производная и интеграл
консультация по алгебре

Материалы по теме "Производная"

              Пусть на некотором промежутке задана функция y = f (x); x0 — приращение аргумента х; точка принадлежит этому промежутку; Δy — приращение функции.

Предел отношения (если он существует) приращения функции Δy  к приращению аргумента Δx при стремлении приращения аргумента к нулю называется  производной  функции в точке x0,  т.е.  

        Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной (тангенсу угла α), проведенной к графику функции в точке с абсциссой x0     где k – угловой коэффициент касательной,  или  

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой:  

       Пусть материальная точка движется по координатной прямой по закону x = x(t), 

т.е. координата этой точки х – известная функция времени t.

      Физический смысл производной состоит в том, что производная от координаты по времени есть мгновенная скорость:

        Первая формула читается так: "Вэ от тэ равно пределу отношения изменения аргумента к изменению времени, при дэльта  тэ стремящимся к нулю. (Здесь предел – от слова  limit – лимит).

Основные правила дифференцирования.

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1)   (u ± v)′ = u′ ± v′

2)   (u⋅v)′ = u⋅v′ + u′⋅v

3)  , если v ≠ 0

- 1 –

Производные основных элементарных функций

             1)   С′  = 0;                        7)

       2)   (xm)′ = mxm-1;                                     8)

       3)                                     9)

       4)                          10)

       5)                         11)         

       6)                        12)  

Производная сложной функции

Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.   Тогда      

Производные высших порядков

Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную  

Если найти производную функции f′(x), получим вторую производную функции f(x).        т.е.  y′′ = (y′)′   или      .

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.

.

Примеры нахождения производных функций:

1.        Найти производную функции  

         Решение:  

         Ответ:

2.        Найти производную функции  

         Решение:            Ответ:

3.        Найти производную функции  

         Решение: 

         - 2 -

Ответ:  

4.        Вычислить значение производной функции  в точке  

         Решение:                                

         Ответ: -10.

Материалы по теме "Применение производной"

      Задание 1.   Найти уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой x0 = 1.

Решение.

1.Найдем производную данной функции: 
2.Определим значение производной и функции в точке x0 = 1:

3. По формуле  находим уравнение касательной:

        Задание 2.    Исследовать функцию  построить ее график.

Решение: 1. Областью определения функции является вся числовая ось D(y) = R. 
2. Функция является четной, т.к. y(–x) = y(x). 
3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Приравняем правую часть функции к нулю и найдем корни полученного уравнения:

    таким образом, график функции пересекает ось х в трех точках:      

4. Найдем производную функции и  её критические точки:

.

В трех точках x = –1, x = 0, x = 1, производная обращается в нуль. Эти точки разби-

- 3 -

вают ось абсцисс на 4 части: 

5. Найдем промежутки знакопостоянства (монотонности) функции, и экстремумы (критические точки) функции. На интервале  производная функции отрицательна, на интервале производная положительна, на интервале  отрицательна и на интервале  положительна.

       Следовательно, функция y на интервале  убывает, на интервале  возрастает, на интервале  убывает и на интервале  возрастает. 
Поэтому в точках x = –1 и x = +1 функция принимает минимальные значения y = –1. 
Точка x = 0 есть точка максимума, где y = 0. Составим таблицу:

6. Строим график функции, используя полученные результаты

Задание  3.   Провести полное исследование функции  и построить её график. 

1.     2.     3.    4.      

5.           6.     7.  

- 4 -

Материалы по теме "Интеграл и его применение"

Неопределенным интегралом  функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:  F(x) + C.

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства:

1.  

2.

3.  

4.  где u, v, w – некоторые функции от х.

       5.           

Пример: 

Нахождение значения неопределенного интеграла связано с нахождением первообразной функции. Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов. В них включены различные комбинации функций, ниже приведена таблица основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

Непосредственное интегрирование

            Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования. Рассмотрим применение этого метода на примере:

- 5 -

      Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования  можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны .  Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

.

        В  отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны.

Определенный интеграл

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

Определение . Разобьем отрезок [a, b] на n отрезков одинаковой длины точками 
.
      Для любой определенной на отрезке [a, b] функции f (x) рассмотрим сумму, называемую интегральной,

.
(Для неотрицательной на отрезке [a, b] функции f (x) это сумма площадей всех построенных на отрезках  как на основаниях прямоугольников соответственно высотой ).

     Для любой непрерывной на отрезке [a, b] функции f (x) сумма  при  стремится к некоторому числу, которое называют (по определению) интегралом функции f от a до b и обозначают

- 6 -

,  то есть 

Числа а и b называют пределами интегрирования: а — нижним пределом интегрирования, b —верхним . Знак называют знаком интеграла. Функция  f  называется подынтегральной функцией, а переменная х — переменной интегрирования.

Свойства определенного интеграла.

Если f(x) ≤ ϕ(x) на отрезке [a, b]  a < b, то

Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:  

Вычисление определенного интеграла.

      Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.

Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то   это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.  Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x).

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Если функция  на отрезке [a, b], то площадь S криволинейной трапеции выражается формулой

- 7 -

         Криволинейной трапецией  называется фигура,  находящаяся  на  координатной плоскости и состоящая из всех точек (x,y), удовлетворяющих неравенствам  .

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  

Решение: 1) .  Графиком этой функции является парабола, вершина которой находится в точке (0; 2), ветви направлены вверх. 
2)  х = –1. Графиком этого уравнения является прямая, проходящая через точку (-1; 0) параллельно оси Оу. 
3)  х = 2. Графиком этого уравнения является прямая, проходящая через точку (2; 0) параллельно оси Оу.
4) у = 0. Графиком этой функции является прямая, совпадающая с осью Ох.
5) Построим графики в одной системе координат:

6) Площадь криволинейной трапеции ABCDE определим по формуле Ньютона-Лейбница:

Задание:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 

- 8 -