Методические рекомендации к изучению темы: « Решение квадратных уравнений» с применением теоремы Виета для решения приведенного квадратного уравнения и полного квадратного уравнени
методическая разработка по алгебре (8 класс)

2.              Из  опыта  работы   СМАГЛИЙ Л.В.

                             Учитель математики   ГБОУ школа  109  Приморского района

3. .Методические  рекомендации  к изучению темы:                « Решение квадратных уравнений» с применением     теоремы Виета  для решения  приведенного квадратного   уравнения  и полного квадратного уравнения
4.                                  

В восьмом классе, учащиеся знакомятся с квадратными уравнениями и способами их решения. Как показывает опыт, большинство учащихся при решении квадратных уравнений применяют способ решения по формуле  корней квадратного уравнения.

     Но этот способ явно нерационален. Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто и в старших классах.  Решение иррациональных,  показательных, логарифмических ,тригонометрических уравнений  часто сводится к решению квадратных уравнений

• 9х+4∙3х+3=0
• Log3 x+logx 3= 2,5 ( после  замены переменной , где   t= log3x,   тогда logx3= 1/t и /уравнение примет вид: t+1/t =2,5   или  2t2-5t +2=0, т.е. квадратное уравнение)
• Sin 2x+5 Sin x+1=0

  И  там тратить время на расчет дискриминанта просто жалко. На мой взгляд, при изучении квадратных уравнений  следует уделить больше времени и внимания применению теоремы Виета

В большинстве учебников алгебры эта теорема формулируется для приведенного квадратного уравнения и гласит, что если уравнение имеет корни и , то для них выполняются равенства ,

. Затем формулируется утверждение, обратное к теореме Виета

Если  числа х1 и  х2  таковы, что их произведение равно свободному члену,  а сумма второму коэффициенту с противоположным знаком, то они являются корнями уравнения :

х 2+рх+q=0

  Теорема Виета замечательна тем, что,

• не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения  x1 + x2 и  x1∙ x2
• определить знаки корней уравнения
•  (Если  произведение и сумма корней – положительные, то оба корня – положительные числа
• . Если произведение корней – положительное число, а сумма корней – отрицательное, то оба корня – отрицательные числа.
• Если произведение корней – отрицательное число, то корни имеют разные знаки. При этом, если сумма корней – положительная, то больший по модулю корень является положительным числом, а если сумма корней меньше нуля, то больший по модулю корень – отрицательное число);

 Пример 1. Решить уравнение .

Решение. 

Пусть  и . Корни заданного уравнения. Тогда по теореме Виета одновременно должны выполняться равенства

Обратим внимание, что произведение корней – положительное число. А значит, корни уравнения одного знака. А так как сумма корней также является положительным числом, делаем вывод, что оба корня уравнения – положительные.

 Вернемся снова к произведению корней.  Число  6 можно разложить на множители двумя способами:    6= 1∙ 6  

                       6=2∙ 3

Остается проверить, какая из пар  удовлетворяет  второму условию. Это числа 2и3.

Таким образом, числа 2 и 3 удовлетворяют обоим равенствам, а значит, и являются корнями заданного уравнения.        

Пример 2. Решить     уравнение .

Решение.

Пусть и - корни заданного уравнения. Тогда по теореме Виета

Заметим, что произведение – отрицательное. Значит, корни – разного знака. Сумма корней – также отрицательное число. Значит, больший по модулю корень – отрицательный, а знак  меньшего по модулю совпадает со знаком  второго коэффициента.  Подбираем пары множителей, дающих произведение -10 (1 и -10; 2 и -5). Вторая пара чисел в сумме дает

 -3. Значит, числа 2 и -5 являются корнями данного уравнения.

Ответ: 2; -5.

•  Обращается внимание учащихся на тот факт, что при сложении чисел с разными знаками  мы из большего модуля вычитаем  меньший, т.е. производим  действие "вычитание, т.е. узнаем, насколько  одно число отличается от другого.
• После этого  формулирую  мнемоническое правило:
• подобрать пары целых чисел, произведение которых дает верное первое равенство в записи:

•  Если произведение корней положительно, то из найденных пар чисел выбираем  ту пару, которая в сумме  дает число р
• Если произведение корней отрицательно, то корни разного знака, и  из найденных пар чисел выбираем  ту пару чисел, которые  отличаются  на  р
•    Знак  меньшего по модулю  множителя  совпадает со знаком  р. Второй корень имеет противоположный знак
• указать в ответе найденные корни уравнения.

Примеры: Решить уравнения    1) х2+ 25х+ 24=0         5) х2 -25х+24=0

                                                      2) х2+ 14х+24=0           6)х2  -14х+24=0

                                                      3) х2 +11х+24=0          7)х2  -11х+24=0

                                                      4)х2+10х +24=0            8)х 2-10х+24=0

Заметим, что во всех этих уравнениях  произведение корней  будет числом положительным, т.е. корни будут  одного знака . Для уравнений из первого столбика оба корня будут отрицательными ,а для уравнений из второго столбика  будут положительными.

Число 24 можно разложить на множители  следующими способами:

        24=1∙ 24=2∙ 12=3∙ 8=4∙ 6

Для уравнений  первой строчки подойдет пара  чисел 1и 24 ,для  второй строчки – пара 2 и12  и т.д.

Ответы :

1. корнями уравнения являются  числа – 1  и 24
2. корнями уравнения являются  числа     -2 и - 12
3. корнями уравнения являются  числа   - 3  и - 8
4. корнями уравнения являются  числа   -4  и - 6
5. корнями уравнения являются  числа   1 и  24
6. корнями уравнения являются  числа   2 и   12
7. корнями уравнения являются  числа   3 и   8
8. корнями уравнения являются  числа   4 и 6

Решим теперь уравнения :  1) х 2-23х -24=0                5) х 2+ 23х -24=0

                                               2)  х2 -10х  -24=0               6)х2 +10х - 24=0

                                              3) х2 -5х  -24=0                   7) х2  +5х  - 24=0

                                              4)  х 2  -2х  -24 =0                8) х2  +2х – 24=0

В этой группе уравнений произведение корней  является числом отрицательным, значит   надо выбрать ту пару  сомножителей, которые отличаются  на  число, являющееся   вторым коэффициентом.

 В первом  уравнении  это число 23. Поэтому в разложении  числа 24=1∙ 24=2∙ 12=

 3 ∙8=4∙ 6 выбираем пару множителей, отличающихся на 23., т.е. пару 1и 24 .

Меньшее по модулю  число будет иметь знак, совпадающий  со знаком р  ,т.е." –" ,а второй множитель  знак" + ".  

Таким образом, ответом  будет пара   -1 и +24 .  

Рассуждая таким же образом,  для второго уравнения  получим ответ  -2 и +10.   

Для уравнений  третьей строчки  среди пар  множителей выберем  пару множителей ,которые отличаются на  5 , т.е. пару   3∙ 8  ,  но для уравнения 5)  корнями  будут числа

-3 и +8,   а для уравнения 7 )  корнями будут числа  +3 и  -8.    

 Для большинства учащихся этих  двух  групп  уравнений  бывает достаточно, чтобы они научились легко  подбирать корни  уравнения.

В дальнейшем мы еще больше упрощаем "мнемоническое " правило:

1. Разложить на множители число  q.
2. Если перед q   стоит знак  +,  то выбираем пару чисел ,которые в сумме дают  p.
3. Eсли  перед q  стоит знак  - , то выбираем пару  чисел, которые отличаются  на р. (учащиеся   запоминают  " +" -    это " сумма",     " – "  - это  " отличаются" .)
4. Определить знаки корней  уравнения  по знаку  р: Корни одного знака имеют знак, противоположный знаку  "р", если корни разного знака , то меньший  по модулю(меньший из двух множителей ) имеет знак  такой же, как у  "р".

В общем случае квадратного уравнения (1) теорема Виета формулируется так: если x1 и x2 – корни уравнения (1), то

 Однако применение этой теоремы довольно проблематично, так как работать с подбором дробей долго и трудно. Но все-таки выход есть.

Можно легко доказать ( в  первых  изданиях учебника под редакцией Ш.А Алимова  доказать это  утверждение  предлагалось в качестве упражнения ), что  корни уравнения  

    ax2 +bx+c=0            и уравнения    t2 + bt +ac =0   отличаются в  "a "раз

Обратим внимание, что составить вспомогательное приведенное уравнение очень просто: второй коэффициент сохраняется,

                        а третий коэффициент равен произведению    a ∙c

При определенном навыке учащиеся сразу составляют вспомогательное уравнение, находят его корни по теореме Виета и указывают корни заданного полного уравнения. Приведем примеры.

Пример 1      Решить уравнение  4 х2 – 7х  - 36=0

Решение 

  1)Составим вспомогательное уравнение:  t2 -7t - 4∙36=0

Произведение 4и 36 можно не находить. Пользуемся  свойством произведения. Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз ,то произведение  не изменится.

   2)  Раскладываем на множители 4 ∙36=2∙72= 8∙18=16∙9=1∙144

   3)Смотрим на знак произведения. Знак  "-" ,значит корни  "отличаются"  на  7.Этому условию удовлетворяет пара  16∙9

    4) Устанавливаем знаки корней по знаку  р Второй коэффициент отрицательный ,значит  меньший из множителей  имеет знак  "-" ,т.е.  -9 и  +16

     5) Полученные корни вспомогательного уравнения делим  на  старший коэффициент  исходного уравнения, т.е. на 4. Получаем  корни:  -2,25 и +4

Ответ: -2,25; +4

    Заметим, что если решать это уравнение по формуле корней,  то вычисления были бы более трудоемкими.

Пример 2.    Решите уравнение .

Решение 

Составим вспомогательное уравнение и по теореме Виета найдем его корни . А значит, корни исходного уравнения .

Ответ: .

Пример 3.       Решите уравнение .

Решение 

Вспомогательное уравнение имеет вид . По теореме Виета его корни . Находим корни исходного уравнения .

Ответ: .

Примеры на применение теоремы Виета

Задание 1. Решите приведенное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета.

Задание 2. Решите полное квадратное уравнение с помощью перехода к вспомогательному приведенному квадратному уравнению.