РАЗДЕЛ 2.  Интегралы

2.1.Первообразная. Примеры решения задач

 Определение 1. Функцию   F (x) ,   определенную на интервале   (a, b),   называют первообразной функции   f (x) ,   определенной на интервале  (a, b),   если для каждого выполнено равенство             F' (x) = f (x) .

      Например, из справедливости равенства   (sin 2x)' = 2 cos 2x вытекает, что функция   F (x) = sin 2x   является первообразной функции   f (x) = 2 cos 2x .

      Замечание. Функция   F (x) = sin 2x   не является единственной первообразной функции   f (x) = 2 cos 2x ,   поскольку функция   F (x) = sin 2x + 10 ,   или функция   F (x) = sin 2x – 3 ,   или функции вида   F (x) = sin 2x + c ,   где   c   – любое число, также являются первообразными функции   f (x) = 2 cos 2x .

      Теорема 1. Если функция   F (x)   является первообразной функции   f (x)   на интервале   (a, b) ,   то любая другая первообразная функции   f (x)   на интервале   (a, b)   имеет вид   F (x) + с ,где   c   – некоторое число.

2.2.  Решите следующие  задания

1. Установите соответсвие:

ФУНКЦИЯ f(x)        ПЕРВООБРАЗНАЯ F(x)

1)  3x2        A)

2)         B)

3)         C)

4)  x3        D) +C

2.Докажите, что функция F(x) = 3 + 4 sin2x является первообразной для функции f(x) = 8 cos 2x при x ∈ R.

3. Докажите, что функция F(x) = 7 + 5 cos 3х является первообразной для функции f(х) = -15 sin 3х при х ∈ R.

4. Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку А(2; 4). Постройте график этой функции.

5. Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку А(1; 2). Постройте график этой функции.

6. Найдите общий вид первообразных для функции:

2.3.  Неопределенный интеграл. Правила интегрирования. Таблица интегралов. Примеры решения задач                                                       

Определение 2. 

Множество всех первообразных функции   f (x)   называют неопределенным интегралом от функции   f (x)   и обозначают                Обозначение  читается так: «Неопределенный интеграл от функции   f (x)   по   dx» .

      Если   F (x)   является первообразной   f (x) ,   то в силу теоремы 1 смысл формулы (1) заключается в следующем:

      Для упрощения формулу  принято записывать в виде

    Функцию   f (x)   называют подынтегральной функцией, выражение   f (x) dx   нызывают подынтегральным выражением, а число   c   называют постоянной интегрирования.

      Операцию вычисления (взятия) интеграла по известной подынтегральной функции называют интегрированием функции.

      Вычисление интегралов (интегрирование) основано на применении следующих правил, которые непосредственно вытекают из правил вычисления производных.

      Правило 1 (интеграл от произведения числа на функцию). Справедливо равенство  где   k   – любое число.

      Другими словами, интеграл от произведения числа на

 функцию равен произведению этого числа на интеграл от функции.

      Правило 2  (интеграл от суммы функций). Интеграл от суммы функций вычисляется по формуле  

то есть интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.

      Правило 3 (интеграл от разности функций). Интеграл от разности функций вычисляется по формуле,то есть интеграл от разности

функций равен разности интегралов от этих функций.

      Правило 4 (интегрирование при помощи замены переменной).             Из справедливости формулы  

вытекает, что      

      Замечание. Рассмотрим частный случай формулы (4), когда

 функция   φ (x)   является линейной функцией, то есть    φ (x) = kx + b ,

что   k   и   b   – произвольные числа, .   В этом случае   φ' (x) = k ,

и формула  принимает вид

Таблица интегралов

Свойства неопределенного интеграла:

1. к, где к = const.      2. .

3. .

Таблица 1 (неопределенных интегралов)

      Следующая таблица неопределенных интегралов составлена на основе таблицы производных часто встречающихся функций, а также на основе таблицы производных сложных функций

1)Основная формула:

Обобщения:, где   k – любое число

2) Основная формула:где n – любое число, не равное  –1 .

Обобщения:,где   n, k, b – любые числа, , 

где   n – любое число, 

3) Основная формула:   ,   x > 0

Обобщения:,где   k, b – любые числа,    kx + b > 0

где   φ (x) > 0

4) Основная формула:

Обобщения:     ,  где   k, b – любые числа, 

5)Основная формула:

Обобщения:   ,  где   k, b – любые числа, 

6)Основная формула:,где   a – любое положительное число, не равное 1 .

Обобщения:,где  a – любое положительное число, не равное 1,   k, b – любые числа, 

,где  a – любое положительное число, не равное 1

7) Основная формула:,где   a – любое положительное число, не равное 1 .

Обобщения:  ,где  a – любое положительное число, не равное 1,   k, b – любые числа, 

,где  a – любое положительное число, не равное 1

8) Основная формула:

Обобщения:  ,где   k, b – любые числа, 

9) Основная формула:

Обобщения: ,где   k, b – любые числа, 

10)Основная формула:  ,где  

Обобщения: ,где   k, b – любые числа, ,  

, где   

11)Основная формула: ,где

Обобщения:   ,где   k, b – любые числа, , 

,

12)Основная формула:      | x | < 1

Обобщения:где   k, b – любые числа, , | kx +b | < 1

где   | φ (x) | < 1

где   a, b – любые числа, 

13)Основная формула:  

Обобщения:    ,  где   k, b – любые числа, 

где   a, b – любые числа, 

2.4.Примеры решения задач

      Пример 1. Вычислить интеграл

      Решение. Воспользовавшись свойствами степеней, а затем правилами интегрирования и формулами из таблицы неопределенных интегралов, получаем

Ответ.    

      Пример 2. Значение первообразной   F (x)   функции   f (x) = – 4 sin x   в точке   x = 0   равно   9.   Найти .

      Решение. Поскольку  

то F (x) = 4 cos x + c,

      Подставляя в формулу (6) значение   x = 0 ,   находим значение постоянной интегрирования   c:   F (0) = 4 cos 0 + c = 9,

4 + c = 9,     c = 5.      Следовательно, F (x) = 4 cos x + 5

      Поэтому        Ответ.  7

      Пример 3. Найти первообразную   F (x)   функции    

если   F (2π) = 2e + 3.

      Решение. Воспользовавшись формулой из таблицы неопределенных интегралов для функции   φ (x) = cos x ,   получаем

      Следовательно,

      Подставляя в формулу (7) значение   x = 2π,   находим значение постоянной интегрирования   c:       Итак, c = 3e +3 .

      Ответ. 

    Пример 4. Вычислить интеграл   

  Решение. Воспользовавшись формулой из таблицы неопределенных интегралов  для функции   φ (x) = ex,   получаем       Ответ. 

Пример 5. Вычислить интеграл 

Решение. Чтобы найти данный неопределенный интеграл, воспользуемся методом разложения, который заключается в разложении подынтегральной функции на сумму функций и использовании свойств неопределенного интеграла 1 и 2.

===

= = = = .

Ответ: =.

2.5. Найти неопределенные интегралы:

1.

2. а) ;  б) ;  в) ;                      

  г) ;  д) ; е) ; ж) ;

з) ;   и) ;  к) ;  л)  ;              

м) ; н) ; о) ; п) ;

р);   с) ; т) ;  у) ;  

 ф) ; х)

2.6. Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции

Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат   Oхy , пусть   y = f (х)   – непрерывная на отрезке   [a, b]  функция, принимающая только положительные значения.                                                                                           Определение 1. Фигуру, ограниченную графиком функции                           

  y = f (х)   сверху, отрезком   [a, b]   снизу, а справа и слева отрезками прямых   х = a   и  х = b   (рис. 2), называют криволинейной трапецией.

Рис.1

Определение 2. Число, равное площади криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 1, называют определенным интегралом от функции   f (x)   в пределах от   a   до   b   и обозначают      Формула  читается так: «Интеграл от    a   до   b   от функции   f (x)   по   dx».

        Формула Ньютона -Лейбница

Определение 3. В формуле (1) функцию   f (x)   называют подынтегральной функцией, переменную   x  называют переменной нтегрирования, отрезок   [a, b]  называют отрезком интегрирования, число   b   называют верхним пределом интегрирования, а число   a   – нижним пределом интегрирования.                                                                  

Утверждение: Геометрический смысл определённого интеграла в том, что его значение равно площади соответствующей криволинейной трапеции:          (1)

Замечание 1.Пусть y= f(x) – непрерывная функция при x[a, b], график которой расположен ниже оси OX (рис. 2). Значение определённого интеграла будет отрицательным, поэтому для расчёта площади берём значение интеграла по модулю.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

y = e – x,     y = 0,     x = 0,     x = ln 3.

 Решение. Рассматриваемая фигура является криволинейной трапеции (рис. 2)

Рис.3

      Найдем площадь этой криволинейной трапеции:

  Ответ. кв.ед.

Пример 2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции и осью OX.

Решение: данная фигура (рис. 5) расположена ниже оси OX, поэтому применим формулу (2).

Пример 3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций и .

Решение: данная фигура (рис. 5)представляет собой разность криволинейных трапеций. Абсциссы точек пересечения находим по чертежу: x1=-2 и  x2=1.

  . Можно записать под один интеграл:

Пример 4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций и , и координатными осями.

Решение:  данная фигура (рис. 6) представляет собой сумму криволинейных трапеций S=S1+S2, где    и  . Получим формулу:

 Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями                                                         

Решение. Рассматриваемая фигура (рис. 4) состоит из двух частей: треугольника   OAB   и криволинейной трапеции   ABCD.

Рис.7

      Дважды применим формулу для площади криволинейной трапеции с   f (x) > 0, а затем вычислим полученные интегралы с помощью таблицы неопределенных интегралов и формулы Ньютона - Лейбница:

                                                                                                                               Ответ. 3 кв.ед.

Пример 6. Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рис 4  

                                               Рис .8

 Решение. Площадь криволинейной трапеции   ABCD   вычисляется с помощью формулы для площади криволинейной трапеции с   f (x) < 0:

Воcпользовавшись таблицей неопределенных интегралов и формулой Ньютона - Лейбница, находим

      Ответ.     =    кв.ед.    

2.7. Решите задания:

1.Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную осью Ох, прямыми            х = , х = b и графиком функции у = f(x)

а)

б)

2. Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную осью Ох, прямыми    х = , х =  и графиком функции у = f(x)

 а)

б)

3.Выяснить, какая из криволинейных трапеций, изображенных на рисунках, имеет  площадь  S = 6?

Рис. 1                      Рис. 2                         Рис. 3

4.Выяснить, какая из криволинейных трапеций, изображенных на рисунках, имеет площадь S = 6?

Рис. 1                       Рис. 2                        Рис. 3

5. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми                 х = , х =  , графиком функции у= f(x) и осью Ох.

;

2);

3);

4);

5);

6. Проверьте себя

Ответы: №1 ln3 кв.ед., №2  кв.ед., №3 кв.ед.

7. Самостоятельная работа

1)

2)

3)

4)

5)           

 6)               

7)

8)

9)      

10)      

11)

12)

2.8. Основные свойства определенного интеграла.

Определенный интеграл обладает следующими свойствами.

1.При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный: . Если пределы интегрирования равны между собой, то .

2.Каковы бы ни были числа a, b, c, имеет место равенство:

     . Это равенство верно, если  и верно при любом с, если существуют любые два из фигурирующих в нем трех интегралов.

3.Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е. , где k – постоянная величина.

4.Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е. .

Замечание. Свойство 4 справедливо для любого конечного числа слагаемых.

2.9. Примеры вычисления определенного интеграла

Пример 1.

.

Пример 2.

.

Пример 3.

.

2.10. Решите определенные интегралы:

1.;    2.;      3.;     4.;   5.;                  6.;   7.;   8.;   9.;    

10.;     11.; 12.;    13.;   

 14.;       15.;    16.; 17.;                   18.;       19.;       20.;  21.;    

22.;          23.;     24;     25;    

26;    27;    28;  29.;    30.  ;    

31.;    32.;   33. ;   34. ;    

35. ;  36.

2.11. Самостоятельная работа

Вариант 1

1)Вычислить определённые интегралы  

1) ;   2)   3) ;    

4) ;    5) ;   6) ;    

7)    ; 8)     9)    10)  

11) 12)     13)   14)   

15)  

Вариант 2

1)Вычислить определённые интегралы

1) ;  2)  ;   3) ;                

 4) ;   5)  ;          6) ;

  7) ;8)  9)   10)   

11) ;12)  13)   14)   

15)   

2.12.Физический смысл определенного интеграла

1.Нахождение пути, пройденного телом при прямолинейном движении

Как известно, путь, пройденный телом при равномерном движении за время t, вычисляется по формуле S = vt.

Если тело движется неравномерно в одном направлении и скорость его меняется в зависимости от времени t, т. е. v = f(t), то для нахождения пути, пройденного телом за время от  до , разделим этот промежуток времени на n равных частей Δt. В каждой из таких частей скорость можно считать постоянной и равной значению скорости в конце этого промежутка. Тогда пройденный телом путь будет приблизительно равен сумме , т.е.   Итак,    

2.  Вычисление работы силы, произведенной при прямолинейном движении тела

Пусть тело под действием силы F движется по прямой S , а направление силы совпадает с направлением движения. Необходимо найти работу, произведенную силой F при перемещении тела из положения a в положение b.

Если сила F постоянна, то работа находится по формуле  (произведение силы на длину пути).

Пусть на тело, движущееся по прямой Ох, действует сила F, которая изменяется в  зависимости  от пройденного пути, т. е.   . Для того чтобы найти работу, совершаемую силой F на отрезке пути от а до b, разделим этот  отрезок на n равных частей  . Предположим, что на каждой части  сила сохраняет  постоянное значение   F( …. Составим интегральную   сумму, которая приближенно равна значению произведенной работы: A т.е. работа, совершенная этой силой на участке от а до b, приближенно мала сумме: Итак, работа переменной силы вычисляется по формуле: 

3. Вычисление работы, затраченной на растяжение или сжатие пружины

Согласно закону Гука, сила F, необходимая для растяжения или сжатия пружины, пропорциональна величине растяжения или сжатия.

Пусть х – величина растяжения или сжатия пружины. Тогда F=kx , где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойства пружины.

Для нахождения истинной величины работы следует перейти к пределу

    Итак,  

Примеры решения задач

Пример 1. Скорость движения материальной точки задается формулой

 = (4 м/с. Найти путь, пройденный точкой за первые 4с от начала движения.

Решение:

Пример 2. Скорость движения изменяется по закону    м/с . Найти длину пути, пройденного телом за 3-ю секунду его движения.

Решение:

 Пример 3.Скорость движения тела задана уравнением  м/с. Определить путь, пройденный телом от начала движения до остановки.

Решение: Скорость движение тела равна нулю в момент начала его движения и остановки. Найдем момент остановки тела, для чего приравняем скорость нулю и решим уравнение относительно t; получим 

Следовательно,

Пример 4. Тело брошено вертикально вверх со скоростью, которая изменяется по закону  м/с. Найти наибольшую высоту подъема.

Решение: Найдем время, в течении которого тело поднималось вверх:

29,4–9,8t =0 (в момент наибольшего подъема скорость равна нулю); t = 3 с. Поэтому

 Пример 5.Какую работу совершает сила в 10Н при растяжении пружины на 2 см?

Решение: По закону Гука сила F, растягивающая пружину, пропорциональна растяжению пружины , т.е. F = kx. Используя условие, находим  (Н/м), т.е. F = 500x. Получаем

Пример 6. Сила в 60Н растягивает пружину на 2 см. Первоначальная длина пружины равна 14 см. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть ее до 20 см?

Решение: Имеем   (H/м) и, следовательно, F = 3000x. Так как пружину требуется растянуть на 0,06 (м), то

 Пример 7.Скорость прямолинейного движения точки задана уравнением   . Найти уравнение движения точки.

Решение:  Известно, что скорость прямолинейного движения тела равна производной пути S по времени t, т.е. , откуда  . Тогда имеем 

Это искомое уравнение.

2.13. Решите задачи

1.Поезд  движется по закону s(t) = tt+ 20 t, где s(t) измеряется в км, время  t в час. Найти скорость движения поезда в момент времени t=1ч.

2.Поезд  движется по закону s(t)=, где s(t) измеряется в км, время  t в час, измеренное c начала движения. В какой момент времени  скорость движения поезда была равна 47 км/час?    

3.Поезд  движется по закону s(t)= , где s(t) измеряется в км, время  t в час, измеренное c начала движения. В какой момент времени  скорость движения поезда была равна 80 км/час?    

4.Для поезда, двигающегося со скоростью 90 км/час, тормозной путь определяется по формуле s(t)=64t - 16 t2.В течении какого времени осуществляется торможение поезда , до его полной остановки? Сколько километров будет составлять тормозной путь?

5. При торможении маховик за время t поворачивается на угол  Найдите угловую скорость  вращения маховика в момент времени t = 2.

6. При торможении маховик за время t поворачивается на угол  Через какое время после начала движения угловая скорость  вращения маховика  будет равна 3.

7. Через точку графика функции  с абсциссой х0 = проведена касательная. Найдите её угловой коэффициент.

  2.14.  Решите самостоятельно

      1)Поезд  движется по закону s(t)=23t2 +12t + 1,где s(t) измеряется в км,

      время  t в час. Найти скорость движения поезда в момент времени t=4ч.

       2)Поезд выходит со станции и через t часов находится на расстоянии

     S = t+2t+3t  километров от станции отправления. Найти величину его

      ускорения в  конце 2 часа.

     3) Поезд выходит со станции и через t часов находится на расстоянии

     S = 2t+4t-5t   километров от станции отправления. Найти величину

      его    ускорения в  конце 3 часа.

    4)Поезд выходит со станции и через t часов находится на расстоянии

     S = t+t+ t километров от станции отправления. Найти величину его

     ускорения  в  конце 4 часа.

    5) Поезд  движется по закону s(t)=24t2 +3t + 1,где s(t) измеряется в км,

      время  t в час.Найти скорость движения поезда в момент времени t=2ч.

   6)Поезд  движется по закону s(t)=t+t+6 t, где s(t) измеряется в км,

     время  t в час.Найти скорость движения поезда в момент времени t = 2ч.

    7)Поезд  движется по закону s(t)=400 +6t,где s(t) измеряется в км,

     время  t в час.Найти скорость движения поезда в момент времени t = 8ч.

    8) Поезд  движется по закону s(t)=120 +6t,где s(t) измеряется в км,  

        время  t в час.Найти скорость движения поезда в момент времени t = 5ч.

     9)Поезд  движется по закону s(t)= +6 ,где s(t)  

       измеряется в км, время  t в час. Найти скорость движения поезда в

      момент времени t = ч.

10) Поезд  движется по закону s(t)=,где s(t) измеряется в км, время  t в час. Найти скорость движения поезда в момент времени

 t = ч.

11)Поезд  движется по закону s(t)=t-t- 10 t, где s(t) измеряется в км, время  t в час.Найти скорость движения поезда в момент времени t=2ч.

В главную таблицу поставить полученный вами ответ в задании и соответствующую ему букву

2.15.   Контрольная работа 

Вариант  1.

Часть А

1. Найдите какую-либо первообразную функции  у =

1. 1  –  ;    2)  3 + ;     3)  5 – ;      4)   4 + .    

2.  Для функции у = –3 sinx найдите первообразную, график которой проходит через точку М(0;10)

1.  –3соsx + 13;     2)  3соsx + 7;    3)   –3sinx + 10;     4)  5соsx + 1.

3.  Вычислите неопределенный интеграл  

1.               2)        3)      4)  .

4. Вычислите определенный интеграл  

1. 4;               2)   2;                  3)   6;          4)   – 4.

5. Известно, что    Найдите 2

1. 2;                 2)  0;                  3)  –2;         4)  4.

Часть В

6. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями  у = х2, у = 0,        х = 3, х = 4.
7.  Функция у = F(x) + C  является первообразной для функции

f(х) = х2 + 3х, график которой проходит через точку М(1; 4). Найдите С.

Часть С

8.Точка движется прямолинейно, ее скорость выражается формулой v(t)  = 1 + 2t. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени t = 2 координата точки равнялась числу 5.

Вариант 2

Часть А

1.  Найдите какую-либо первообразную функции  у =

1. 1 – ;     2)   1,5 + ;        3)   4 + ;    4)   6 +

2. Для функции у = 3 sinx найдите первообразную, график которой проходит через точку М(0;10)

1.   –3соsx + 13;     2)  3соsx + 7;    3)   –3sinx + 10;     4)  3sinx + 10.

3. Вычислите неопределенный интеграл  

1. 3х3 –   2)  х3 –       3)   3х3 +   4)  х3 +

4. Вычислите определенный интеграл  

1.  3;               2)   20;                  3)   12;          4)   – 12.

5. Известно, что    Найдите

1.  – 6;            2)    – 3;                 3)   6;            4)     3.

Часть В

6. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями  у = 3х2, у = 0,  х =  1 , х = 3.
7. Функция у = F(x) + C  является первообразной для функции          f(х) = х2 – 3х, график которой проходит через точку М(1; 4). Найдите С.

Часть С

8.   Точка движется прямолинейно, ее скорость выражается формулой

v(t) = –4sint . Найдите закон движения, если известно, что в момент времени t = 0  координата точки равнялась числу 2.

Литература

Перечень учебных изданий, интернет-ресурсов:

1. Основная учебная литература:

1. Богомолов Н.В. Математика: учебник. М.: Юрайт, 2013

или [Электронный ресурс]: Богомолов, Н. В. Математика : учебник для СПО / Н. В. Богомолов, П. И. Самойленко. — 5-е изд., перераб. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2016. — 396 с. — Режим доступа: - URL: https://www.biblio-online.ru/book/F7C570BC-85B6-4E2D-9B5A-4CB297E61C8E

2. Дополнительная учебная литература:

2.1  Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. М.: Юрайт, 2013.

    или [Электронный ресурс]: Богомолов, Н. В. Практические занятия по математике в 2 ч. Часть 1 : учебное пособие для СПО / Н. В. Богомолов. — 11-е изд., перераб. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2016. — 285 с. —  Режим доступа: - URL: https://www.biblio-online.ru/book/B2077BBB-EF95-4E5F-AFE1-9AAB6EB69A17

3. Интернет-ресурсы:

3.1 ЭБС «Университетская библиотека онлайн»: http://biblioclub.ru/

2. Электронная библиотечная система «Лань»: http://e.lanbook.com/

3.3 «Квант». Форма доступа: www.kvant.mirror1.mccme.ru