Разложение многочленов на множители
презентация к уроку по алгебре (7 класс)

Слайд 1

Разложение многочленов на множители Алгебра 7 класс Учитель математики: Сергеев Владислав Витальевич

Слайд 2

Что такое разложение многочлена на множители и зачем оно нужно Обычно в таких случаях говорят, что многочлен удалось разложить на множители . ( 3 x – 5 )( х + 4 ) = ( 3 x – 5 )( х + 4 ) = 3 x 2 + 7 х – 20 3 x 2 + 7 х – 20 = ( 3 x – 5 )( х + 4 ) или 3 x 2 + 12 х – 5 х – 20 = 3 x 2 + 7 х – 20

Слайд 3

Что такое разложение многочлена на множители и зачем оно нужно Если произведение двух множителей равно нулю , то один из множителей равен нулю : 3 x 2 + 7 х – 20 = 0 ( 3 x – 5 )( х + 4 ) = 0 3 x – 5 = 0 или х + 4 = 0 3 x = 5 x = 5 /3 х = - 4 Ответ: -4; 5/3. Решить уравнение:

Слайд 4

Что такое разложение многочлена на множители и зачем оно нужно Из материалов ЕГЭ по математике:

Слайд 5

Вынесение общего множителя за скобки 3 x + 12 у = 3 ( x + 4 у ) а 5 – а 3 = а 3 ( а 2 – 1) 5 x 4 + 1 0 х 2 = 5 х 2 ( x 2 + 2) 9 т 4 + 6 т 2 – 15 т 3 = 3 т 2 ( 3 т 2 + 2 – 5 т ) 16 а 4 с 5 – 12 а 2 с 4 = 4 а 2 с 4 (4 а 2 с – 3) Вынести за скобки общий множитель:

Слайд 6

Вынесение общего множителя за скобки Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, ‒ он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов). Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени. Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, и степеней, найденных на втором шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки. Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов:

Слайд 7

Вынесение общего множителя за скобки 5,6 x + 1,4 у = 1,4 (4 x + у ) 0,65 а 5 – 0,13 а 3 = 0,13 а 3 (5 а 2 – 1) Замечание. В ряде случаев полезно выносить за скобку в качестве общего множителя и дробный коэффициент. Вынести за скобки общий множитель:

Слайд 8

‒ х 4 у 3 ‒ 2 х 3 у 2 + 5 х 2 = 5 а 4 – 10 а 3 + 15 а 5 = Разложить на множители: 5 а 3 ( а – 2 + З а 2 ) 2 x ( x – 2) + 5 ( x – 2) 2 = 2 x ( x – 2) + 5( x – 2)( x – 2) = = ( x – 2) ( 2 x + 5( x – 2) ) = ( x – 2)(2 x + 5 x – 10) = = ( x – 2)(7 x – 10) ‒ х 2 ( х 2 у 3 + 2 ху 2 ‒ 5) Вынесение общего множителя за скобки

Слайд 9

Способ группировки 2 а 2 + 6 а + ab + 3 b = Разложить на множители многочлен: ху – 6 + З x – 2 у = ( ху + 3 x ) + (– 6 – 2 у ) = (2 а 2 + 6 а ) + ( ab + 3 b ) = = 2 а ( а + 3) + b ( a + 3) = ( а + 3) (2 а + b ) = x ( у + 3) – 2 ( 3 + у ) = ( у + 3) ( x – 2)

Слайд 10

Способ группировки аb 2 – 2 аb + З а + 2 b 2 – 4 b + 6 = Разложить на множители многочлен: = ( b 2 – 2 b + 3 ) ( а + 2 ) = ( аb 2 – 2 аb + З а ) + ( 2 b 2 – 4 b + 6) = = а ( b 2 – 2 b + 3 ) + 2 ( b 2 – 2 b + 3) =

Слайд 11

Способ группировки х 2 – 7 x + 12 = Разложить на множители многочлен: = ( x – 3)( x – 4) = ( х 2 – З х ) + (– 4 x + 12) = x ( x – 3) – 4 ( x – 3) = х 2 – З x – 4 x + 12 =

Слайд 12

Способ группировки х 2 – 7 x + 12 = 0 Решить уравнение: ( x – 3)( x – 4) = 0 x – 3 = 0 x – 4 = 0 или x = 3 x = 4 Ответ: 3 ; 4 .

Слайд 13

Способ группировки x 3 – 2 x 2 + З x – 6 = 0 Решить уравнение: ( x – 2 )( x 2 + 3 ) = 0 x – 2 = 0 x 2 + 3 = 0 или x = 2 нет решений Ответ: 2. x 3 – 2 x 2 + З x – 6 = ( x 3 – 2 x 2 ) + ( З x – 6) = = x 2 ( x – 2) + 3( х – 2) = ( х – 2)( x 2 + 3)

Слайд 14

Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращённого умножения Формулы сокращенного умножения: a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 – квадрат суммы a 2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2 – квадрат разности a 2 – b 2 = (a – b)(a + b) – разность квадратов a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 ) – разность кубов a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 ) – сумма кубов a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 – куб суммы a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 = (a – b) 3 – куб разности

Слайд 15

Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращённого умножения 36 x 2 – 6 4 = Разложить на множители: = ((3 x – 2 ) – 7)((3 x – 2) + 7) (6 x ) 2 – 8 2 = (6 х – 8)(6 x + 8) (3 x – 2) 2 – 49 = (3 х – 2) 2 – 7 2 = = (3 x – 9)(3 x + 5) 81 а 8 – 625 с 4 = (9 а 4 ) 2 – (25 с 2 ) 2 = =(9 а 4 – 25 с 2 )(9 а 4 + 25 с 2 )= a 2 – b 2 = ( a – b )( a + b ) = (3 а 2 – 5 с )(3 а 2 + 5 с )(9 а 4 + 25 с 2 ) ((3 а 2 ) 2 – (5 с ) 2 )(9 а 4 + 25 с 2 )=

Слайд 16

Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращённого умножения 27 x 3 – 6 4 = Разложить на множители: = ( 6 n + m 2 )( 36 n 2 – 6 m 2 n + m 4 ) ( 3 x ) 3 – 4 3 = ( 3 х – 4 )( 9 x 2 + 12 x + 16 ) 216 n 3 + m 6 = (6 n ) 3 + ( m 2 ) 3 = а 12 – с 6 = ( а 4 ) 3 – ( с 2 ) 3 = ( а 4 – с 2 )( а 8 + a 4 с 2 + c 4 )= a 3 – b 3 = ( a – b )( a 2 + а b + b 2 ) = ( а 2 – с )( а 2 + с )( а 8 + a 4 с 2 + c 4 ) = (( а 2 ) 2 – с 2 )( а 8 + a 4 с 2 + c 4 )=

Слайд 17

Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращённого умножения 25 x 2 – 20 x + 4 = Разложить на множители: = ( n 2 + 2 m ) 2 ( 5 x ) 2 – 2 · 5 x · 2 + 2 2 = ( 5 х – 2 ) 2 n 4 + 4 mn 2 + 4 m 2 = ( n 2 ) 2 + 2 n 2 · 2 m + (2 m ) 2 = 16 а 8 – 8 a 4 c 3 + с 6 = = ( 4 а 4 – с 3 ) 2 ( 4 а 4 ) 2 – 2 · 4 а 4 · с 3 + ( c 3 ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 = ( a + b ) 2 a 2 – 2 ab + b 2 = ( a – b ) 2

Слайд 18

Алгебра 7 класс. Учебник / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина , Москва: Мнемозина , 2024г . Использованы ресурсы