Методы решения уравнений и неравенств
учебно-методический материал по алгебре (11 класс) по теме

Методы решения неравенств, содержащих знак модуль.

I) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Если , то решений нет

Если , то

Если , то неравенству  равносильна система

II) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Если , то решений нет

Если , то решений нет

Если , то неравенству  равносильна система

III) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Если , то неравенство верно для любых х из области определения

Если , то неравенство верно для любых х из области определения

Если , то неравенству  равносильна совокупность

IV) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Если , то неравенство верно для любых х из области определения

Если , то неравенству  равносильна система

Если , то неравенству  равносильна система

V) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Если , то решений нет.

Если , то решений нет.

Если , то неравенству  равносильна система

VI) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Если , то решений нет.

Если , то неравенству  соответствует уравнение

Если , то неравенству  равносильна система

VII) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Если , то неравенство  верно для любых значений x из области определения неравенства

Если , то неравенству  равносильна система

Если , то неравенству  равносильна совокупность

VIII) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Если , то неравенство  верно для любых значений x из области определения неравенства

Если , то неравенство  верно для любых значений x из области определения неравенства

Если , то неравенству  равносильна совокупность

IX) Неравенства вида  и  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует неравенство

Неравенству  соответствует неравенство

X) Решение неравенств используя определение модуля (общий способ).

P.S

Любое неравенство можно решит общим способом.

Методы решения уравнений, содержащих знак модуль.

I) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Если , то корней нет.

Если , то уравнению  соответствует уравнение

Если , то уравнению  соответствует равносильная совокупность

II) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Способ №1

Уравнению  соответствует равносильная совокупность систем

Способ №2

Уравнению  соответствует равносильная совокупность систем

III) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Способ №1

Уравнению  соответствует равносильное уравнение

Способ №2

Уравнению  соответствует равносильная совокупность

IV) Уравнения вида  и  решаются следующим образом.

Уравнению  соответствует равносильное неравенство

Уравнению  соответствует равносильное неравенство

Методы решения иррациональных неравенств.

I) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Если , то решений нет.

Если , то неравенству  

соответствует равносильная система

II) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Если , то решений нет.

Если , то неравенству  

соответствует равносильная система

III) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносильная совокупность систем.

        или        

IV) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносильная совокупность систем.

        или        

V) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносильная совокупность систем.

                или        

VI) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносильная система.

VII) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносильная совокупность систем.

        или        

VIII) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносильная система.

IX) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносильное неравенство

X) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносильное неравенство.

XI) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенство  решается обобщенным методом интервалов.

Методы решения иррациональных уравнений.

I) Метод возведения в четные степени (неравносильный переход нужна проверка) и нечетные степени (равносильный переход).

II) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Уравнению вида  

соответствует равносильная система

III) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Так как произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл, то данное уравнение равносильно следующей совокупности.

                или        

IV) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Уравнению вида  соответствует равносильная система.

Способ №1                 Способ №2

V) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Уравнению вида  соответствует равносильная система.

                или                

VI) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Возведем обе части уравнения в куб.

        (1)

                (2)

При переходе из 1 в 2 происходит не равносильный переход, значит, необходима обязательная проверка.

VII) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Уравнению вида  соответствует равносильная совокупность систем.

VIII) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Уравнению вида решаются с помощью введения переменных.

Сводятся к решению системы алгебраических уравнений.

IX) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Обе части исходного уравнения умножаются на выражение, сопряженное с левой частью уравнения и сложением затем исходного и полученного уравнений, что приводит к решению простейшего иррационального уравнения. (Нужна проверка)

X) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Удобно произвести замену.

Исходное уравнение примет вид.

Обычно под знаком одного из радикалов, после такой замены, появляется полный квадрат двух члена.

XI) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Теорема. Если  - возрастающая функция, то уравнение  и  - равносильны.

Например.

                                решений нет

XII) Решение некоторых иррациональных уравнений можно свести к однородным уравнениям.

Например.

Пусть , , тогда

Методы решения логарифмических неравенств.

1) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносильная система

2) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Неравенству

соответствует равносильная

система

3) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует два случая

I сл.                         II сл.

Методы решения показательно-степенных уравнений.

1) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Уравнению  соответствует пять случаев:

1. 
2.  – обязательно проверка.
3.  – обязательно проверка.
4.  – обязательно проверка.
5.  – обязательно проверка.

Методы решения показательных уравнений.

1) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Если , следовательно, тогда

Введем замену. Пусть , тогда

Методы решения уравнений высших степеней.

I) Возвратные уравнения и к ним сводящиеся.

Уравнение называется возвратным, если в нем коэффициенты равноудаленные от концов совпадают, т.е. , ,

1) Возвратные уравнения четной степени.

т.к.  - не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на .

Введем замену: Пусть ,

2) Возвратные уравнения нечетной степени.

Любое возвратное уравнение нечетной степени сводится к квадратному уравнению четной степени, т.к у любого возвратного уравнения нечетной степени один из корней всегда равен –1

Очевидно  - корень уравнения.

         или        

т.к  - не является корнем уравнения, то разделим обе части  уравнения на

Введем замену: Пусть , ,

II) Уравнения вида, где  решаются как возвратные.

III) В следующих уравнениях используется “идея однородности”.

Пример №1.

Введем замену: Пусть , , тогда

1) если , тогда , тогда

2) Разделим обе части уравнения на , получим

Пример №2.

Пусть , , тогда

Найдем

Составим систему:

IV) Уравнения вида, где  эффективно решать перемножением  и , а затем делать замену.

V) В уравнениях вида  и в уравнениях к ним сводящимся, в знаменателях обоих дробей необходимо вынести х за скобки и сделать замену.

VI) В уравнениях вида  обе части уравнения делятся на

VII) Уравнения вида  и к ним сводящиеся решаются при помощи замены

Методы решения тригонометрических уравнений.

I) Решение тригонометрических уравнений как однородное.

Однородное уравнение – это уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и туже степень.

, где  - действительные числа.  - показатель однородности.

Если , то и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству, значит . Разделим обе части на , получим:

II) Уравнения вида

1) если , то уравнение однородное.

2) если  и (то есть хотя бы одно из чисел  или  не равно 0), то разделим обе части уравнения на , получим

Т. к.  и , то существует такой угол , что , тогда

а) если,  т. е. , то корней нет.

в) если,  т. е. , тогда

III) Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного.

Уравнение вида  решается следующей заменой , , ,