Методы разложения многочленов на множители
презентация к уроку по алгебре (11 класс) на тему

Слайд 1

Методы разложения многочленов на множители. «Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять». Р.Декарт.

Слайд 2

Методы разложения многочленов на множители. Вынесение множителя за скобку Использование формул сокращённого умножения Способ группировки Метод выделения полного квадрата Схема Горнера Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов

Слайд 3

Вынесение множителя за скобку. Из распределительного закона непосредственно следует, что ac + bc = c(a + b). Этим можно воспользоваться для вынесения множителя за скобки. Пример: Разложить многочлен на множители 12y 3 – 20y 2 . Решение Имеем: 12y 3 – 20y 2 = 4y 2 · 3y – 4y 2 · 5 = 4y 2 (3y – 5). Ответ . 4y2(3y – 5).

Слайд 4

Использование формул сокращённого умножения. a 2 -b 2 =(a-b)(a+b); a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ); a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ); a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 ; a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2 . (а - b ) 3 = а 3 - За 2 b + За b 2 - b 3 (а + b ) 3 = а 3 + За 2 b + За b 2 +b 3 Пример: Разложить на множители многочлен x 4 – 1. Решение Имеем: x 4 – 1 = (x 2 ) 2 – 1 2 = (x 2 – 1)(x 2 + 1) = (x 2 – 12)(x 2 + 1) = (x + 1)(x – 1)(x 2 + 1). Ответ . (x + 1)(x – 1)(x 2 + 1). Вспомните эти формулы :

Слайд 5

Способ группировки. Этот способ заключается в том, что слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. Пример: Разложить на множители многочлен x 3 – 3x 2 y – 4xy + 12y 2 . Решение x 3 – 3x 2 y – 4xy + 12y 2 = = (x 3 – 3x 2 y) – (4xy – 12y 2 ) = = x 2 ( x – 3 y ) – 4 y ( x – 3 y ) = = (x – 3y)(x 2 – 4y). Ответ. (x – 3y)(x 2 – 4y).

Слайд 6

Метод разложения квадратного трехчлена на множители Пример: Разложить на множители квадратный трехчлен х 2 - 6x+5 Решение х 2 - 6x+5 = (решим уравнение: х 2 - 6x+5 =0, по т. Виета х=5, х=1) =(х-5)(х-1) Ответ. (x-5)(x-1).

Слайд 7

16 x 7 – 72 x 6 + 108 x 5 – 54 x 4 = = 2 x 4 (8 x 3 – 36 x 2 – 54 ) = = 2 x 4 (( 2 x) 3 - 3 • (2 x) 2 • 3 + 3 • (2 x ) • З 2 - З 3 ) =2 x 4 (2 x - З) 3

Слайд 9

D=1-4*5*1=-19- нет корней

Слайд 10

=

Слайд 13

1) ( ) Аналогично 2 и 3 система

Слайд 17

Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной. Теоретической основой метода являются следующие утверждения. Пример. Разложить на множители многочлен 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1. Решение. Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x – p и ax 2 + bx + c такие, что справедливо равенство 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 = ( x – p )( ax 2 + bx + c ) = ax 3 + ( b – ap ) x 2 + ( c – bp ) x – pc . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырех уравнений для определения четырех неизвестных коэффициентов: a=3 b−ap=−1 c−bp=−3 − pc=1. Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1. Итак, многочлен 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 разлагается на множители: 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 = ( x – 1)(3 x 2 + 2 x – 1). Ответ. ( x – 1)(3 x 2 + 2 x – 1).

Слайд 18

Схема Горнера. Если f(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n -1 x + a n , g ( x ) = x – c , то при делении f(x) на g(x) частное q(x) имеет вид: g ( x ) = b 0 x n -1 + b 1 x n -2 + … + b n -2 x + b n -1 , где b 0 = a 0 , b k = cb k -1 + a k , k = 1,2, …, n -1 Остаток r находится по формуле r = cb n -1 + a n

Слайд 19

Пример 1 x 4 – 3 x 3 – 3 x 2 + 11 x – 6 Решение. По схеме Горнера корнями данного многочлена могут быть числа ±1, ±2, ±3, x 1 = 1 x 2 = 1 x 3 = -2 x 4 = 3 x = 1 – корень кратности 2 Таким образом, разложение данного многочлена на множители имеет вид x 4 – 3 x 3 – 3 x 2 + 11 x – 6 = ( x – 1) 2 ( x + 2) ( x – 3 ) Ответ. ( x – 1) 2 ( x + 2) ( x – 3 ) 1 -3 -3 11 -6 1 1 -2 -5 6 0 1 1 -1 6 0 -2 1 -3 0 3 1 0

Слайд 20

Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой и т.д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт. Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим. Пример: 8 x 4 + x 3 + 64 x +8 Решение. Применим методы группировки, вынесения общего множителя за скобки и формулы сокращенного умножения: 8 x 4 + x 3 + 64 x +8 = x 3 (8 x ) + 8 (8 x + 1) = (8 x + 1) ( x 3 + 8) = (8 x + 1) ( x + 2) ( x 2 – 2 x +4) Ответ. 8 x + 1) ( x + 2) ( x 2 – 2 x + 4)