Выполнение действий над комплексными числами
план-конспект урока по алгебре (10 класс)

Практическое занятие

«Выполнение действий   над комплексными числами»

Цель работы:

студент должен:

знать:

• алгебраическую форму комплексного числа;
• тригонометрическую форму комплексного числа;

уметь:

• выполнять действия над комплексными числами, представленными в различных формах.

Сведения из теории:

Алгебраическая форма комплексного числа

Обозначим  и назовём мнимой единицей, (). Тогда число вида  где  - любые действительные числа, назовём комплексным числом.

Здесь а - называют действительной частью комплексного числа,  - называют мнимой частью, b - коэффициентом мнимой части комплексного числа.

Действия над комплексными числами, представленными в алгебраической форме

Пусть даны два числа  и .

Для этих чисел понятия равенство и действия сложения, умножения определены следующим образом:

1. Два комплексных числа называются равными, если равны их действительная и мнимая части, т. е. а1=а2, b1=b2.
2. Суммой двух комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число .
3. Произведением двух комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число .
4. Модулем комплексного числа называется длина вектора соответствующего этому комплексному числу на плоскости и вычисляется по формуле: .
5. Аргументом комплексного числа называется угол, образованный вектором с положительным направлением действительной оси и вычисляется по формуле: . Т. о. для каждого комплексного числа можно указать бесконечное множество аргументов.

Для нахождения аргумента необходимо:

1. Определить в какой координатной четверти находится комплексное число.
2. Найти в этой четверти угол решив уравнение:

.

Пример 7.

Решите квадратное уравнение: .

Решение:

вычислим корни квадратного уравнения через дискриминант:

Получена пара взаимно - сопряжённых комплексных чисел  где

Заметим, что всякое алгебраическое уравнение степени n имеет ровно n корней, среди которых могут быть как действительные (различные или равные), так и комплексные (обязательно попарно взаимно – сопряжённые) корни.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Запись комплексного числа в виде  называется тригонометрической формой комплексного числа.

Действия над комплексными числами, представленными в тригонометрической форме

Над комплексными числами в тригонометрической форме выполняются действия умножения, деления, возведения в степень и извлечение корня n-ой степени.

Пусть даны два числа  и , тогда:

1) Произведением комплексных чисел называется комплексное число, которое вычисляется по формуле: .

2) Частным комплексных чисел называется комплексное число, которое вычисляется по формуле: .

3) Для возведения в степень: .

Пример 8.

Упростите: .

Решение:

упростим дробь (понизим степень числителя и знаменателя), используя ():

.

Подставим полученные выражения в исходную дробь и преобразуем её:

.

Пример 9.

Вычислите: .

Решение:

для первого комплексного числа используем формулу возведения в степень, а затем воспользуемся формулой произведения комплексных чисел:

Для извлечения корня n-й степени из комплексного числа  используется формула:

,

где - арифметический корень, .

Пример 10.

Решите уравнение: х2-2х+10=0.

Решение:

для решения воспользуемся обычными формулами вычисления корней квадратных уравнений:

Получили пару комплексных взаимно сопряженных корней.

Задания для самостоятельного решения:

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение алгебраической форме комплексного числа.
2. Перечислите действия над комплексными числами, представленными в алгебраической форме.
3. Дайте определение тригонометрической форме комплексного числа.
4. Перечислите действия над комплексными числами, представленными в тригонометрической форме.