Презентация.Алгебра 11 класс. Предел последовательности.
презентация к уроку по алгебре (11 класс) по теме

Слайд 1

Предел последовательности. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : А45 учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. — 2-е изд. — М. : Просвещение, 2010.— 336 с. Урок 1. МБОУ СОШ №103. г.Нижнего Новгорода. Учитель : Лукьянова Е.Ю.

Слайд 2

Цели урока: ввести понятие предела последовательности; рассмотреть свойства сходящихся последовательностей.

Слайд 3

Числовые последовательности Кратко последовательность обозначают символом {Х n } или (Х n ), при этом Х n называют членом или элементом этой последовательности, n —номером члена Х n . Числовая последовательность —это функция, область определения которой есть множество N всех натуральных чисел. Множество значений этой функции, т. е. совокупность чисел Х n, n € N, называют множеством значений последовательности. Множество значений последовательности может быть как конечным, так и бесконечным.

Слайд 4

Множество значений последовательности {(-1)"} состоит из двух чисел 1 и -1, а множества значений последовательностей { n ² } и {1/n} — бесконечны. Последовательность, у которой существует предел, называют сходящейся . Последовательность, не являющуюся сходящейся, называют расходящейся ; иначе говоря, последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом.

Слайд 5

Предел числовой последовательности. Рассмотрим две числовые последовательности: : 2, 4, 6, 8, 10, …, ,…; : 1, , , , , … , … Изобразим члены этих последовательностей точками на координатных прямых. Обратите внимание как ведут себя члены последовательности.

Слайд 6

Замечаем, что члены последовательности как бы «сгущаются» около точки 0, а у последовательности таковой точки не наблюдается. Но, естественно, не всегда удобно изображать члены последовательности, чтобы узнать есть ли точка «сгущения» или нет.

Слайд 7

Определение 1. Пусть a - точка прямой, а r - положительное число. Интервал (a-r, a+r ) называют окрестностью точки a , а число r - радиусом окрестности . Геометрически это выглядит так:

Слайд 8

Теперь можно перейти к определению точки «сгущения», которую математики назвали « пределом последовательности ». Например: (-0.1, 0.5) – окрестность точки 0.2, радиус окрестности равен 0. 3.

Слайд 9

Определение 2 . Число называют пределом последовательности , если в любой заранее выбранной окрестности точки содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Пишут: . Читают: стремится к . Либо пишут: . Читают: предел последовательности при стремлении к бесконечности равен .

Слайд 10

Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Последовательность, у которой существует предел, называют сходящейся . Последовательность, не являющуюся сходящейся, называют расходящейся ; иначе говоря, последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом.

Слайд 11

Теорема 1 Если последовательность { X n } является возрастающей(или неубывающей) и ограничена сверху, т. е. X n≤M для всех n , то она имеет предел. Теорема 2 Если последовательность { X n } является убывающей (или невозрастающей) и ограничена снизу, т. е. X n ≥ M для всех n , то она имеет предел.

Слайд 12

Пример: Существует ли номер , начиная с которого все члены последовательности попадают в окрестность точки радиуса , если 1. Решение.

Слайд 13

Определение: Число a называют пределом числовой последовательности a 1 , a 2 , … a n , … если для любого положительного числа ε найдется такое натуральное число N , что при всех n > N выполняется неравенство | a n – a | < ε . Условие того, что число a является пределом числовой последовательности a 1 , a 2 , … a n , … , записывают с помощью обозначения и произносят так: «Предел a n при n , стремящемся к бесконечности, равен a ».

Слайд 14

Пример 1 . Для любого числа k > 0 справедливо равенство: Пример 2 . Для любого числа k > 0 справедливо равенство: Пример 3 . Для любого числа a такого, что | a | < 1, справедливо равенство: Пример 4 . Для любого числа a такого, что | a | > 1, справедливо равенство: Пример 5 . Последовательность: – 1 , 1 , – 1 , 1 , … , заданная с помощью формулы общего члена a n = (– 1) n , предела не имеет. Предел числовой последовательности

Слайд 15

На уроке: №1(1,3), №4(1)

Слайд 16

Домашнее задание. §1стр. 44 №1(2,4) №2(2,4,6) №4(2)

Слайд 17

Предел последовательности. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : А45 учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. — 2-е изд. — М. : Просвещение, 2010.— 336 с. Урок 2. МБОУ СОШ №103. г.Нижнего Новгорода. Учитель : Лукьянова Е.Ю.

Слайд 18

Цель урока. Рассмотреть свойства пределов числовых последовательностей; Сформировать умения вычисления пределов.

Слайд 19

Свойства пределов числовых последовательностей Рассмотрим две последовательности a 1 , a 2 , … a n , … , и b 1 , b 2 , … b n , … . Если при существуют такие числа a и b , что и , то при существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем

Слайд 20

Если, выполнено условие, то при существует предел дроби

Слайд 21

Пример 6 . Найти предел последовательности

Слайд 22

Решение . Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней : Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 3 , получаем Ответ .

Слайд 23

Пример 7 . Найти предел последовательности

Слайд 24

Решение . Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1 , получаем Ответ .

Слайд 25

Пример 8 . Найти предел последовательности

Слайд 26

Решение . Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю: : Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в каждой из скобок знаменателя дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1 , получаем

Слайд 27

Ответ .

Слайд 28

Пример 9 . Найти предел последовательности

Слайд 29

Решение . В рассматриваемом примере неопределенность типа возникает за счет разности двух корней, каждый из которых стремится к . Для того, чтобы раскрыть неопределенность, домножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов» . .

Слайд 30

Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1 , получаем Ответ .

Слайд 31

Пример 10 . Найти предел последовательности

Слайд 32

Решение . Замечая, что для всех k = 2, 3, 4, … выполнено равенство , получаем Ответ . 1 .

Слайд 33

На уроке: №5(1,3,5) №6(1,3)

Слайд 34

Домашнее задание: №5(2,4,6) №6(2,4),стр.52

Слайд 35

Практические задания 1. Запишите окрестность точки радиуса в виде интервала, если: 2. Окрестностью какой точки и какого радиуса является интервал: 3. Принадлежит ли точка окрестности точки радиуса , если:

Слайд 36

Итоговое практическое задание Существует ли номер , начиная с которого все члены последовательности попадают в окрестность точки радиуса : 2. Постройте график последовательности и составьте, если это возможно, уравнение горизонтальной асимптоты графика:

Слайд 37

Итоговое практическое задание 3. Найдите - й член геометрической прогрессии , если: 4. Вычислить:

Слайд 38

Важно! Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение.

Слайд 39

Рефлексия : (Обучающиеся ставят звезду на картинку, которая соответствует их усвоению материала и внутреннему восприятию урока (Эффект множественного клонирования)) узнал новое буду использовать расскажу друзьям было интересно

Слайд 40

Итог урока. - Сегодня на уроке мы познакомились с понятием предела числовой последовательности, правилами вычисления пределов последовательностей.