Презентация к уроку алгебры (10 класс) "Предел последовательности"
презентация к уроку по алгебре (10 класс)

Слайд 1

Слайд 2

Определение 1. Функцию вида у= f ( х ) , х ϵ Ν называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают у = f ( n ) или у 1 , у 2 , у 3 ,…, у n ,…, или (у n ). (а n ) – последовательность а 1 ; а 2 ; а 3 ;…. а n - члены последовательности Первый n- ый член послед. член послед. Последовательность

Слайд 3

Словесный способ. Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет. Способы задания числовой последовательности Пример 1. Последовательность простых чисел: 2 ,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,… . Пример 2 . Произвольный набор чисел: 1,4,12,25,26,33,39 ,… . Пример 3. Последовательность четных чисел: 2 , 4,6,8,10,12,14,16 ,… .

Слайд 4

2. Аналитический способ. Любой n - й элемент последовательности можно определить с помощью формулы. Способы задания числовой последовательности Пример 1. Последовательность четных чисел: у = 2 n . Пример 2 . Последовательность квадратов натуральных чисел: у = n² . Пример 3. Стационарная последовательность: у = С С, С, С, С,…,С,… Пример 4. Последовательность у = n² - 3 n – 2, -2,0,4,10,… Пример 5. Последовательность у = 2 ⁿ 2, 2²,2³,…,2 ⁿ ,…

Слайд 5

3. Рекуррентный способ. Указывается правило, позволяющее вычислить n - й элемент последовательности, если известен ее предыдущий элемент. Способы задания числовой последовательности Пример 1. a 1 = 3 a n+1 = a 1 =3 a 3 = 9 2 = 81 a 2 = 3 2 = 9 a 4 = 81 2 = 6561 Пример 2. Арифметическая прогрессия а n +1 = а n + d , d - разность арифметической прогрессии. Пример 3. Геометрическая прогрессия b n +1 = b n q , q – знаменатель геометрической прогрессии.

Слайд 6

Продолжите ряд: 1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, 7, 9, 6 … Продолжите ряд 77, 49, 36, 18 … Ответ: Перемножаются две цифры, входящие в предыдущее число Ответ: Ряд состоит из двух частей: числа на нечетных местах: 1, 3, 5, 7, 9...; числа на четных местах: 10, 9, 8, 7 Примеры последовательностей .

Слайд 7

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610… Числа Фибоначчи. Элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Леонардо Фибоначчи - итальянский математик. ( родился около 1170 — умер после 1228), Последовательность Фибоначчи рекуррентно задать легко, а аналитически – трудно.

Слайд 8

Определение 2. Последовательность ( у n ), называют ограниченной сверху , если все ее члены не больше некоторого числа. Последовательность ( у n ) ограничена сверху , если существует число М такое, что для любого n выполняется неравенство у n ≤ М . Число М называют верхней границей последовательности . Например : -1, -4, -9, -16,…, - n² ,… Верхняя граница - -1

Слайд 9

Определение 3 . Последовательность ( у n ), называют ограниченной снизу , если все ее члены не меньше некоторого числа. Последовательность ( у n ) ограничена снизу , если существует число m такое, что для любого n выполняется неравенство у n ≥ m . Число m называют верхней границей последовательности . Например : 1, 4, 9, 16 ,…, n² ,… Нижняя граница - 1

Слайд 10

Если последовательность ограничена и снизу и сверху, то ее называют ограниченной последовательностью . Ограниченность последовательности означает, что все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку.

Слайд 11

Члены последовательности (у n ) как бы «сгущаются» около точки 0. Говорят последовательность (у n ) сходится . У последовательности (у n ) такой «точки сгущения» нет. Говорят последовательность (у n ) расходится .

Слайд 12

Определение 6. Число b называют пределом последовательности (у n ), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Читают : предел последовательности (у n ) при стремлении n к бесконечности равен b или предел последовательности (у n ) равен b .

Слайд 13

Понятие предела числовой последовательности геометрически «окрестность»: интервал ( а – r ; а + r ) называется окрестностью точки а , а число r – радиусом окрестности . Если |q| > 1, то последовательность у n = qⁿ расходится. Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности lim C = C

Слайд 14

Свойства сходящихся последовательностей . Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу. Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена. Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится. ( теорема Вейерштрасса).

Слайд 15

«ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ». Теорема Если lim x n = b , lim y n = c , то предел суммы равен сумме пределов: lim ( x n + y n ) = b + c ; предел произведения равен произведению пределов: lim ( x n y n ) = bc ; предел частного равен частному пределов: lim = , c ≠ 0 ; постоянный множитель можно вынести за знак предела: lim ( kx n ) = kc .

Слайд 16

Внимание! Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение.