Методы решения уравнений и неравенств
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс)

Методы решения иррациональных неравенств.

I) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Если , то решений нет.

Если , то неравенству  соответствует равносидьная система

II) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Если , то решений нет.

Если , то неравенству  соответствует равносидьная система

III) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносидьная совокупность систем.

        или        

IV) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносидьная совокупность систем.

        или        

V) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносидьная совокупность систем.

        или        

VI) Неравенствах вида  нрешаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносидьная система.

VII) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносидьная совокупность систем.

        или        

VIII) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносидьная система.

IX) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносильное неравенство

X) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносильное неравенство.

XI) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенство  решается обобщенным методом интервалов.

Методы решения иррациональных уравнений.

I) Метод возведения в четные степени (неравносильный переход нужна проверка) и нечетные степени (равносильный переход).

II) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Уравнению вида  соответствует равносильная система

III) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Так как произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл, то данное уравнение равносильно следующей совокупности.

                или        

IV) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Уравнению вида  соответствует равносильная система.

Способ №1                 Способ №2

V) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Уравнению вида  соответствует равносильная система.

                или                

VI) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Возведем обе части уравнения в куб.

        (1)

                        (2)

При пепеходе из 1 в 2 происходит не равносильный переход, значит, необходима обязательная проверка.

VII) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Уравнению вида  соответствует равносильная совокупность систем.

VIII) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Уравнению вида решаются с помощью введения переменных.

Сводятся к решению системы алгебраических уравнений.

IX) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Обе части исходного уравнения умножаются на выражение, сопреженное с сепой частью уравнения и сложением затем исходного и полученного уравнений, что приводит к решениию простейшего иррационального уравнения. (Нужна проверка)

X) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Удобно произвести замену.

Исходное уравнение примет вид.

Обычно под знаком одного из радикалов, после такой замены, появляется полный квадрат двух члена.

XI) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Теорема. Если  - возростающая функция, то уравнение  и  - равносильны.

Например.

                                        решений нет

XII) Решение некоторых иррациональных уравнений можно свести к однородным уравнениям.

Например.

Пусть , , тогда

Методы решения логарифмических неравенств.

1) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Уравнению  соответствует равносильная система

2) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Уравнению

соответствует равносильная система

3) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Уравнению  соответствует два случая

I сл.                         II сл.

Методы решения неравенств, содержащих знак модуль.

I) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Если , то решений нет

Если , то

Если , то неравенству  равносильна система

II) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Если , то решений нет

Если , то решений нет

Если , то неравенству  равносильна система

III) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Если , то неравенство верно для любых х из области определения

Если , то неравенство верно для любых х из области определения

Если , то неравенству  равносильна совокупность

IV) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Если , то неравенство верно для любых х из области определения

Если , то неравенству  равносильна система

Если , то неравенству  равносильна система

V) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Если , то решений нет.

Если , то решений нет.

Если , то неравенству  равносильна система

VI) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Если , то решений нет.

Если , то неравенству  соответствует уравнение

Если , то неравенству  равносильна система

VII) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Если , то неравенство  верно для любых значений x из области определения неравенства

Если , то неравенству  равносильна система

Если , то неравенству  равносильна совокупность

VIII) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Если , то неравенство  верно для любых значений x из области определения неравенства

Если , то неравенство  верно для любых значений x из области определения неравенства

Если , то неравенству  равносильна совокупность

IX) Неравенства вида  и  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует неравенство  (либо общий способ)

Неравенству  соответствует неравенство  (либо общий способ)

X) Решение неравенств используя определение модуля (общий способ).

P.S

Любое неравенство можно решит общим способом.

Методы решения

показательно-степенных уравнений.

1) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Уравнению  соответствует пять случаев:

2.  – обязательно проверка.
3.  – обязательно проверка.
4.  – обязательно проверка.
5.  – обязательно проверка.

Методы решения

показательных уравнений.

1) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Если , следовательно, тогда

Введем замену. Пусть , тогда

Методы решения

тригонометрических уравнений.

1) Решение простейших тригонометрических уравнений.

По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений.

Ответ:

2) Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

                                                                или

                или                                                        решений нет

Отметим полученные решения и область определения на тригонометрическом круге.

Решением уравнения является:

Ответ:

3) Решение тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным уравнениям.

Пусть , тогда                                                                

                        или                        

                        Т.к.

                        при , то корней нет.

Ответ:

4) Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение.

                или                

Ответ: ;

5) Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.

а) Найдем область определения функции.

Областью определения данного уравнения является:

б) Решим данное уравнение.

Ответ:

6) Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени.

Пусть , тогда

                        или                        

                                        Т.к.

                                        при , то корней нет.

Ответ:

7) Решение тригонометрических уравнений как однородное.

Однородное уравнение – это уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и туже степень.

, где

 - действительные числа.  - показатель однородности.

Если , то и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству, значит . Разделим обе части на , получим

Ответ:

8) Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.

Т. к. , то корни есть.

Разделим обе части уравнения на , получим

Т. к.  и , то существует такой угол , что , а , тогда получим

                                Ответ:

Теория.

1) если , то уравнение однородное.

2) если  и (то есть хотя бы одно из чисел  или  не равно 0), то разделим обе части уравнения на , получим

Т. к.  и , то существует такой угол , что , тогда

а) если,  т. е. , то корней нет.

в) если,  т. е. , тогда

Т. к. , то корней нет.

9) Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

        (1)

        (2)

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения  корнями данного уравнения.

Проверка.

Если , тогда

 - не верно, значит , не является корнями исходного уравнения.

Ответ:

10) Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного.

Уравнение вида  решается следующей заменой , , ,

Способ I

Пусть , , , , получим

                        или                        

                                  (3)

Разделим на , получим                

                                Т. к. , при , то корней нет.

Ответ:

Теория.

, при

Доказательство:

Шесть способов решения уравнения (3).

1. применение формулы .
2. через .
3. привести к однородному уравнению второй степени.
4. способ введения вспомогательного аргумента.
5. с помощью неравенства , при .
6. метод оценки левой и правой частей уравнения.

Способ II

                или                

Разделим на , получим                

                                Т. к. , при , то корней нет.

Ответ:

11) Решение тригонометрических уравнений с помощью оценки левой и правой частей уравнения (метод оценок).

12) Решение тригонометрических уравнений содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Пример №1

Решим уравнение 2.

                или                

Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.

Ответ: ,

Пример №2

Решим уравнение 2.

Решим квадратное уравнение относительно.

                и                то корней нет.

Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.

Ответ:

Методы решения уравнений, содержащих знак модуль.

I) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Если , то корней нет.

Если , то уравнению  соответствует уравнение

Если , то уравнению  соответствует равносильная совокупность

II) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Способ №1

Уравнению  соответствует равносильная совокупность систем

Способ №2

Уравнению  соответствует равносильная совокупность систем

III) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Способ №1

Уравнению  соответствует равносильное уравнение

Способ №2

Уравнению  соответствует равносильная совокупность

IV) Уравнения вида  и  решаются следующим образом.

Уравнению  соответствует равносильное неравенство

Уравнению  соответствует равносильное неравенство

V) Общая схема решения уравнений содержащих знак модуль.

Например.

Найдем нули выражений, стоящих под знаком модуль.

I)                         II)                 III)        

                                         - промежуток                

IV)                        V)        

 - промежуток                        

Ответ:

P. S. В уравнениях вида  рекомендуется начинать раскрывать с внешнего модуля.

Методы решения уравнений высших степеней.

I) Решение уравнений с помощью деления в столбик.

Очевидно  - корень уравнения

Очевидно  - корень уравнения

Ответ: -5;2;3;4

II) Возвратные уравнения и к ним сводящиеся.

Уравнение называется возвратным, если в нем коэффициенты равноудаленные от концов совпадают, т.е. , ,

1) Возвратные уравнения четной степени.

т.к.  - не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на .

Введем замену.

Пусть , , получим

                ;

Вернемся к замене.

                 или                

                        корней нет

Ответ:

2) Возвратные уравнения нечетной степени.

Любое возвратное уравнение нечетной степени сводится к квадратному уравнению четной степени, т.к у любого возвратного ур–ия нечетной степени один из корней всегда равен –1

Очевидно  - корень уравнения.

         или        

                        т.к  - не является корнем уравнения, то разделим обе части

уравнения на

Введем замену.

Пусть , , , получим

                или                                        или                

корней нет                                                        

Ответ: , ,

III) Уравнения вида, где  решаются как возвратные.

IV) Замена переменных по явным признакам.

V) В следующих уравнениях используется “идея однородности”.

Пример №1

Введем замену.

Пусть , , тогда

1) если , тогда , тогда

 решений нет

2) Разделим обе части уравнения на , получим

Решим последнее уравнение, как квадратное относительно , получим

;

;

Вернемся к замене.

                или                

                                 корней нет

Ответ:

Пример №2.

Пусть , , тогда

Найдем

Составим систему:

Решая систему подстановкой, получим

                        или                        

корней нет                                                ;

Ответ: ;

Пример №3.

 - не является корнем уравнения

Разделим обе части уравнения на , получим

Введем замену.

Пусть , тогда

;

                        или                        

;                                         ;

Ответ: ; ; ;

VI) Уравнения вида, где  эффективно решать перемножением  и , а затем делать замену.

VII) В уравнениях вида  и в уравнениях к ним сводящимся, в знаменателях обоих дробей необходимо вынести х за скобки и сделать замену.

                (1)                        

                (2)

При переходе  область определения уравнения сузилась на . Проверим, является ли  корнем уравнения. Не является.

Введем замену.

Пусть , , тогда

;

                        или                        

Ответ: ;

VIII) В уравнениях вида  обе части уравнения делятся на

 - не является корнем уравнения. Разделим на , получим

Введем замену.

Пусть ; , тогда

;

                        или                        

Ответ: ;

IX) Выделение полного квадрата.

Введем замену.

Пусть , тогда

;

Вернемся к замене.

                        или                        

                                        корней нет

Ответ:

X) Решение уравнений с помощью формулы

                        или                        

                                                корней нет

XI) Уравнения вида  и к ним сводящиеся решаются при помощи замены

Введем замену.

Пусть , тогда

                                или                         корней нет

;

Вернемся к замене.

                или                

Ответ: ;

XII) Решение уравнений относительно коэффициентов.

                        или                        

;                                 - посторонний корень

корней нет                                        

Ответ: ;

XIII) Метод разложения на простейшие дроби.

Ответ: