Разложение многочленов на множители с помощью формулы квадрата суммы и квадрата разности.
план-конспект занятия по алгебре (7 класс)

Тема: Разложение многочленов на множители с помощью формулы квадрата суммы и квадрата разности.

Цели урока:

образовательная: дальнейшее развитие умений раскладывать многочлены на множители с помощью формулы квадрата суммы и квадрата разности;

     развивающая: развитие математической речи, логического мышления, привитие интереса к предмету.

     воспитательная: воспитание прилежания, самостоятельности, точности, аккуратности.

ХОД УРОКА

1. Орг. момент

Настроение учащихся.

2. Мотивация урока.

Ребята, на предыдущих уроках мы поставили задачу – рассмотреть способы разложения многочленов на множители и открыли два способа: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки. Я хочу вас спросить, насколько хорошо, по вашему мнению, вы овладели этими способами»? Сегодня мы будем отрабатывать эти способы или продолжим открытие нового?

Овладели недостаточно. Предлагаем продолжить отработку способов.

Хорошо. Я предлагаю вам доказать свою точку зрения. Согласны?

3. Актуализация опорных знаний.

Что значит разложить многочлен на множители?

Какие способы вам известны?

Представьте в виде степени выражение:

- Представить выражение в виде произведения: к2 – в2;  а2 – ав;   а2 – 2ав + в2.

 - Докажите, что 272 – 142  делится на 13.

 - Вычислите р2 + 6р + 9  при р = -4.

 - Найдите все значения а, при которых верно равенство (а – 6)2 = а – 6.

 -Упростите выражение  2 (в- р)2  - (в – р) (в+ р).

4. Решение упражнений на разложение многочленов на множители с помощью формулы квадрата суммы и квадрата разности

Посмотри на члены многочлена,

  Может разглядишь квадрат двучлена.

  Это когда а квадрат плюс в квадрат

  Рядом с ними должен быть их младший брат.

  Выглядит как 2ав и без сомнения

  Зовется он удвоенное произведение.

   ( а + в )2 = а2 + 2ав + в2

    ( а - в )2 = а2 - 2ав + в2

Вставить пропущенные знаки:

Решите уравнение:

а)(x-6) 2-x(x+8)=2

б)x(x-1)-(x-5) 2=2

Решить № 699, 700, 714, 710.

5. Самостоятельная работа.

Решить № 728 (а, б).

6. Итоги урока. Д/з.

Выберите верный ответ:

Выучить п.18,  решить № 728 (в. г), 698, 709.

Прежде, чем мы окончим урок, я хочу узнать, что же изменилось или сохранилось в вашем настроении в течение урока.  И поэтому попрошу вас ответить на вопросы

 - мне понравилось  ------------------------------------------------

- я много узнал нового -----------------------------------------------

- мне не интересно, я это знал ----------------------------------------

Тема: Разложение многочленов на множители с помощью формулы разности квадратов.

Цели урока:

• образовательная: открытие новых способов разложения на множители, сформировать способность к разложению разности квадратов на множители;
• развивающая: обучение распознаванию способов разложения на множители, необходимых для решения каждого конкретного примера;
• воспитывающая: воспитание прилежания, самостоятельности, точности, аккуратности

Ход урока.

1. Орг. момент

  Тех, кто готов работу начать

  Улыбки свои я прошу показать!

  Все группы готовы? Тогда повторяем,

  Систематизируем, изучаем и обобщаем,

ИТАК, НАЧИНАЕМ!

2. Мотивация урока.

3. Актуализация опорных знаний.

Устные задания:

а) (а-)2=2-2b+b2

б) (+b)2=a2+2a+2

в) (m-)2=m2-16m+2

На предыдущем уроке вы сочли необходимым продолжить открытие способов разложения многочленов на множители. Я выписала различные алгебраические выражения. Проклассифицируйте их, пожалуйста, по способам разложения.

ax – ay;

a2 + 2ab + b2;

ac + bc – 2ab – 2bc;

10x2 + 10xy + 5x + 5y;

a2 – 2ab + b2;

a2 – 16;

a2 – b2;

a4b2 + ab3;

x2 + 4x + 4;

c2 + 2c + 1;

p2 – 4pq + 4q2;

a(m + n) +b(m + n);

x2 – 6x + 9.

1.Представьте в виде квадрата одночлена:  а10  ,   4а2в2;   0,01в12;  4/9с10к2;   0,0009х2у4;.

2.Выполните умножение: (в-8)(в+8);  (5а2-1)(5а2+1);  (-3с-2р3)(2р3+3с).

3.Вычислите: 19*21,    39*42.

4. Решение упражнений на разложение многочленов на множители с помощью формулы разности квадратов.

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

(а-в)(а+в)=а2-в2

Давайте запишем формулу (а-в)(а-в)= а2- в2

 -А в каком виде мы ее будем  применять? (Меняем местами правую и левую части).

–Итак, имеем а2-в2 = (а-в)(а+в). Это тождество называется формулой разности квадратов.

Прочитайте данное тождество. (Разность квадратов равна произведению разности двух выражений на их сумму)

-Для чего оно может быть применено? (Для быстрого счета, для разложения на множители).

Как найти значение выражения: 352-342? (Применить правило, формулу разности квадратов).

 352-342=(35-34)(35+34)=69.

Рассмотрим такой пример. Разложим на множители выражение 36-а2.

36-а2= 62- а2 = (6-а)(6+а).

49х2-16у6=(7х)2-(4у3)2=(7х-4у3)(7х+4у3)

Сформулируйте алгоритм разложения на множители:

1.Представить двучлен в виде разности квадратов.

2.Выполнить разложение по формуле а2-в2= (а-в)(а+в).

Решить № 695, 696, 708, 706, 718 (б).

5. Релаксация:

6. Самостоятельная работа.

Решить № 693 (1ст.).

1. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:

а) (m + n)2 + (m – n)2;

б) 2(а – 1)2 + 3(а – 2)2.

2. Выделите полный квадрат из многочлена:

а) m2 – 6m + 9;

б) 16 + 8р + р2.

в) (дополнительно) а2 + 1/2а + 4

7. Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Решить № 694, 707, 708 (г), 718 (а).

- Какую цель мы поставили в начале урока?

-Мы достигли цели?

-Какие знания, полученные ранее, нам позволили «открыть» новое знание?

-Проанализируйте результат своей работы.

Карточка для этапа рефлексии:                                                                                                                                                                                                                                                                                                    

1) Данная тема мне понятна.

2) Я хорошо понял правило____________________________________________

3) Я знаю, как пользоваться алгоритмом_____________________________________

4) Я сумею найти разность квадратов ________________________________________________________

5) В самостоятельной работе у меня всё получилось___________________________

6) Я понял алгоритм, но в самостоятельной работе на уроке допустил ошибки (перечислить)________________________________________

7) Я доволен своей работой на уроке________________________________________

Тема: Разложение на множители суммы и разности кубов.

Цели:

1. Образовательная - научить и закрепить умения и навыки учащихся по данной теме;

2. Развивающая - развитие умений преодолевать трудности при решении тождеств с использованием формул сокращенного умножения;

3. Воспитательная - воспитание у учащихся настойчивости, целеустремленности в учебе.

Ход урока.

1. Орг. момент

2. Мотивация урока.

Среди наук из всех главнейших
Важнейшая всего одна.
Учите алгебру, она глава наукам,
Для жизни очень всем нужна,

Когда достигнешь ты наук высоты,
Познаешь цену знаниям своим,
Поймешь, что алгебры красоты,
Для жизни будут кладом не плохим.

3. Актуализация опорных знаний

Математический диктант.

     1) Записать формулу квадрата разности двух чисел;

2. Дополнить определение: квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе … (плюс квадрат второго числа).
3. Записать формулу квадрата суммы двух чисел;
4. Записать удвоенное произведение чисел 5х и 7у;
5. Преобразовать выражение (3а – 4с)2 в многочлен стандартного вида.

Разложите на множители:

3(а+2b)-а(а+2b)

7х-7у+а(у-х)

ах+bх-а2-аb

3с2+15ас-2с-10а

4х2-9

1-49с2

4х2-9у6

1192-1092

а2-10аb+25b2

9х2+30ху+25у2

4. Изучение нового материала.

Разность кубов двух чисел (выражений) равна произведению разности этих чисел (выражении) на неполный квадрат их суммы;

  (а-b)(а2+аb+b2)= а3-b3

Сумма кубов двух чисел (выражений) равна произведению суммы этих чисел (выражений) на неполный квадрат их разности.

(а+b)(а2-аb+b2)= а3+b3

5. Закрепление нового материала.

Решить № 747, 748, 750, 758 (б), 760(а).

6. Самостоятельная работа.

Решить № 760 (б).

7. Рефлексия  результативности.

Оцени себя и сделай для себя вывод о пользе проведенного на уроке времени.

Оцените урок. На полях в конце записей поставьте оценку.

• Я  доволен уроком, мне очень понравилось, я всё понял(а).
• Мне понравился  урок, но в моих знаниях есть пробелы.
• Я не доволен уроком, ничего не понял(а) и как решать, я не знаю.

8. Итоги урока. Д/з.  Выучить п. 19. решить № 746, 749, 758 (а), 759 (а).

Цели:

1. Образовательная - закрепить умения и навыки учащихся по данной теме;

2. Развивающая - развитие умений преодолевать трудности при решении тождеств с использованием формул сокращенного умножения;

3. Воспитательная - воспитание у учащихся настойчивости, целеустремленности в учебе.

Ход урока.

1. Орг. момент

2. Мотивация урока.

Ребята, наш сегодняшний урок посвящен формулам сокращенного умножения.

Эпиграфом к  уроку я выбрала слова Софьи Ковалевской «У математиков существует свой язык - формулы».
 Формулы сокращенного умножения имеют широкое применение в математике. Их используют при решении уравнений, раскрытии скобок, разложении многочленов на множители, нахождении значений выражений.
Наша цель – систематизировать знания по теме «Формулы сокращенного умножения», показать знание этих формул и умение применять их в различных математических ситуациях.  А напутствием к уроку нам будут слова академика Александрова: «Мне бы хотелось, чтобы слово «формула» не означало для вас «формальность», чтобы вы творчески подходили к применению их на практике».

3. Актуализация опорных знаний

Проверка словесной формулировки формул сокращенного умножения

Работа в парах. У каждой пары имеется лист  с заданием  № 1. Установите принцип соответствия и заполните таблицу.

5. Закрепление материала по теме «Формулы сокращенного умножения».

Решить № 753(а, б, в), 754 (а, б, в), 756 (а, б), 777(а), 775 (а, б).

6. Релаксация

7. Самостоятельная работа.

Учащиеся работают в парах, находят ошибки,  в пустые клетки вписывают ошибку и правильный вариант.

8. Итоги урока. Д/з.

Решить № 752, 755, 759 (б), 777 (б).

Тема: Разложение многочленов на множители.

Цели урока:

- образовательные: отработать умения и навыки раскладывать многочлены на множители с помощью формул сокращенного умножения;

-развивающие – развитие коммуникативности, навыков само- и взаимоконтроля, математического и общего  кругозора, мышления, речи, внимания, памяти, умения анализировать, сравнивать, обобщать;

-воспитательные – формирование положительной мотивации и интереса к математике, потребности в  приобретении новых знаний; воспитание активности, умения общаться, сотрудничать и работать в парах, воспитание общей культуры.

   Ход урока.

1. Орг. момент

2. Мотивация урока.

Тема нашего урока сегодня: «Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращенного умножения». На протяжении многих уроков мы с вами изучали эти формулы и пришли к выводу, что с помощью формул сокращенного умножения можно совершать ряд алгебраических преобразований и делать их нужно очень осмотрительно. Мы еще раз увидим, какая удивительная сила заключается в формулах сокращенного умножения и как они работают при преобразовании выражений.

3. Актуализация опорных знаний, проверка д/з.                                                   

Графический диктант на повторение теоретического материала по теме.

Проверку знаний  теоретического материала проведём с помощью графического диктанта. Я буду зачитывать утверждения, вам необходимо выяснить: верно ли оно?  Если утверждение верное, вы в тетрадях ставите знак (да V), если не верно, то черту (нет ▬)

1. Многочленом называется  сумма одночленов.
2. Разложить многочлен на множители, значит представить этот многочлен в виде суммы более простых многочленов.  
3. Разность квадратов двух чисел (выражений) равна частному суммы этих чисел (выражений) на их разность.
4. Одинаковые одночлены или отличающиеся друг от друга только коэффициентами, называют подобными членами многочлена.  
5. В результате деления  многочлена на одночлен получается одночлен.
6. Существует только два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.
7.  Сумма кубов двух чисел (выражений) равна произведению суммы этих чисел (выражений) на полный квадрат их разности.

Проверка:  V ▬ ▬ V ▬ ▬ ▬

Цифровой диктант:  работа самостоятельная, по вариантам.

В течение трёх минут вам нужно будет определить истинность или ложность пяти равенств. Если  равенство верное, то вы ставите цифру 1- истина, если равенство неверное, то цифру 0 – ложь. В результате у вас появляется запись, состоящее из единиц и нулей.

Ключ ответов: 01001

4. Закрепление материала по теме «Формулы сокращенного умножения».

Решить № 790, 793, 796, 799.

Хочется напомнить, что на формулах сокращённого умножения основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме.

Попробуйте устно, возвести в квадрат число 71.

        71²=(70+1)²=4900+140+1=5041

       53²- 43² = 10 ּ 96=960

       79 ּ 81 =(80-1)(80+1)= 80²-1²=6400-1=6399

Эти знания могут помочь вам тогда, когда под рукой не оказалось калькулятора, в том числе и на экзамене.

5. Самостоятельная работа.

Заполни пропуски так, чтобы получились тождества:

(2x + y)2 = 4x2 + … + y2;

(3a2 + …)2 = … + 6a2b + b2;

(4x3 - …)2 =  … … … + y4;

(… - 9b4)2 = 4a2- … + …;

(-2y4 + …)2 = … - 4y4z2 + …;

9a2 - … = (3a + 2b)(3a – 2b);

16y4 - … = (3x + …)(… - 3x);

 (0,8у - …)(… +0,8y) =… - 0,25x6;

25m2 – 9n2 = (5m + 3n)(… - …).

6. Итоги урока. Д/з.

Решить № 791. 794,  795(а, б, в), 798  (а, б).

Тема: Разложение многочленов на множители.

Цели урока:

- образовательные: отработать умения и навыки раскладывать многочлены на множители, применяя различные способы;

-развивающие – развитие коммуникативности, навыков само- и взаимоконтроля, математического и общего  кругозора, мышления, речи, внимания, памяти, умения анализировать, сравнивать, обобщать;

-воспитательные – формирование положительной мотивации и интереса к математике, потребности в  приобретении новых знаний; воспитание активности, умения общаться, сотрудничать и работать в парах, воспитание общей культуры.

Ход урока.

1. Орг. момент

2. Мотивация урока.

Для разложения на множители многочлена мы применяли и вынесение общего множителя за скобки, и формулы сокращенного умножения и группировку слагаемых. Иногда удается разложить на множители, применяя несколько способов. Заметим, что нужно раскладывать, начиная с вынесения общего множителя за скобки.

 3. Актуализация опорных знаний, проверка д/з.                                                   

5х-5у

7а-14в

16х+4

27а8-а7

5в-50в2 

Поставь вместо звездочек выражение.

4а2-в2=(2а+*)(2а-*)

16у2-9х2=(*-3х)(*+3х)

25х2-0,16=(5х-*)(5х+*)

100а4-4в6=(10а2-*)(*+10а2)

121р10-к8=(*-к4)(*+к4)

Найди ошибку.

х3-х2= х (х-1)

5х2-20=5(х2-1)

8а3-8ав2=8 (а2-в2)= 8 (а-в)(а+в).

4. Решение примеров на разложение многочленов на множители, применяя различные способы.

Решить № 792, 797, 829, 802, 834 (а, б).

5. Зарядка для глаз.

Чтоб глаза твои зоркие были,

Чтоб в очках тебе не ходить,

Эти лёгкие движенья

Предлагаю повторить.

Вдаль посмотри и под ноги,

Вправо, влево побыстрей.

Удивимся, что такое?

И закроем их скорей.

А теперь по кругу быстро,

Словно стрелочка часов,

Проведём глазами дружно,

Ну, а дальше будь здоров!

6. Самостоятельная работа.

Заполни пропуски. Работа в парах.

1. ( 5 + • ) 2 = • + • + 81;
2. 47 2 – 37 2 = ( 47 - • )( • +37 );
3.     ( • - 3 )( • + 3 ) = а2 - •;
4. 612 = 3600 + • +1;
5.     712 + 292 + 2⋅71⋅29 =( • + • )2 = • 2   

 7. Итоги урока. Д/з.

Решить № 795 (в, г, е), 798 (в, г), 803, 828.

Тема: Разложение многочленов на множители.

Цели урока:

- образовательные: отработать умения и навыки раскладывать многочлены на множители, применяя различные способы;

-развивающие – развитие коммуникативности, навыков само- и взаимоконтроля, математического и общего  кругозора, мышления, речи, внимания, памяти, умения анализировать, сравнивать, обобщать;

-воспитательные – формирование положительной мотивации и интереса к математике, потребности в  приобретении новых знаний; воспитание активности, умения общаться, сотрудничать и работать в парах, воспитание общей культуры.

Ход урока.

1. Орг. момент

2. Мотивация урока.

Тема нашего урока сегодня: «Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращенного умножения». На протяжении многих уроков мы с вами изучали эти формулы и пришли к выводу, что с помощью формул сокращенного умножения можно совершать ряд алгебраических преобразований и делать их нужно очень осмотрительно. Мы еще раз увидим, какая удивительная сила заключается в формулах сокращенного умножения и как они работают при преобразовании выражений.

3. Актуализация опорных знаний, проверка д/з.                                                   

1). Для начала давайте вспомним, какие формулы сокращенного умножения существуют?

( квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов, куб суммы, куб разности, разность кубов, сумма кубов)

 2). Собрать и прочитать формулы (работа по карточкам)

 (а + в)²=а²+2ав+в²,     (а - в)²=а²-2ав+в²,    а² - в² =(а-в) (а+в),  а³ + в³ = (а+в) (а²-ав+в²),

 а³- в³ = (а-в) (а²+ав+в²).

3). Посмотрим, как применяются формулы сокращенного умножения.

Представить в виде многочлена (устно):                                                                                        

•   (х+6)²;                                 
•   (в³-2а) (в³+2а);                     
•   (4-с)²;                                        
•   (3х+у) (у-3х);                          
•   (2а+3в)²;                                    
•  (4а-5в)(16а²+20ав+25в²)                                                  
•   (2а+3)(4а²-6а+9);  

4) Повторить       алгоритм разложения на множители способом группировки:

• Объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде одночлена;
• Вынести этот общий множитель за скобки;
• Если получился общий множитель в виде многочлена, то вынесите его за скобки и задание считается выполненным. В противном случае слагаемые предстоит перегруппировать иным способом.    

4. Решение примеров на разложение многочленов на множители, применяя различные способы.

Решить № 805, 806, 809, 834 (в, г), 756 (в, г).

5. Физкультминутка.

6. Самостоятельная работа.

Заполнить пропуски 

    а) … - 16ав+… = (…-1)

    б) … - 4а = (…..)(3в+…)

    в) (…) - (…) = (3х-4у)(……………..)

    г) (5х + …)= … + … + 9

    д) … + 27 = (… + …)(4х - … + …)

7. Итоги урока. Д/з.

Решить № 757, 808, на 11 б.- 833(а, в).

Тема: Обобщение и систематизация знаний по теме «Формулы сокращенного умножения» Цели урока: 

• повторение пройденного материала; систематизация знаний; умений и навыков применения формул;
• развитие математических способностей и математического мышления, актуальных при работе с формулами сокращенного умножения.
• воспитание воли и настойчивости для достижения конечных результатов при использовании формул сокращенного умножения. 

Ход урока.

1. Орг. момент

2. Мотивация урока.

    Сегодня на уроке перед вами стоит задача – показать, как вы знаете формулы сокращенного умножения, как умеете их применять.

3. Актуализация опорных знаний, проверка д/з.                                                   

 Алгоритмы:

Вынесение общего множителя за скобки

Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов

• Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).

• Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.

• Произведение коэффициента и переменной, найденного на первом и втором шагах, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.

ПримерРазложить на множители:
-x4y3-2x3y2+5x2.

Вывод: за скобки можно вынести x2. Правда, в данном случае целесообразнее вынести -x2. Получим:    -x4y3-2x3y2+5x2=-x2(x2y3+2xу2-5).

Способ группировки

Алгоритм разложения на множители способом группировки:

    1) Объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде одночлена;

    2) Вынести этот общий множитель за скобки;

    3) Если получился общий множитель в виде многочлена, то вынесите его за скобки и задание считается выполненным. В противном случае слагаемые предстоит перегруппировать иным способом.

Формулы сокращенного умножения

Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения

Вспомните эти формулы:

a2-b2=(a-b)(a+b);

a2+2ab+b2=(a+b)2;

a2-2ab+b2=(a-b)2,

а³ + в³ = (а+в) (а²-ав+в²),

а³- в³ = (а-в) (а²+ав+в²)

Верно ли равенство (устно)

    а) (0,04-b)(0,04+b)=0,016-b

    б) 1+х+х=(1+х)

    в) 25х+40х4у+16у=(5х+4у)

    г) (3-а)(3+а)=3-а

    д) (2-а)(4+2а+а)=8+а

4. Решение упражнений на применение формул сокращенного умножения

5. Физминутка.

Вычислите устно. При отрицательном ответе руки поднять вверх, при положительном - руки развести в стороны.

6. Самостоятельная работа.

Тест:

1. Упростить выражение: 6а+(4а-3)²

А. 16а²+30а+9              В. 16а²-30а+9               Б. 16а²-18а+9                Г. 16а²+18а+9  

 2.  Упростить выражение: (а+0,3в)(0,3в-а)

А. 0,9в² - а²                 В. 0,09в²+а²           Б.  0,09в² - а²               Г. а²-0,09в²

 3.  Решить уравнение:  (3х + 4)2 – (3х – 1) (3х + 1) = 65

 4. Упростить выражение: (а-0,3)(а²+0,3а+0,09)

 А. а³-0,27               В.  а³+0,27               Б.  а³-0,027             Г.  а³+0,027.

7. Решение заданий повышенной сложности.

1) Докажите, что выражение(5m-2)(5m+2)-(5m-4) 2-40m не зависит от значения переменной.

(5m-2)(5m+2)-(5m-4) 2-40m=25m-24-(25m2+16-40m)-40m=25m2-4-25m2-16+40m-40m=-20

2) Решите задачу, выделив три этапа математического моделирования.

Найдите три последовательных натуральных числа, если известно, что квадрат большего из них на 37 больше произведения двух других чисел.

Решение:

(x+2) 2 больше x(x+1) на 37, составим и решим уравнение:

(x+2) 2-x(x+1)=37

x2+4x+4-x2-x=37

3x=37-4

3x=33

x=11

11- 1 число, 12- 2 число, 13- 3 число.

Ответ: 11, 12, 13.

8. Итоги урока. Рефлексия. Д/З.

Заверши фразу в соответствии с твоим настроением на данный момент.

Тема: Контрольная работа по теме «Формулы сокращенного умножения».

Цели:

        1.    Проверить знания, умения и навыки учащихся  по теме «Формулы сокращенного умножения».

        2.    Развивать внимание, логическое мышление, письменную математическую речь;

        3.    Воспитывать  самостоятельность, трудолюбие.

Ход урока

1.Организационный момент.

2.Мотивация урока.

3. Контрольная работа

4. Итоги урока.

Повторить п.18-20.