собеседника и вносить свои конструктивные предложения;

 -метапредметные: навыки исследовательской деятельности, навыки коммуникативно-речевых действий по отбору и передаче необходимой информации, в том числе с использованием сети Интернет, умения разрабатывать программу  изготовления продукта деятельности и критерии его оценивания;

- предметные: первичные навыки математического моделирования, умения вычислять стороны прямоугольного треугольника. Показать красоту науки математики через решение древнеиндийских задач изложенных в стихах

Оборудование: компьютер,  экран, проектор, интерактивная доска.

Подготовка к занятию.

К этому занятию группа кружка разбивается на группы по интересам. Члены группы готовят выступления по теме и их наглядные иллюстрации (чертежи, плакаты презентации.)

"Архивариусы” подбирают материалы, которые рассказывают об интересных фактах из жизни Пифагора, о создании пифагорейской школы и основных направлениях математических открытий, сделанных ими. Завершают своё выступление историей создания теоремы Пифагора.

"Теоретики” изучают предложенную литературу и ищут различные способы доказательства теоремы Пифагора.

“Практики” получают задание найти в научно-популярной литературе практические задачи нетрадиционного содержания, которые решаются с помощью теоремы Пифагора.

"Исследователи” занимаются исследованием Египетского треугольника и Пентаграммы Пифагора

Ход занятия.

Вступительное слово учителя. Вместе с учениками определяют задачи занятия, цели и порядок проведения. Представляет группу архивариусов.

Мысли и афоризмы, которые располагаются на доске:

• На поле жизни, подобно сеятелю, ходи ровным и постоянным шагом.
• Измеряй свои желания, взвешивай свои мысли, исчисляй свои слова.
• Берегите слезы ваших детей, дабы они могли проливать их на вашей могиле.
• Будь другом истины до мученичества, но не будь ее защитником до нетерпимости.
• Во время гнева не должно ни говорить, ни действовать.
• Живи с людьми так, чтобы твои друзья не стали недругами, а недруги стали друзьями.
• Молчание прекрасно. Молчи, если не можешь изречь то, что было бы прекрасней молчания.
• Просыпаясь утром, спроси себя: «Что я должен сделать?», засыпая вечером, спроси: «Что я сделал?».
• У друзей все общее, и дружба есть равенство.

Слово учителя: Какое высказывание вам ближе и почему?

Эти мысли принадлежат Великому философу и математику, составителю самой знаменитой теоремы— Пифагору, которому вы сегодня посвятим наше занятие.

Чему мы сегодня научимся? Что новое узнаем? ( ученики формулируют цели и задачи занятия)

1. Выступление группы «Архивариусы»

Примерное содержание выступления: Биография Пифагора и история создания теоремы.

Крепкого телосложения юношу, судьи одной из первых в истории Олимпиад, не хотели допускать к спортивным состязаниям, так как он не вышел ростом. Но он не только стал участником Олимпиады, но и победил всех противников. Этот юноша был Пифагор-знаменитый математик. Вся его жизнь-легенда, точнее, наслоение многих легенд. Он родился на острове Самос у берегов Малой Азии родился мальчик со странным именем Пифагор. Так его назвали в честь предсказательницы Пифии, которая нарекла его сыном Бога Аполлона.

Он рано покинул родин,  прошёл по дорогам Египета, 12 лет жил в Вавилоне, где слушал речи жрецов, открывших перед ним тайны астрономии и астрологии. Уже в зрелом возрасте Пифагор переселяется в Сицилию и там создаёт удивительную школу, которую назовут пифагорейской.

Трудно сказать, какие научные идеи принадлежали Пифагору, какие— его воспитанникам. Пифагор не записал своего учения. Оно известно лишь в пересказах Аристотеля и Платона. Греческий учёный Гераклит утверждал, что Пифагор ученее всех современников, однако порицал его за склонность к магии. Дело в том, что числа для пифагорейцев были наполнены мистическим содержанием, они преклонялись перед гармонией чисел.Чётные числа, допускавшие раздвоение, казались пифагорейцам более разумными, олицетворяли некое положительное начало. Число 4, например, олицетворяло у пифагорейцев здоровье, гармонию, разумность. Мистика цифр и чисел сохранилась и до наших дней. Так, число 13-"чертова дюжина", 3 и 12-"счастливые"числа, 666-"число зверя, дьявола".Пифагор был не только математиком, но и философом. Ему принадлежит немало великих догадок. Вот почему люди помнят его уже две с половиной тысячи лет.

Слово учителя. Мы посмотрели и прослушали выступление группы "Архивариусов” о величайшем древнегреческом математике Пифагоре, узнали о его жизни и творчестве, об открытии его знаменитой теоремы. Как же доказать эту теорему? Об этом нам поведают "Теоретики”.

Пока учитель представляет группу "теоретиков”, ребята готовят к выступлению доску и всё необходимое для доказательства теоремы Пифагора, что было подготовлено ими к занятию.

Примерное содержание выступления:

В настоящее время доказательств насчитывается более пятисот и благодаря такому количеству доказательств, теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса, как теорема с наибольшим количеством доказательств— более чем 500 способами. И хотя изучают её в 8-м классе, понять её может и пятиклассник. Теорема Пифагора (без доказательства) встречается ещё в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора. Она была известна в Китае и Индии. Во времена Пифагора формулировка теоремы звучала так:
площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах. Мы провели исследование и выбрали  самые интересные и простые доказательства теоремы  Пифагора

1. Самое интересное доказательство:

Теорему в старину ещё называли “теоремой невесты”. Чертёж к ней несколько напоминает пчелу (см.рис.).

Можно проследить связь слов: пчела – нимфа – невеста; так появилось название теорема невесты. В древности доказательство теоремы было очень сложным, и нерадивые ученики подбирали ей всякие нелестные клички: “ослиный мост”, “бегство убогих”, “пифагоровы штаны” и т.д. Я представляю вам доказательство, основанное на разрезании квадратов, построенных на катетах, и укладывании полученных частей на квадрате, построенном на гипотенузе.

2. Самое простое доказательство без слов: Среди пифагорейцев был распространён способ доказательства теоремы “без слов”. Слушателям представляли чертёж , на котором изображены два равных квадрата со стороной a+b, после чего писали одно слово “Смотри”.

Нарисуем два равных квадрата, стороны которых равны(а+b)- сумме двух катетов(сторон, образующих прямой угол) прямоугольного треугольника (Рис.3).Затем в полученных квадратах выполним построения(Рис.4,Рис.5)

Все заштрихованные на рис.4,5 фигуры - квадраты со сторонами, равными катетам(рис.4) и гипотенузе (рис.5) нашего треугольника. Очевидно, что сумма площадей заштрихованных квадратов на рис.4 равна площади заштрихованного квадрата на рис.5, а, именно, площади квадрата со стороной(а+b) за вычетом четырёх площадей равных между собой треугольников. Итак, теорема Пифагора доказана.

Далее учитель представляет следующую группу участников "Практиков”, они готовят к выступлению всё необходимое.

Примерное содержание выступления:

1. Практическое значение: теорема Пифагора важна для человечества, которое стремится открывать все больше измерений и создавать технологии в этих измерениях. Например, в Германии недавно открылся кинотеатр, где показывают кино в шести измерениях: кроме нам привычных, еще время, запах и вкус. Это говорит о том, насколько быстро увеличивается количество измерений, используемых человечеством. Вы спросите: а как связаны между собой теорема Пифагора и запахи, вкусы? А все очень "просто": ведь при показе кино надо рассчитать куда и какие запахи направлять и т.д. Представьте: на экране показывают джунгли, и вы чувствуете запах листьев, показывают обедающего человека, а вы чувствуете вкус еды...

Также изобрели лазерный дальномер, который  позволяет быстро и точно измерять длину, вычислять площадь и объем, складывать/вычитать полученные значения, есть функции "Пифагора", например:

Расчет расстояния по теореме Пифагора по двум катетам. Этот режим удобно использовать для расчета диагонали помещения, когда прямому измерению что-либо препятствует (например, мебель). Измерив длину двух смежных стен, которые расположены друг к другу под прямым углом, дальномер выдаст расстояние между противоположными краями этих стен. Таким образом, лучи образуют прямоугольный треугольник, а найденное расстояние является его гипотенузой.

Расчет расстояния по теореме Пифагора по гипотенузе и катету. Не меняя точку отсчета, прибором производится измерение расстояния до первой точки искомого отрезка, направив дальномер к стене под произвольным углом, а до второй точки под прямым углом. Прибор выдаст расстояние между точками, до которых производилось измерение. Таким образом, лучи образуют прямоугольный треугольник, а найденное расстояние является одним из его катетов.

Данная функция будет незаменима, если необходимо точно измерить высоту и/или длину загроможденного помещения, а также расстояние от пола до определенной точки, например до отверстия под гардину.

Все  это говорит о том, насколько много направлений деятельности еще будет у теоремы Пифагора и связанных с ней.  Из того, что я уже сказала, надо сделать вывод, что все эти технологии используются также и в других отраслях. Например, при строительстве любого сооружения, рассчитывают расстояния, центры тяжести, размещение опор, балок и т.д. В целом, значение теоремы, кроме вышесказанного, заключается в том, что она применяется практически во всех современных технологиях, а также открывает простор для создания и придумывания новых.

2.Решение древнеиндийской задачи в стихах о лотосе.

В древней Индии был обычай предлагать задачи в стихах. Я предлагаю вам решить одну из таких задач.

Над озером тихим

С полфута размером

Высился лотоса цвет.

Он рос одиноко, 

И ветер порывом

Отнёс его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашёл же рыбак его

Ранней весною

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

“Как озера вода здесь глубока?”

Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда

AD = AB = Х + 0,5 .

Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB2 – AC2 = BC2,

(Х + 0,5 )2 – Х2 = 22,

Х2 + Х + 0,25 – Х2 = 4, Х = 3,75.

Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута

Учитель представляет следующую группу "Исследователи”.

Примерное содержание выступления

1. Сообщение о главном пифагорейском символе – пентаграмме.

1. Главным пифагорейским опознавательным знаком был символ здоровья – пентаграмма или пифагорейская звезда. Она представляет собой звёздчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника.

Нарисованная пентаграмма была тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. В средние века считалось, что пентаграмма “предохраняет” от “нечистой силы”.

Пятиконечной звезде около 3000 лет. Сегодня она реет на флагах едва ли не половины стран мира. Звёздчатый пятиугольник буквально соткан из пропорций и, прежде всего, золотой пропорции. Красота формы пентаграммы, вытекающая из внутренней красоты её математического строения, была замечена ещё Пифагором.

Один из творцов астрономии Иоганн Кеплер писал: “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое – деление отрезка в среднем и в крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень”.

Деление отрезка в среднем и в крайнем отношениях – это есть “золотая пропорция”, или иначе “золотое сечение”. В современной математике эту пропорцию называют средним геометрическим.

2.История происхождения названия "египетский треугольник”.

. Удобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий, был известен с древних времён. Состоит он в следующем. Пусть через точку А к прямой МК требуется провести перпендикуляр. Откладывают от А по направлению АМ четыре раза какое – нибудь расстояние а. Затем завязывают на шнуре три узла, расстояние между которыми равны 3а и 5а. Приложив крайние узлы к точкам А и В, натягивают шнур за средний узел. Шнур расположится треугольником, в котором угол А – прямой. Этот способ, по – видимому, применявшийся ещё тысячелетия назад строителями египетских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся как 3:4:5, согласно теореме Пифагора, - прямоугольный, так как

32 + 42 = 52.

Поэтому треугольник с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 называют “египетским”.

Подведение итогов занятия Рефлексия. 

Ответы детей по схеме:

Я сегодня узнал…

Было интересно…

Было трудно…

Я научился…

Мне захотелось…

Ребята, я благодарю всех за работу. Давайте мы вспомним цели, которые формулировали в начале занятия. Как вы считаете, вы достигли каждый своей цели?

Дети: да.