Урок геометрии в 9 классе по теме "Теорема косинусов"
методическая разработка по геометрии (9 класс) по теме

Урок по теме "Теорема косинусов"

Цели уроков: 

1. Образовательные:

1. Доказать теорему косинусов и показать ее применение при решении задач
2. Способствовать усвоению всеми учащимися стандартного минимума по теме;
3. Формировать  и совершенствовать  надпредметные умения обобщать путем  сравнения,   постановки и решения проблем, оперированием  уже знакомыми геометрическими понятиями и фактами, рассуждением  по аналогии;

1. Развивающие:

4.  развивать тригонометрический аппарат как средство решения геометрических задач;
5. развивать психические  свойства: память, вербальную и образную, произвольное внимание, воображение.

2. Воспитывающие: воспитывать чувство коллективизма.

Ход   урока:

Этап подготовки к осознанному восприятию нового материала

1. (Ученица1). Рассказ о косинусе угла:

1. определение;
2. значения косинусов некоторых углов от от  0о до 90о 
3. свойство косинусов равных углов;
4. свойство косинусов смежных углов;
5. свойство косинусов углов, значения которых увеличиваются от  0о до 90о.

2. (Ученица 2)  Приложение. Слайд 2. 

Задание: Используя треугольник  АВС,  найдите синус угла А и  косинус угла А.Сделайте вывод.

Замечание. Острые углы А и В прямоугольного треугольника АВС дополняют друг друга до 90о и являются дополнительными.

Вывод: Косинус острого угла равен синусу дополнительного угла.

3.   (Ученица 3)  Используя четырехзначные математические таблицы  Брадиса, найдите

1) cos25о;                                                               2) угол , если cos = 0,4756;
    cos25о15';                                                                                       cos = 0,5638;
    cos25о18';                                                                                   cos = 0,8975.
    сos43о39'.

4. Анализ и обсуждение домашнего задания. Слайд 3.

1) (Ученица 4) Задача 1. Постройте угол, если его
а) синус угла равен  
б)  косинус равен  

2) (Ученица 5) Задача 2. Найдите площадь треугольника, если

а) две стороны треугольника равны 20 см и 14 см, а косинус угла между ними  –  
б) две стороны треугольника равны 17 см и 8 см, а косинус угла между ними 

 5. Обсуждение задачи 2б. Изменим искомое в задаче 2б: Найдите квадрат третьей стороны треугольника по алгоритму:  (*)

1. Постройте высоту ВД.
2. Вычислите ВД.
3. Вычислите проекции сторон треугольника АВ и ВС на АС (АД и ДС).
4.  Из прямоугольного ДС вычислите ВС2.
 
Запомните алгоритм и результат! 

(Ответ: ВС2 = 113)

Этап изучения нового материала. Слайд 4. Теорема

В каждом треугольнике  квадрат  любой стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Дано: АВС АВ = с, АС = b, ВС = а
Доказать: c2 = a2 + b2 – 2 abcosC
Доказательство.
А) если о, тогда cosC = 0 и c2 = a2 + b2 (Теорема Пифагора); Слайд 5.
Б) если  – острый, то для доказательства применим алгоритм (*):Слайд 6.

Пусть АД – высота, АД = h. Из АДС : а1 = bcosC; h2 = b2 – a12.
Из АДВ  с2 = h2 + (a – a1)2,
с2 = h2 + a2 – 2aa1+ a12,
с2 = b2 – a12 + a2 – 2abcosC + a12 , т.е. c2 = a2 + b2 – 2abcosC. 

В) если  – тупой. Слайд 6. Доказательство проведите самостоятельно.

Замечание: Вернитесь к измененной домашней задаче 2б и вычислите ВД2 по теореме косинусов. Сравните ответы.

Работа с учебником

1. Прочитайте доказательство теоремы в учебнике Л.С. Атанасяна Геометрия 7–9, стр.257.
2. Составьте алгоритм доказательства теоремы.
3. Расскажите основную идею доказательства.
4. Сравните доказательства. Найдите положительные и отрицательные стороны обоих доказательств.
5. Почему в доказательстве по учебнику не рассматриваются три случая?

Основные задачи – следствия из теоремы косинусов

1. Нахождение третьей стороны треугольника. Слайд 7.

1. a = 11,  b = 35,  F C = 60;
2. a = 56,  b = 9,  F C = 120;
3. a = 31,  b = 8,  F C = 45.

2. СЛЕДСТВИЕ 1. Нахождение углов треугольника. Слайд 8. Найдите наибольший угол треугольника, если известны все его стороны. Запишите соответствующие формулы – следствия из теоремы косинусов

1. a = 8,  b = 15,  с = 13;
2. a = 80,  b = 19,  с = 91;
3. a = 11,    с = 7.

3. СЛЕДСТВИЕ 2.Определение вида треугольника, зная его стороны (cлайд 9).

Задание: определите вид треугольника с заданными сторонами, вычислив предварительно косинус наибольшего угла:

1. 23; 25; 34
2. 7; 24; 25
3. 6; 7; 9

Как можно ответить на этот вопрос без вычисления косинуса наибольшего угла? 

ВЫВОД. 

Пусть с – наибольшая сторона
– если с2 < a2 + b2, то треугольник остроугольный;
– если с2 = a2 + b2, то треугольник прямоугольный;
– если с2 > a2 + b2, то треугольник тупоугольный.

Проверьте вывод на выполненных задачах.

4. СЛЕДСТВИЕ 3. Формула медианы треугольника. Слайд 10.

Дано: а, b, c 
Найти:  ma 

– Решение проведите самостоятельно.

Ответ. 4 ma2  = 2b2 + 2c2  – a2

Задача. Стороны треугольника 3; 4 и 6. Найти длину медианы, проведенной к большей стороне.

5. СЛЕДСТВИЕ 4. В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон: d12 + d22 = 2a2 + 2b2  Слайд 11.

Доказательство проведите самостоятельно и рассмотрите различные способы. 

Задача. В параллелограмме стороны равны 4 см и 6 см. Одна из диагоналей 8 см. Найдите вторую диагональ.

– Дополняем теорию. (Задания на исследование по группам)   Какие ранее изученные теорем можно доказать с помощью вывода теоремы косинусов?

Ответ. 

1. Теорема о средней линии треугольника. (Помогает Слайд 12.)
2. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника. (Помогает Слайд 13) 

Практическое приложение теоремы косинусов

По Слайдам 14, 15 составьте задачи о нахождении расстояния между двумя недоступными предметами и решите их.

Подведение итогов урока. Оцените значимость изученного материала.

Домашенее задание: п. 98 разобраться в теории, найти другие способы решения задач-следствий и оценить их; № 1025(а, в, д) ; № 1030(для желающих).