Применение кругов Эйлера для решения задач
творческая работа учащихся по алгебре (8 класс) на тему

Содержание работы:

Актуальность изученной темы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Цели и задачи исследования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Немного истории. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

А теперь рассмотрим некоторые задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Вывод. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2

Актуальность темы:

Считаю эту тему актуальной, так как этот класс задач недостаточно затронут школьной программой, но довольно часто находит применение в реальной жизни.

Я поставила цель исследования:

• Изучить математический аппарат предложенный Эйлером.
• Использовать указанную методику для решения некоторых задач.

Задачи исследования:

• Изучить способ решения задач, предложенный Эйлером.
• Найти интересные задачи, для решения которых нужно использовать круги Эйлера.
• Решить эти задачи.

Моя гипотеза:

Применения кругов Эйлера делает понятными условия и объяснения целого класса задач.

3

Немного истории.

Леона́рд Э́йлер — швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук (а также физики, астрономии и ряда прикладных наук). Эйлер — автор более чем 850 работ (включая два десятка фундаментальных монографий) по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и другим областям. Академик Петербургской, Берлинской, Туринской, Лиссабонской и Базельской академий наук, иностранный член Парижской академии наук.

Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург, куда переехал годом позже. С 1726 по 1741, а также с 1766 года был академиком Петербургской академии наук (будучи сначала адъюнктом, а с1731 года — профессором); в 1741—1766 годах работал в Берлине (оставаясь одновременно почётным членом Петербургской академии). Хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики (С. К. Котельников) и астрономы (С. Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.

4

А теперь рассмотрим некоторые задачи:

Условия:

В некотором городе 85% жителей знают немецкий язык,75% знают русский язык.

Вопрос:

Сколько % жителей знают оба языка.

Решение:

Выразим условие задачи графически. Обозначим кругом №1 тех, кто знает немецкий язык, кругом №2 – тех, кто знает русский язык.

100-85=15% не знает немецкий язык, запишем число 15 в круг №2.

100-75=25% не знает русский язык, запишем число 25 в круг № 1.

Знают только 1 язык 25+15=40%, тогда знают оба языка 100-40=60%.

Ответ:

60%.

5

Условия:

    Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28, французским – 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским -10 , немецким и французским – 5, всеми тремя языками – 3.    

Вопрос:

Сколько туристов не владеют ни одним иностранным языком?

Решение:

Выразим условие задачи графически. Обозначим кругом №1 тех, кто знает английский, кругом №2 – тех, кто знает французский, и кругом №3 – тех, кто знают немецкий.

Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3.

Английским и французским языками владеют 10 человек, а 3 из них владеют ещё и немецким. Значит, английским и французским владеют 10-3=7 человек

В общую часть английского и французского кругов  вписываем цифру 7.

Английским и немецким языками владеют 8 человек, а 3 из них владеют ещё и французским. Значит, английским и немецким владеют 8-3=5 человек.

В общую часть английского и немецкого кругов вписываем число 5.

Немецким и французским языками владеют 5 человек, а 3 из них владеют ещё и английским. Значит, немецким и французским владеют 5-3=2 человека.

В общую часть немецкого и французского кругов  вписываем цифру 2.

6

Известно, что немецким языком владеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, значит, только немецкий знают 20 человек.

Английский язык знают 28 человек, но 5+3+7=15 человек владеют и другими языками, значит, только английский знают 13 человек.

Французский язык знают 42 человека, но 2+3+7=12 человек владеют и другими языками, значит, только французский знают 30 человек.

По условию задачи всего 100 туристов. 20+30+13 +5+2+3+7=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним иностранным языком.

Ответ:

20 человек.

7

Условия:

100 шестиклассников нашей школы участвовали в опросе, в ходе которого выяснялось, какие компьютерные игры им нравятся больше: симуляторы, квесты или стратегии. В результате 20 опрошенных назвали симуляторы, 28 — квесты, 12 — стратегии. Выяснилось, что 13 школьников отдают одинаковое предпочтение симуляторам и квестам, 6 учеников — симуляторам и стратегиям, 4 ученика — квестам и стратегиям, а 9 ребят совершенно равнодушны к названным компьютерным играм. Некоторые из школьников ответили, что одинаково увлекаются и симуляторами, и квестами, и стратегиями.

Вопрос:

Сколько школьников одинаково увлекаются и симуляторами, и квестами, и стратегиями?

Решение:

Выразим условия задачи графически. Обозначим кругом №1 тех, кто увлекается симуляторами, кругом №2 – тех, кто увлекается квестами, и кругом №3 – тех, кто увлекается стратегиями.

Так как 9 ребят совершенно равнодушны к названным компьютерным играм, то только 100-9=91 шестиклассник увлекаются какими-либо играми.

20 опрошенных назвали симуляторы, значит в круг №1 впишем число 20.

28 шестиклассников назвали квесты, значит в круг №2 впишем число 28.

12 человек назвали стратегии, значит в круг №3 впишем число 12.

13 школьников отдают одинаковое предпочтение симуляторам и квестам, тогда в их общую часть впишем число 13.

6 учеников отдают одинаковое предпочтение симуляторам и стратегиям, тогда в их общую часть впишем число 6.

4 школьника отдают одинаковое предпочтение квестам и стратегиям, тогда в их общую часть впишем число4.

Тогда все три вида игры назвали 91-20-28-12-4-6-13=8.

8

Ответ:

8 школьников одинаково увлекаются и симуляторами, и квестами, и стратегиями.

9

Условия:
В классе 36 учеников. Многие из них посещают кружки: физический кружок посещают 14 человек, математический кружок посещают 18 человек, химический кружок посещают 10 человек. Кроме того, известно, что 2 человека посещают все три кружка; из тех, кто посещает два кружка, 8 человек занимаются в математическом и физическом кружках, 5 — в математическом и химическом, 3 — в физическом и химическом.

Вопрос:

Сколько человек не посещают никаких кружков?

Решение:

Выразим условия задачи графически. Обозначим кругом №1 тех, кто посещают физический кружок, кругом №2 – тех, кто посещает математический кружок, и кругом №3 – тех, кто посещает химический кружок.

Все 3 кружка посещают 2 человека, значит в общую часть всех кружков впишем число 2.

8 человек занимаются в математическом и физическом кружках, значит в общую часть математического и физического кругов и вписываем число 8.

5 человек занимаются в математическом и химическом кружках, значит в их общую часть вписываем число 5.

3 человека занимаются в физическом и химическом кружках, значит в их общую часть вписываем число 3.

Только физический кружок посещают 14-8-3-2=1 человек, значит в круг №1 впишем число1.

Только в математическом кружке занимаются 18-8-5-2=3 человека, значит в круг №2 впишем число 3.

Только в химическом кружке занимаются 10-5-3-2=0 человек, значит в круг №3 впишем число 0.

10

В кружках занимается 1+8+3+3+2+5+0=22 человека.

Так как в классе 36 человек, то не посещают никакие кружки 36-22=14 человек.

Ответ:

14 человек.

Вывод:

Моя гипотеза подтвердилась - применения кругов Эйлера делает понятными условия и объяснения целого класса задач.

11