"Объём конуса", урок по геометрии в 11 классе.
методическая разработка по геометрии (11 класс) на тему

МОУ СОШ № 2 г. Красный Кут,

Саратовской области

Учитель математики Морозова Е.В.

        Конспект урока в 11 классе по теме

«Объём конуса»

Тема урока: «Объём конуса»

Цели урока:

-  вывести формулу объёма конуса с помощью определенного интеграла;

 - показать применение полученных формул при решении типовых задач и различных задач    
   практического характера;

-  развивать мышление, память, навыки аргументированной речи, навыки  доказательного  
   воспроизведения в процессе деятельности;

 -способствовать развитию устойчивого интереса к геометрии. Создание положительной  
  внутренней мотивации обучения учащихся.

Средства обучения (в том числе средства ИКТ):

-    мультимедийный проектор, презентация, выполненная при  помощи программы PowerPoint, тесты на   бумажных носителях.

План урока: 

1. Орг. момент.
2. Актуализация ЗУН, необходимых для творческого применения знаний.
3. Изучение нового материала.
4. Коллективное решение задач на нахождение объема  конуса практического содержания.
5. Самостоятельная работа.
6. Итог урока.

ХОД УРОКА:

. Орг. момент

Приветствие учащихся и гостей.

Сегодня на занятии мы продолжим вычислять объёмы тел, и остановимся на объёме конуса, выведем соответствующие формулы и применим их при решении практических задач.

. Актуализация знаний учащихся.

Вы должны были повторить основные понятия по теме и установить связь между картиной Шишкина “Сосновый бор” и геометрическим телом, которое называется “конус”. Кто из Вас нашел эту “связь”? (Учитель демонстрирует репродукцию картины). (Слайд № 2,3)

Ответ: Конус в переводе с греческого языка означает “сосновая шишка”, а на картине изображен сосновый лес.

Повторим понятия конуса и усеченного конуса, ответив на вопросы теста. (Приложение № 1)

. Изучение нового материала.

Учитель: « Трудно назвать чаще встречающиеся задачи на практике, чем задачи на вычисление объёмов. О них задумываются и строя дома, и переливая воду из одного сосуда в другой. Правила и приёмы вычисления объёмов должны были возникать, другое дело, насколько они были точны и обоснованны. Но в «началах» Евклида и в сочинениях Архимеда имеются только точные правила для вычисления объёмов многогранников и некоторых круглых тел (цилиндра, конуса, шара и их частей).

Вывод формул.  (слайд № 5-10)

V. Закрепление изученного материала.

1. Решить (устно) задачи с целью закрепления формул для вычисления объёмов конуса  и усеченного конуса. (слайд № 11)

2. Решить в рабочих тетрадях и на доске 2 задачи (по вариантам) (слайд № 12-13)

   Задача № 1. Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1м3 земли имеет массу 1650 кг?

R=АС/2, R=3м, V=1/3*3,14*32*2≈18,8(м3)

m=1 650*18,8=31 020(кг) ≈31т.

Ответ: 31 тонна.

Задача №2. Смолу для промышленных нужд собирают, подвешивая конические воронки к соснам. Сколько воронок диаметром 10см с образующей 13 см нужно собрать, чтобы заполнить десятилитровое  ведро?

R=АС/2, R=5см, H=√132-52=12(см), V=1/3*3,14*52*12 ≈314(см3) ≈0,314дм3

n=10/0,314 ≈31,8.                                 Ответ: 32 воронки.

3. Учитель:  А знаете ли, вы? Что  понятие конуса  встречается не только в математике, но и в других науках. (Слайд № 14-15)

4.   Задача № 3.

 Комментарии учителя: мне вспоминается старинная легенда восточных народов, рассказанная у А.С. Пушкина в “Скупом рыцаре”. Послушайте её:

(Слайд № 16-17)

“Читал я где-то,

Что царь однажды воинам своим

Велел снести земли по горсти в кучу,-

И гордый холм возвысился,

И царь мог с высоты с весельем озирать

И дол, покрытый белыми шатрами,

И море, где бежали корабли”.

Какие ассоциации вызывают у Вас эти стихи?

Холм – конус.

Какого объема может быть этот холм?

Какой высоты мог быть этот холм?

На сколько километров может увеличиться панорама для наблюдения, поднявшегося с подножия холма к его вершине?

Давайте попытаемся ответить на эти вопросы и проанализировать этот текст. (Слайд № 17 )

Это одна из тех немногих легенд, в которых при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Дело в том, что если какой-нибудь древний деспот вздумал бы осуществить такую затею, то он был бы обескуражен мизерностью результата: перед ним высилась бы настолько жалкая кучка земли, что никакая фантазия не в силах была бы раздуть в легендарный, “гордый холм”. Сделаем примерный расчет: Старинные армии были не так многочисленны, как в наше время. Войско в 100 000 воинов считалось очень внушительным.

Остановимся на этом числе, то есть примем, что холм составился из 100 000  горстей. Захватите самую большую горсть земли и насыпьте в стакан: Вы не наполните его одной горстью. Все же примем, что горсть древнего воина равнялась одному стакану, примерно 1/5 литра или 1/5 куб. дм.

1горсть≈0,2 дм3

V=0,2* 100 000=20 000(дм3)=20(м3).

Такой скромный объем уже разочаровывает.

Учитель: Но продолжим расчеты. Найдем высоту этого холма.

Чтобы определить высоту холма, нужно знать какой угол составляет образующая конуса с его основанием. В нашем случае можно принять его равным углу естественного откоса, то есть 45° (рис. 2). Более крупных склонов нельзя допустить, так как земля будет осыпаться. Остановивмся на угле в 45°.

Так как H=R, то V=1/3πH3.        

Надо обладать очень богатым воображением, чтобы земляную кучу в 2,7 м (1,5 человеческого роста) назвать «гордым холмом». Сделав расчет для меньшего угла, мы получили бы еще более скромный результат. С таких небольших возвышений легко было бы видеть дол, покрытый белыми шатрами, но обозревать море, было бы возможно только если дело происходило невдалеке от берега.

У Аттилы было самое многочисленное войско, которое знал древний мир. Историки оценивают его в 700 000 человек.

    Если бы даже все воины Аттилы участвовали в насыпании холма, образовалась бы куча повыше вычисленной нами, но не очень.

Попробуйте сами дома вычислить высоту такого кургана и подумать, удовлетворила ли бы такая высота честолюбие Аттилы или нет? (Дом. задание)

Определим объем холла: V =(1/5)*700 000 = 140000 дм3. = 140 м3. Значит, холм представлял собой конус объемом не более 140 куб. м

Высота такого конуса равна радиусу его основания. h = R ; V = 140 м3;

V = (1/3)*S*h = (1/3)*p *R2*h =(1/3)*p *h3; 140 = (1/3)*p *h3;

p *h3 = 420; h3 = 133,76; h = 5,1 м.

В результате вычислений получили, что при объеме холма 140 м3, высота его составляет 5,1 м. Сомнительно, чтобы курган подробных размеров мог удовлетворять честолюбие Аттилы.

V.    Самостоятельная работа. (слайд № 19)

Решение заданий из открытого банка ЕГЭ по математике (приложение 2)

 VІ. Подведение итогов урока.

Итак, Вы узнали, как находить объем конуса, применили свои знания при решении практических задач  и показали необходимость критически относиться к текстам художественных произведений.

 Надеюсь, что в дальнейшем теоретические знания, полученные на уроках геометрии, Вы сможете успешно использовать в различных жизненных ситуациях.

VІІ. Домашнее задание

Придумайте свои задачи на нахождения объема конуса практического содержания.

Учебник Л.С. Атанасян «Геометрия 10-11» П. 70, № 701, 704.

Литература:

1. «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

2. «Геометрия 7-11» А. В. Погорелов.

3. «Геометрия 10-11» А. Д. Александров.

4. «Преподавание математики в сельской школе» В. А. Петров.

5. «Математика» №42,2000.

6. «История математики в школе» Г. И. Глейзер.

8.  «Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики» И. М. Шапиро.
9. СД "Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия"
10. "Малый энциклопедический словарь", т.3 Ф. А. Брокгауз, И. А. Ефрон.

Приложение 1.

Тест

1. Рассмотрим окружность L с центром в точке О и прямую OP, перпендикулярную плоскости α. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой P. Поверхность, образованная этими отрезками называется…(рис.1). 

2. Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом, называется: а) цилиндром; б) конусом; в) пирамидой.

3. Установите соответствие между элементами конуса (рис.2.)

      а) SO-  ; б) SA, SB -  ; в) S - ; г) OA- . 

4. Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг (рис. 3):

    а) гипотенузы PB; б) катета PA; в) отрезка AS.

5. Выберите чертёж с сечением, перпендикулярным оси конуса

 (рис.3 а),б), в)).

5. Возьмём произвольный конус и проведём секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом.

7. Установите соответствие (рис. 4): а) OK- ; б) О1 K1 - ; в) АР- ; г) OO1. 

8. Вращением какой  трапеции вокруг её боковой стороны может быть получен усеченный конус? А) любой; б) прямоугольной; в) равнобедренной.

9. Формула для вычисления площади круга S=…

Приложение 2

Задания из открытого банка заданий ЕГЭ  по математике

Вариант 1

1. Объем конуса равен 48. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. 

2. (№ 27120) Высота конуса равна 6, образующая равна 10,

 найдите его объём, деленный на .

3. (№ 27093) Найдите объём конуса,  образующая которого равна 6 и наклонена к плоскости основания под углом 30о . В ответе укажите   .

4.  (№ 25809) Найдите объём части конуса, изображенной на рисунке.

    В ответе укажите .

5. (№ 74277)  Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 12,5 раза?

Задания из открытого банка заданий ЕГЭ  по математике

Вариант 2

1. Объем конуса равен  96. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. . 

2. (№ 75177) Высота конуса равна 12, образующая равна 14.

Найдите его объем, деленный на  .

3. (№ 74203)        Найдите объем V конуса, образующая которого равна 3

и наклонена к плоскости основания под углом 30. В ответе укажите   .

4. (№ 25805) Найдите объём части конуса,

 изображенной на рисунке.     В ответе укажите .

5.  (№ 4995)Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 18.

Ответы:

Вариант 1

1) 6        2) 128 3) 27 4) 504 5) 12,5

Вариант 2

1) 12; 2) 208; 3)3,375; 4) 117; 5) 54.