Действия над комплексными числами
план-конспект урока по алгебре по теме
Предварительный просмотр:
ВТЖТ – филиал РГУПС
Методическая разработка
занятия по теме:
«Действия над комплексными числами»
Преподаватель ВТЖТ – филиала РГУПС:
Марченко Любовь Евгеньевна
2013 г.
План занятия
Учебная дисциплина | Математика |
Тема занятия по КТП | Действия над комплексными числами |
Тип занятия | Практическое |
Цели занятия: | |
образовательные |
|
развивающие |
|
воспитательные |
|
Формы работы: |
|
Оборудование: |
|
Ход занятия.
- Организационный момент. Приветствие. Проверка домашнего задания (сдача работ преподавателю) (3 мин).
- Постановка целей занятия (3 мин).
Сегодня на занятии мы с Вами продолжим знакомство с комплексными числами.
Как писал немецкий математик, физик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц:
«Комплексное число – это тонкое и поразительное средство божественного духа, почти амфибия между бытием и небытием».
Мы же попытаемся снять дух мистики, привнесенный Лейбницем, да и другими математиками, в математическую науку.
Итак, наши цели:
1) актуализировать, обобщить и систематизировать знания, умения и навыки о комплексных числах, полученные на прошлом занятии;
2) формировать навыки выполнения алгебраических действий над комплексными числами.
- Актуализация опорных знаний (7 мин).
Перед Вами лежит контрольный лист, который Вам необходимо будет заполнять в ходе выполнения практических заданий. В конце мы подведем итог вашей работе.
Контрольный лист
Фамилия, имя студента __________________________
Группа _________________
Карточка _____
Задания | Ответы | Сумма баллов | ||||||||||
1. | Задание «Да – Нет» | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||||||
2. | Название чисел | |||||||||||
3. | Имя ученого | |||||||||||
4. | Год открытия | |||||||||||
5. | Термин (кроссворд) | |||||||||||
Итого: |
Прежде чем приступать к изучению чего-то нового, освежим уже известные нам факты о комплексных числах. И сделаем мы это при помощи задания, оно расположено перед Вами. На карточке написано пять высказываний о комплексных числах. Ваша задача – определить истинное оно или ложное. Если вы согласны с высказыванием, в соответствующей таблице в контрольном листе напротив номера высказыванием записываете слово «ДА», в противном случае – «НЕТ». На выполнение задания Вам отводится 5 минут.
Карточка 1 1. Сопряженным для действительного числа является само это число. 2. Если комплексное число задано в виде , то число 2 называют мнимой частью числа . 3. Число 0 не является комплексным. 4. Число называют сопряженным числу . 5. У комплексного числа , . | Карточка 2 1. Модулем комплексного числа называют число . 2. Число, сопряженное , это само число . 3. У комплексного числа мнимая часть равна нулю. 4. Действительная и мнимая части комплексного числа соответственно равны 3 и 2. 5. Число – 6 не является комплексным. | Карточка 3 1. Действительная и мнимая части комплексного числа соответственно равны 11 и – 5. 2. Число является комплексным. 3. Мнимые части сопряженных чисел отличаются только знаками. 4. Модулем комплексного числа является . 5. Если является действительным, то . |
Карточка 4 1. Модулем комплексного числа является . 2. Число является комплексным. 3. Для числа сопряженным является число . 4. У комплексного числа действительная часть равна нулю. 5. Действительная и мнимая части комплексного числа соответственно равны 1 и 0. | Карточка 5 1. Сопряженным для числа является само это число. 2. Число 5,7 – комплексное. 3. Действительная и мнимая части комплексного числа соответственно равны и 2. 4. Если комплексное число задано в виде , то число 7 называют мнимой частью числа . 5. Модулем комплексного числа называют число . | Карточка 6 1. Сопряженным для действительного числа является само это число. 2. Если комплексное число задано в виде , то число 2 называют мнимой частью числа . 3. Число 0 не является комплексным. 4. Число называют сопряженным числу . 5. У комплексного числа , . |
Карточка 7 1. Модулем комплексного числа называют число . 2. Число, сопряженное , это само число . 3. У комплексного числа мнимая часть равна нулю. 4. Действительная и мнимая части комплексного числа соответственно равны 3 и 2. 5. Число – 6 не является комплексным. | Карточка 8 1. Действительная и мнимая части комплексного числа соответственно равны 11 и – 5. 2. Число является комплексным. 3. Мнимые части сопряженных чисел отличаются только знаками. 4. Модулем комплексного числа является . 5. Если является действительным, то . | Карточка 9 1. Модулем комплексного числа является . 2. Число является комплексным. 3. Для числа сопряженным является число . 4. У комплексного числа действительная часть равна нулю. 5. Действительная и мнимая части комплексного числа соответственно равны 1 и 0. |
Карточка 10 1. Сопряженным для числа является само это число. 2. Число 5,7 – комплексное. 3. Действительная и мнимая части комплексного числа соответственно равны и 2. 4. Если комплексное число задано в виде , то число 7 называют мнимой частью числа . 5. Модулем комплексного числа называют число . | Карточка 11 1. Сопряженным для действительного числа является само это число. 2. Если комплексное число задано в виде , то число 2 называют мнимой частью числа . 3. Число 0 не является комплексным. 4. Число называют сопряженным числу . 5. У комплексного числа , . | Карточка 12 1. Модулем комплексного числа называют число . 2. Число, сопряженное , это само число . 3. У комплексного числа мнимая часть равна нулю. 4. Действительная и мнимая части комплексного числа соответственно равны 3 и 2. 5. Число – 6 не является комплексным. |
Карточка 13 1. Действительная и мнимая части комплексного числа соответственно равны 11 и – 5. 2. Число является комплексным. 3. Мнимые части сопряженных чисел отличаются только знаками. 4. Модулем комплексного числа является . 5. Если является действительным, то . | Карточка 14 1. Модулем комплексного числа является . 2. Число является комплексным. 3. Для числа сопряженным является число . 4. У комплексного числа действительная часть равна нулю. 5. Действительная и мнимая части комплексного числа соответственно равны 1 и 0. | Карточка 15 1. Сопряженным для числа является само это число. 2. Число 5,7 – комплексное. 3. Действительная и мнимая части комплексного числа соответственно равны и 2. 4. Если комплексное число задано в виде , то число 7 называют мнимой частью числа . 5. Модулем комплексного числа называют число . |
Карточка 16 1. Сопряженным для действительного числа является само это число. 2. Если комплексное число задано в виде , то число 2 называют мнимой частью числа . 3. Число 0 не является комплексным. 4. Число называют сопряженным числу . 5. У комплексного числа , . | Карточка 17 1. Модулем комплексного числа называют число . 2. Число, сопряженное , это само число . 3. У комплексного числа мнимая часть равна нулю. 4. Действительная и мнимая части комплексного числа соответственно равны 3 и 2. 5. Число – 6 не является комплексным. | Карточка 18 1. Действительная и мнимая части комплексного числа соответственно равны 11 и – 5. 2. Число является комплексным. 3. Мнимые части сопряженных чисел отличаются только знаками. 4. Модулем комплексного числа является . 5. Если является действительным, то . |
Карточка 19 1. Модулем комплексного числа является . 2. Число является комплексным. 3. Для числа сопряженным является число . 4. У комплексного числа действительная часть равна нулю. 5. Действительная и мнимая части комплексного числа соответственно равны 1 и 0. | Карточка 20 1. Сопряженным для числа является само это число. 2. Число 5,7 – комплексное. 3. Действительная и мнимая части комплексного числа соответственно равны и 2. 4. Если комплексное число задано в виде , то число 7 называют мнимой частью числа . 5. Модулем комплексного числа называют число . | Карточка 21 1. Сопряженным для действительного числа является само это число. 2. Если комплексное число задано в виде , то число 2 называют мнимой частью числа . 3. Число 0 не является комплексным. 4. Число называют сопряженным числу . 5. У комплексного числа , . |
Карточка 22 1. Модулем комплексного числа называют число . 2. Число, сопряженное , это само число . 3. У комплексного числа мнимая часть равна нулю. 4. Действительная и мнимая части комплексного числа соответственно равны 3 и 2. 5. Число – 6 не является комплексным. | Карточка 23 1. Действительная и мнимая части комплексного числа соответственно равны 11 и – 5. 2. Число является комплексным. 3. Мнимые части сопряженных чисел отличаются только знаками. 4. Модулем комплексного числа является . 5. Если является действительным, то . | Карточка 24 1. Модулем комплексного числа является . 2. Число является комплексным. 3. Для числа сопряженным является число . 4. У комплексного числа действительная часть равна нулю. 5. Действительная и мнимая части комплексного числа соответственно равны 1 и 0. |
Карточка 25 1. Сопряженным для числа является само это число. 2. Число 5,7 – комплексное. 3. Действительная и мнимая части комплексного числа соответственно равны и 2. 4. Если комплексное число задано в виде , то число 7 называют мнимой частью числа . 5. Модулем комплексного числа называют число . | Карточка 26 1. Сопряженным для действительного числа является само это число. 2. Если комплексное число задано в виде , то число 2 называют мнимой частью числа . 3. Число 0 не является комплексным. 4. Число называют сопряженным числу . 5. У комплексного числа , . | Карточка 27 1. Модулем комплексного числа называют число . 2. Число, сопряженное , это само число . 3. У комплексного числа мнимая часть равна нулю. 4. Действительная и мнимая части комплексного числа соответственно равны 3 и 2. 5. Число – 6 не является комплексным. |
Карточка 28 1. Действительная и мнимая части комплексного числа соответственно равны 11 и – 5. 2. Число является комплексным. 3. Мнимые части сопряженных чисел отличаются только знаками. 4. Модулем комплексного числа является . 5. Если является действительным, то . | Карточка 29 1. Модулем комплексного числа является . 2. Число является комплексным. 3. Для числа сопряженным является число . 4. У комплексного числа действительная часть равна нулю. 5. Действительная и мнимая части комплексного числа соответственно равны 1 и 0. | Карточка 30 1. Сопряженным для числа является само это число. 2. Число 5,7 – комплексное. 3. Действительная и мнимая части комплексного числа соответственно равны и 2. 4. Если комплексное число задано в виде , то число 7 называют мнимой частью числа . 5. Модулем комплексного числа называют число . |
Ответы:
Карточка 1, 6, 11, 16, 21, 26: Да, Да, Нет, Нет, Да.
Карточка 2, 7, 12, 17, 22, 27: Да, Да, Нет, Нет, Нет.
Карточка 3, 8, 13, 18, 23, 28: Нет, Да, Да, Нет, Да.
Карточка 5, 10, 15, 20, 25, 30: Да, Да, Да, Нет, Нет.
Ответ впишите в строку № 1 контрольного листа.
- Изучение нового материала (40 мин).
Правило каждого действия над комплексными числами выводится из определения этого действия. Определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы согласовались с правилами действий над действительными числами.
Начнем с действия «СЛОЖЕНИЕ».
1. Сложение комплексных чисел (7 мин).
Определение. Суммой комплексных чисел и называют комплексное число .
Определение соответствует правилам действий с многочленами.
Рассмотрим пример: и .
Решение:
Задания: Найти , если: Ответы:
1) и ; 1) ;
2) и ; 2) ;
3) и ; 3) ;
4) и . 4) .
2. Вычитание комплексных чисел (6 мин).
Определение. Разностью комплексных чисел и называют комплексное число .
Определение соответствует правилам действий с многочленами.
Рассмотрим пример: и .
Решение:
Задания: Найти , если: Ответы:
1) и ; 1) ;
2) и ; 2) ;
3) и . 3) .
3. Умножение комплексных чисел (8 мин).
Определение. Произведением комплексных чисел и называют комплексное число .
На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены.
Пример: и .
Решение:
Задания: Найти , если: Ответы:
1) и ; 1) ;
2) и ; 2) ;
3) и . 3) .
4. Деление комплексных чисел (10 мин).
Для того чтобы разделить комплексное число на число необходимо числитель и знаменатель полученной дроби домножить на число, сопряженное знаменателю, .
Рассмотрим данное правило на примере: и .
Решение: .
Задания: Найти , если: Ответы:
1) и ; 1) ;
2) и . 2) .
5. Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом (9 мин).
Рассмотрим пример: .
Решение: . Преобразуем дискриминант .
Находим корни уравнения:
; .
Заметим, что корни уравнения в случае отрицательного дискриминанта получаются комплексно-сопряженные.
Задания: Решите уравнение: Ответы:
1) ; 1) ; .
2) . 2) ; .
5. Практическая работа (30 мин).
На прошлых занятиях мы знакомились историей развития понятия числа. Напомним некоторые сведения.
Древнегреческие математики считали «настоящими» только натуральные числа.
Наряду с натуральными числами применяли дроби – числа, составленные из целого числа долей единицы.
Введение отрицательных чисел было сделано китайскими математиками за два века до н. э.
Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения – положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя.
В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.
В формуле для решения кубических уравнений вида: кубические и квадратные корни:
Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень, а если оно имеет три действительных корня, то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.
Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений
не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида
, .
нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что
.
Вопрос 1. Как Дж. Кардано назвал такие величины? Для ответа на вопрос найдите сумму корней следующего квадратного уравнения:
. (Ответ: Чисто отрицательные).
Настоящие | Чисто отрицательные | Лживые |
0 | – 1 | 1 |
Ответ впишите в строку № 2 контрольного листа.
Уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.
Такие числа назвали в 1637 году «мнимые числа».
Вопрос 2. Какой ученый ввел данное понятие? Для ответа на вопрос выполните действие , если и . (Ответ: Р. Декарт).
К. Гаусс | Дж. Кардано | Р. Декарт |
Один из крупнейших математиков – Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году.
Ответ впишите в строку № 3 контрольного листа.
Вопрос 3. В каком году Л. Эйлер ввел букву для обозначения мнимой единицы? Для ответа на вопрос выполните действия. Ответы, полученные в ходе решения, и составят год открытия. (Ответ: 1777 год).
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Ответ впишите в строку № 4 контрольного листа.
Слово комплекс (от лат. complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.
После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании «гиперкомплексных» чисел – чисел с несколькими «мнимыми» единицами. Такую систему построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон.
.
Вопрос 4.
После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании «гиперкомплексных» чисел – чисел с несколькими «мнимыми» единицами. Такую систему построил в 1843 году ирландский математик Уильям Гамильтон. Как назвал он гиперкомплексные числа? Для ответа на вопрос необходимо разгадать кроссворд. Полученное по вертикали слово и есть ответ на данный вопрос.
1. | ||||||||||||||||||||
2. | ||||||||||||||||||||
3. | ||||||||||||||||||||
4. | ||||||||||||||||||||
5. | ||||||||||||||||||||
6. | ||||||||||||||||||||
7. | ||||||||||||||||||||
8. | ||||||||||||||||||||
9. | ||||||||||||||||||||
10. |
1. Раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства.
2. Равенство, верное при любых значениях переменных
3. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
4. Одна сотая доля.
5. Натуральное число, стоящее под знаком обыкновенной дроби.
6. Результат умножения.
7. Символ, обозначающий какое-то число в алгебраическом выражении.
8. Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности.
9. Оценка отклонения измеренного значения величины от её истинного значения.
10. Математический символ, обозначающий вычитание.
Ответы на кроссворд:
1.А | Р | И | Ф | М | Е | Т | И | К | А | |||||||||||
2.Т | О | Ж | Д | Е | С | Т | В | О | ||||||||||||
3.П | А | Р | А | Л | Л | Е | Л | О | Г | Р | А | М | М | |||||||
4.П | Р | О | Ц | Е | Н | Т | ||||||||||||||
5.З | Н | А | М | Е | Н | А | Т | Е | Л | Ь | ||||||||||
6.П | Р | О | И | З | В | Е | Д | Е | Н | И | Е | |||||||||
7.П | Е | Р | Е | М | Е | Н | Н | А | Я | |||||||||||
8.Р | А | Д | И | У | С | |||||||||||||||
9.П | О | Г | Р | Е | Ш | Н | О | С | Т | Ь | ||||||||||
10.М | И | Н | У | С |
Ответ впишите в строку № 5 контрольного листа.
Комплексные числа, несмотря на их «лживость» и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии.
6. Подведение итогов работы. Выставление оценок (7 мин).
Вот и подходит к концу наше занятие. Подведем итоги нашей работы.
Задания | Ответы | Сумма баллов | ||||||||||
1. | Задание «Да – Нет» | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 5 | |||||
Да | Нет | Да | Нет | Да | ||||||||
2. | Название чисел | Чисто отрицательные | 1 | |||||||||
3. | Имя ученого | Р. Декарт | 1 | |||||||||
4. | Год открытия | 1 | 7 | 7 | 7 | 4 | ||||||
5. | Термин (кроссворд) | к | в | а | т | е | р | н | и | о | н | 10 |
Итого: | 21 |
Оценка за занятие
20-21 балл | отлично |
16-19 баллов | хорошо |
10-15 баллов | удовлетворительно |
Менее 10 баллов | неудовлетворительно |
Домашнее задание. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, Гл.14, §2, №23,25,26 (чет).
Рефлексия.
Вопросы:
- Что нового Вы узнали на занятии?
- Какое задание показалось Вам наиболее легким, интересным, затруднительным?
Список используемой литературы:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа,2007.
- Богомолов, Н.В. Сборник задач по математике: Учеб. Пособие для техникумов. М.: Дрофа, 2008.
- Башмаков, М.И. Математика (базовый уровень) 10 - 11 Академия, 2008.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
"Алгебраические действия над комплексными числами"
Исследование истории возникновения чисел актуально в современном мире, и очень важно для нашего развития, так как в настоящее время наше общество постоянно пользуется числами.Данный урок способс...
Комплексные числа. Лекция 4. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме записи.
Опорный конспект для студентов СПО технических специальностей по дисциплине "Математика". раздел 1. Алгебра...
Конспект урока "Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраичесой форме"
На уроке рассматривается необходимость врзникновения комплексных чисел. Дествия с комплексными числами и решение квадратных уравненмй с использованем полученных новых знаний. Материал предназначен для...
Проверочная работа по математике: "Комплексные числа и действия над ними".
Проверочная работа по математике предназначена для студентов 1 и 2 курсов СПО....
Выполнение действий над комплексными числами, заданными в различных формах
Практичкская работа по дисциплине ЕН.01 "Математика" для специальности "Экономика и бухгалтерский учет"(по отраслям)...
Выполнение действий над комплексными числами
Практическое занятие по теме: «Выполнение действий над комплексными числами»...
Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме: «Алгебраическая форма комплексного числа. Действия с комплексными числами»
Разделы урока: проверка домашней работы, актуализация знаний учащихся, закрепление темы, разноуровневая самостоятельная работа....