Конспект урока по теме "Координаты в пространстве" в условиях профильного обучения 10-11 класс.
план-конспект урока по геометрии (10 класс) на тему

I Этап урока.

Возможные варианты ответов и действий учеников

Преступая к решению любой задачи, анализируя её условие мы определяем метод решения.

К настоящему моменту решение стереометрической задачи мы способны осуществить тремя методами .

Назовите эти методы.

Геометрический (названо условно)

Векторный

Координатный

Можно выделить координатно-векторный.

Каждый метод имеет свой язык , свои алгоритмы. Сегодня на уроке к решению одной задачи мы применим и геометрический метод и метод координат.

Попробуем сравнить их с позиции удобства и простоты решения. На основе этой же задачи подробно поговорим о методе координат в задачах на нахождение расстояний и углов в пространстве.

Какие вопросы по вашему мнению должны быть рассмотрены в ходе урока?

(Учитель записывает эти вопросы на доске.)

Какие виды расстояний можно находить координатным методом?

Какие виды углов находят этим методом?

Как находить , по каким формулам и алгоритмам ?

Какой справочный материал можно создать или использовать?

Работа будет организована следующим образом:

Класс  разделим на группы по 4 человека . В группе есть капитан , отвечающей за работу членов группы и подводящий итог работы каждого.

Группа может получить затребованную помощь учителя или представителя другой группы.

В ходе работы используем учебные конспекты и справочные таблицы учебника.

II Этап урока.

Дома надо было решить две задачи геометрическим методом, т.е. последовательно вычислительным способом ответить на вопрос о нахождении расстояния между двумя точками и точкой и плоскостью.

Идет обсуждение решения.

Если задача не решена ,то можно попросить помощь учителя (листы с готовыми решениями или комментарии по конкретным вопросам)

В итоге этой работы на доске появляются записи:

Переформулируем вопросы задачи на язык координат и запишем ответы.

Организуем проверку решения домашних задач следующим образом:

В группе 1 человек рассказывает решение одной задачи, 2-ой – другой задачи.

Расстояние между точками    В2 и R1;  P и F :

 B2R1=       P F=

Расстояние от точки до плоскости

Решение домашних задач геометрическим методом.

Задача №1

Задача.

 На ребрах ВВ1 ,АД , СД куба взяты соответственно точки В2, P,  Q - середины ребер;

 на диагонали А1С1 взята точка R1 :

А1R1:А1С1=3:4.

Считая ребра куба а, найти расстояние между следующими парами точек

а) В2 и R1

б) Р и F,  где  F середина R1Q

Решение

(поэтапно-вычислительный способ)

1. B2R1 найдем из прямоугольного треугольника  B1B2R1 

, где B1B2 =

B1R1 найдем из прямоугольника треугольника B1O1R1 , в котором O1B1=;

O1R1=A1C1=;           тогда B1R12 = O1B12+ O1R12 =

Получили В2R1 =.

2.  а)   F- середина отрезка R1Q.

Проведем дополнительные построения

1. построим диагональное сечение куба АСС1А1;
2. в плоскости ( АСС1) проведем RR1 параллельно СС1;
3. RQ

RR1┴ (ABC) т.к. RR1 ║ CC1 и A1R1 ║ АR ,то AR=A1R1 .

RQ проекции R1Q на (ABC).

б) т .к. AO=AC AR=A1R1=A1C1 =AC, то OR=AC т.e

R –середина стороны OC треугольника COD  и Q – середина стороны DC , значит RQ –средняя линия т-ка COD, тогда

RQ ║ OD и RQ ┴  AC.

в) PQ ║ AC и по теореме о трех перпендикулярах PQ ┴FQ,.значит треугольник  PQF прямоугольный (PQF=900 ).

Тогда искомое расстояние PF= .

PQ=AC=

FQ=R1Q=

В результате получаем:

PF=

Задача №2

Найти расстояние от центра грани CDD1C1 до плоскости (A,B1,C). Ребро куба a.

1) Пусть D1B ∩ (AB1C)=O

O- центроид треугольника AB1C и по свойству куба

2) D1O ┴ (AB1C),   в плоскости (OD1C) проведен PQ║ D1O,  где аОС.

PQ ┴ (AB1C) и PQ= 

 PQ= 

III Этап урока

Сделайте выводы по ходу выполнения домашней работы.

Были ли трудности ?

В чем они заключались?

И так, можно сделать вывод:

Задачи вызвали затруднения в ходе решения и потребовали достаточное количество времени.

Возможные ответы:

Для решения задачи надо уметь правильно выстроить логическую цепочку рассуждений, основанную на многих теоретических фактах.

Не сделать вычислительных ошибок.

Длинное решение –можно запутаться. И т д.

Обратимся к теме урока и той цели ,которую мы для себя определили.

Ответьте на вопрос: «Каково будет следующее задание группам?»

Какова схема решения задач этим методом?

(Учащиеся озвучивают схему и находят соответствующие записи в учебном конспекте.)

Решить домашние задачи методом координат

1. Выбрать систему координат.
2. Найти координаты нужных точек, векторов и (или) составить уравнения нужных фигур.
3. Сформулировать задачу с помощью координат, решить ее и сделать вывод без использования координат.

На доске уже записаны главные вопросы задач на языке метода координат.

Каким способом решаем эти задачи?

Найти расстояние между точками В2 и R1;

 P и F.

Найти расстояние от точки до плоскости.

 Ученики называют формулы и находят соответствующие записи в учебном конспекте, учитель записывает их на доске или использует презентации.

1. Расстояние между двумя точками А(x1,y1,z1) и В(x2,y2,z2) вычисляется по формуле

2. Расстояние от точки М0(x0,yo,z0) до плоскости    Ax+By+Cz+D=0 находится по формуле:

Задание группам:

Решить домашние задачи методом координат.

Возможны варианты организации работы:

1. Все решают одну задачу, затем совместно проверяют.
2. Два человека в группе решают одну задачу, два человека –другую задачу.
3. Если возникают трудности , то уч-ся  берут помощь учителя.

Подводим итог работы с задачами.

Учащиеся называют полученные ответы. Сравнивают их с предыдущими результатами, выписанными на доске. Делают выводы о правильности решения.

В задаче требовалось составить уравнение плоскости.

Каким способом можно составить общее уравнение плоскости?

Кто пользовался ,каким из перечисленных способов? Какой из них предпочтительней в данном случае и почему ?

Подведем итог .

 Вы решали одну и туже задачу двумя методами : геометрическим и координатным, и в состоянии сравнить эти способы с позиции предпочтения того или иного метода для решения данной задачи. Как вам проще, удобнее?

• По трем точкам
• По точке и вектору нормали к плоскости
• Уравнение плоскости в отрезках

Учащиеся анализируют свою работу по решению задач.

Решение домашних задач методом координат

Учитель использует презентации для проверки решения задачи№1 и №2.

Задача №1

Решим задачу методом координат.

1. Введем систему координат. За единицу измерения примем ребро куба.

2. В этой системе координат найдем координаты нужных точек.

A(a,0,0) , C(0,a,0) ,  B1(0,0,a) , A(a,0,0) , B(0,0,0) , D(a,a,0) , A1(a,0,a) , C1(0,a,a)

По формулам координат середины отрезка или деления отрезка в данном отношении находим

O1(,,a) , R1(,,a) , Q(,a ,0) , F(,,) , P(a,,0)

3.  Найдем нужные расстояния (длины отрезков) по формуле.

R1B2=

PF=

Задача №2

Найти расстояние от центра грани CDD1C1 до плоскости (A,B1,C). Ребро куба a.

1.Введем систему координат.

Единица измерения а.

2. Найдем координаты нужных точек.

А(а,0,0)   В1 (0,0,а)   С(0,а,0)  Р(а/2,а,а/2)

Составим уравнение плоскости. Удобно пользоваться уравнением плоскости в отрезках.

3. Найдем расстояние от точки до плоскости по формуле

IV, V Этапы  урока.

Итак, решая задачи на нахождение расстояний в пространстве , мы выделили две задачи с формулировкой: «Найти расстояние между…»

Какие еще можно поставить вопросы к данной задаче с этой формулировкой?

(учитель ответы учеников фиксирует на доске)

1. Найти расстояние между двумя точками
2. Найти расстояние  между точкой  и плоскостью.

3. Найти расстояние между точкой и прямой.
4. Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
5. Найти расстояние между параллельными плоскостями.

Каковы алгоритмы нахождения данных расстояний?

 Расстояние между точкой и прямой.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

Расстояние между параллельными плоскостями.

Учащиеся называют нужные алгоритмы, находят соответствующие записи в учебных конспектах или в справочной таблице. Учитель использует презентации.

• в пространстве задать  ┴ а,  где K – основание перпендикуляра
• найти координаты K, используя условие  
• найти  расстояние от точки до прямой как расстояние между точками  

• Найти координаты некоторой точки
• Определить плоскость α║a ,такую что  (построить , написать уравнение)

Найти расстояние

• Написать уравнения плоскостей

α: Ax+By+Cz+D1=0

ß : Ax+By+Cz+D2=0

• Найти расстояние по формуле ,

А теперь  составьте конкретные задачи с данными формулировками вопросов к условию задачи №1.

(учитель фиксирует на доске)

1. Найти расстояние между диагональю куба и диагональю грани.
2.  Найти расстояние между прямой ДС1 и плоскостью (AB1C).

Теперь поговорим о нахождении углов в пространстве.

О каких углах идет речь?

(учитель использует презентации)

Каковы схемы решения данных задач?

 Угол между двумя прямыми

Угол между прямой и плоскостью

Угол между плоскостями

1. Угол между двумя прямыми.
2. Угол между прямой и плоскостью.
3. Угол между плоскостями

 Учащиеся называют нужные алгоритмы, находят соответствующие записи в учебных конспектах или в справочной таблице. Учитель использует презентации

.

• Найти координаты направляющего вектора прямой
• Написать уравнение плоскости и определить координаты вектора нормали
• Воспользоваться формулой.

• Написать уравнение плоскостей ß и α
• Определить координаты направляющих векторов
• Воспользоваться формулой

Составьте конкретные задачи с данными формулировками вопросов к условию задачи №1.

(учитель фиксирует на доске)

Часто задачи на доказательство перпендикулярности или параллельности прямых либо плоскостей сводятся к нахождению между ними углов. Приведите пример подобной задачи.

Найти угол между 

прямыми B2 R1  и PF;

прямой PF и плоскостью B2B1R1;

плоскостями (B2B1R1) и  (PQF).

Задание группам:

Обсудить план решения каждой из составленных задач. Сами задачи решить дома.

Кто видит способ решения этих задач другим, не координатным методом? Можно ли метод координат применительно к этим задачам считать предпочтительным?

VI Этап урока.

Итак, метод координат занимает не последние место в решении задач на нахождение углов и расстояний в пространстве. И мы уже можем выбирать метод решения этих задач.

Рассмотрим конкретную ситуацию. Задача из материалов ЕГЭ-2008.

Задание группам:

Решить задачу двумя методами- координатным и геометрическим. Сделать вывод о предпочтительности каждого из методов к решению задачи.

Возможные варианты организации работы.

1. Два человека решают задачу одним методом , два других- другим.
2. Вся группа сначала решает задачу одним методом, затем –другим.
3. Учащиеся могут взять помощь учителя.

Подведем итог работы.

Были ли трудности по решению задачи координатным методом? Были ли трудности по решению задачи геометрическим методом?

В чем они заключались?

Какова польза от решения задачи двумя способами?

Вывод. Каждый должен для себя сделать вывод о предпочтительности выбора способа решения задачи и ответить на вопрос : «Почему именно этот способ?».

Задача  №3.

Боковое ребро МА пирамиды МАВС перпендикулярно плоскости основания и равно 13, , АВ=39, АС=52. Найдите расстояние от вершины А до плоскости ВСМ.

Решение задачи геометрическим методом.

Решение задачи методом координат.

                                                      z

          y

                                    x

Если через точку А провести плоскость, перпендикулярную плоскости ВСМ, то перпендикуляр, проведенный через точку А к линии пересечения этих плоскостей, будет перпендикуляром и к плоскости ВСМ.

Пусть АН┴ВС , тогда по теореме о трех перпендикулярах МН┴ВС. Следовательно, ВС┴АМН и МВС┴ АМН.  Проведем в плоскости АМН перпендикуляр АК к прямой МН.  Тогда  АК┴ВСМ.  Длина отрезка АК равна расстоянию от точки А до плоскости ВСМ.

В треугольнике АВС  ВС=. Следовательно, 2SАВС=39*52=65*АН,  тогда АН=156/5.

В треугольнике АМН  МН=.

Значит,  2SАМН=13*156/5=169/5*АК ,     тогда  АК=.       ОТВЕТ: 12.

1. Введем систему координат  и найдем координаты нужных точек.

А(0,0,0)      В(39,0,0)     С(,52,0)      М(0,0,13)

2. Напишем уравнение плоскости (ВМС) по трем точкам.

Ax+By+Cz+D=0  

39A+D=0,

13C+D=0,

52B=D=0.

4x+3y+12z-156=0

3. Найдем расстояние от точки до плоскости по соответствующей формуле :

=12

Ответ: 12.

VII  Этап урока

На протяжении многих уроков мы решаем задачи на нахождение различных числовых характеристик фигур  в стереометрии методом координат Рассмотрим еще одно из приложений координатного метода к решению задач, в данном случае, на построение сечения прямоугольного  параллелепипеда.

Задача №4

В прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1  АВ:АD:АА1=1:3:2

Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку D1 и перпендикулярно прямой В1D.

Решим задачу методом координат.

Учитель использует презентации для проверки решения задачи №4.

1. Введем систему координат и найдем координаты нужных точек.

А(1,0,0)  В(0,0,0)  С(0,3,0) D(1,3,0)  А1(1,0,2)  В1(0,0,2) С1(0,3,2) D1(1,3,0)

2. Для построения сечения найдем координаты еще двух точек М и К, для чего:

а)  Напишем уравнение искомой плоскости сечения α по вектору нормали и точке    

 α А(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

 1(x-1)+3(y-3)-2(z-2)=0

      x+3y-2z=0

б)  Найдем точки пересечения плоскости α с осями координат и некоторыми ребрами куба

Отметим точки N и К  на чертеже.

3. ПО точкам D1KN строим искомое сечение КD1FN.

1.    

   x+3y-2z=0,

   3yN-6=0,

    yN=2,

   N(0,2,0) 

2.

 x+3y-2z=0,

1+3yk-6=0,

 yk=5/3,                 K(1,5/3,0)

VIII этап урока

Подведем итоги урока.

Одной из целей урока было показать на конкретных примерах предпочтительность координатного метода для решения задач с прямоугольным параллелепипедом на нахождение расстояний и углов в пространстве.

Для достижения этой и других целей урока мы проделали большой объем работы. Что полезного сегодня было на уроке?

Вспомнили схему решения задач методом координат  и применили её к решению 4-х задач.

Во всех предложенных задачах сделали вывод о преимуществах метода координат .

Обобщили и  виды и способы нахождения расстояний и углов в пространстве  .

Определили , что данный теоретический материал систематизирован в учебнике в приложении «Формулы стереометрии»  и в учебных конспектах.

Проговорили все алгоритмы, и большинство из них применили на уроке при решении задач.

Работая с задачами методом, координат познакомились с его приложением для построения сечений многогранников.

Все выше сказанное позволяет сделать вывод об обобщении применения метода координат для нахождения расстояний и углов при решении конкретных задач .

IX Этап урока

Задание на дом :

1) Решить сформулированные задачи методом координат . Предложить решение этих задач другим способом .

2) Решить задачу.

На ребрах AB1, BC и BB1 куба взяты соответственно точки P,Q,R так что

BP : BA = 3:4

BQ : BC = 1:2

BR : BB1 = 3:4.

Через эти точки проведена плоскость (PQR) . Построить прямую проходящую через вершину  D1 ,

 где

Консультации с капитанами групп и выставление оценок за урок.