Эксперимент "Бумажное кольцо" - лист Мёбиуса
занимательные факты по геометрии (8, 9 класс) по теме

Внеклассное мероприятие в 9 классе

«Бумажное кольцо в математике – лист Мебиуса»

МБОУ Сосновская сош №2

Учитель математики Скопинцева Н.Н.

Оборудование: презентация «Лист Мебиуса», раздаточный материал и принадлежности для разрезания по группам

Цель мероприятия: изучить разнообразные свойства ленты Мёбиуса

Задачи:
-раскрыть понятие топологии;
-изучить вклад А.Ф. Мёбиуса в развитие науки топологии;
- описать лист Мёбиуса и процесс его изготовления;
- проверить опытно-экспериментальным путём свойства листа Мёбиуса,

-показать использование листа Мёбиуса

1 Историческая справка.

Таинственная и знаменитая Лента Мёбиуса была обнаружена независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году.Август Фердинанд Мёбиусгоды жизни 1790-1868г.г., немецкий геометр. Родился в городе Шульпфорте. Некоторое время под руководством К. Гаусса изучал астрономию. Начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818г. стал её директором. Работая в спокойном уединении, Мёбиус сделал много интересных открытий. Установил (1858г.) существование односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса.

Открыть свой “лист” Мёбиусу помогла служанка, сшившая неправильно концы ленты.

Как бы то ни было, но в 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус, ученик знаменитого К.Ф. Гаусса послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал её результаты. Одновременно с Мёбиусом изобрёл этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского Университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году.

Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса – всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера) – две стороны. Убедиться в односторонности листа Мёбиуса несложно: начните постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, и по завершении работы вы обнаружите, что весь он полностью окрашен. Мёбиус стал одним из крупнейших геометров своего времени. Началосовременной наукитопологии положили исследования листа Мёбиуса. Лист Мёбиуса очень легко сделать, подержать в руках, разрезать, поэкспериментировать как-нибудь еще. Изучение листа Мёбиуса - хорошее введение к элементам топологии

2 Что такое топология

Тополо́гия - раздел математики, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов: не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. С точки зрения топологии, кружка и бублик неотличимы. Топология в основном изучает поверхности тел и она находит математическое родство между предметами, которые, казалось бы, никак между собой не связаны. Например, с точки зрения топологии гайку, макаронину и кружку роднит то, что каждый из этих предметов имеет отверстие, хотя во всех остальных отношениях они совершенно различны. Примером топологических объектов являются: буквы Л и П, Я и Д. Можно считать, что топология изучает фигуры, сделанные из пластилина, т.к. фигуры из этого материала можно растягивать, сжимать, без разрывов и склеиваний, и получать топологически равные. Примерами топологически равных фигур в жизни могут  быть  шар и тарелка, гайка и баранка, баранка и макаронина. Если, деформируя одну фигуру, можно перевести ее в другую без разрывов, разрезов и склеиваний, то обе фигуры считаются топологически неразличимыми. Взяв шарообразный ком сырой глины, можно совершить с ним на гончарном круге целый ряд превращений, которые ни один тополог не признает изменением формы. Приплюснув ком сверху ладонью, получим вместо шара эллипсоид, затем продавим в середине вмятину и, постепенно углубляя и расширяя ее, сделаем глиняную чашу. Вытянув верхнюю часть чаши, преобразим ее в кувшин, у которого можно даже оттянуть спереди "носик". Для тополога все это будет одна и та же фигура. Вот если теперь оторвать кусочек глины и прилепить к кувшину ручку, мы получим совершенно новую топологическ фигуру. Ведь мы проделаем сразу две запретные  операции - разорвем материал, а потом склеим его в другом месте.Пример топологии -таинственный и знаменитый лист Мебиуса. Лист Мебиуса считается одним из символов современной математики, а момент его открытия стал началом рождения этой новой науки.

3.Ход эксперимента

Эксперимент проводится в 5 группах

1) Знакомство с фигурой ( склеивание)

2) Проверка односторонности листа Мебиуса с помощью раскрашивания

3) Демонстрация разрезания листа Мебиуса вдоль на две равные части

4) Работа в группах:

 а)Лист Мебиуса разрезать вдоль на расстоянии 1/5 от края

б) Лист Мебиуса разрезать вдоль на расстоянии 1/3 от края

в) Лист Мебиуса вдвое перекрученный разрезать вдоль посередине

г) Лист Мебиуса разрезать вдоль на три части

д) Лист Мебиуса разрезать вдоль посередине и еще раз посередине

5) Выводы по группам

4.Общие выводы

 При разрезании листа Мёбиуса на чётное число полосок получаются только большие сцеплённые кольца, которых в два раза меньше, чем количество полосок. При разрезании листа Мёбиуса на нечётное число полосок получаются одно маленькое и несколько больших колец, сцеплённых с маленьким.

5. Топологические свойства листа Мебиуса

• По результатам опытов можно сформулировать следующие топологические свойства листа Мёбиуса, относящиеся к математическим неожиданностям.
• Односторонность (неориентируемость) – топологическое свойство листа Мебиуса
• Непрерывность – на листе Мёбиуса любая точка может быть соединена
• с любой другой точкой. Разрывов нет – непрерывность полная.

6. Применение листа Мебиуса

 Лист Мёбиуса используется во многих изобретениях. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде листа Мёбиуса, позволяет ему работать дольше в два раза , потому что вся поверхность листа равномерно изнашивается. В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек сразу с двух сторон. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты в два раза и соответственно время звучания. В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Это даёт ощутимую экономию. Лист Мёбиуса применяют в велосипедной и волейбольной камере.

 Лист Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста. А также при изготовлении инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций (мешалка).