Методическая разработка урока обобщения по теме "Тригонометрические формулы"
методическая разработка по алгебре (10 класс)

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

занятия по дисциплине «Математика»

на тему: «Тригонометрические формулы»

составила:

Вяльшина Вера Константиновна

преподаватель математики

 Саранск, 2020

 Методическая разработка предназначена  для преподавателей, работающих по активным инновационным формам проведения занятий  для систематизации и закрепления изученного материала с использованием информационно-коммуникативных технологий и элементов игры.

В методической разработке раскрывается методика проведения открытого урока по  дисциплине «Математика».

Методическая разработка составлена преподавателем ГБПОУ РМ «Саранский техникум пищевой и перерабатывающей промышленности» В.К.Вяльшиной.

СОДЕРЖАНИЕ

 Введение…………………………………………………………4

Подготовительный этап…………………………………………6

План занятия……………………………………………………..7

Структура занятия……………………………………………….9

Методика проведения занятия………………………………….11

Заключение……………………………………………………….21

Список литературы……………………………………………...23

Приложение 1…………………………………………………….24

Приложение 2…………………………………………………….27

ВВЕДЕНИЕ

                                                  «Все должно вестись в неразрывной последовательности так, чтобы все

                                                              сегодняшнее закрепляло вчерашнее и  пролагало дорогу для завтрашнего»

Ян Амос Коменский

         В рамках перехода учебных заведений на государственные стандарты третьего поколения возникла необходимость формирования у студентов профессиональных компетенций. Реализация данного подхода обеспечит будущему специалисту возможность для понимания своей выбранной профессии, профессионального и карьерного роста.

       Методическая разработка открытого занятия является актуальной для преподавателей, работающих с активными инновационными формами проведения  занятия для систематизации и закрепления изученного материала с использованием информационно-коммуникативных технологий и групповой игры.

        Групповые игры позволяют совершенствовать коммуникативные навыки - как в отношении обмена информацией, обоснования своей позиции, так и совместного принятия решений, брать на себя ответственность принятия решения за команду.

      Данное занятие проводится для закрепления полученных знаний по теме: «Тригонометрические формулы», что позволяет преподавателю выяснить уровень подготовки студентов, применение полученных знаний на практике, а студентам повторить ранее изученный материал и закрепить полученные знания и умения.

       Проведение занятия требует использование современных средств и форм организации занятия,   использование ТСО. По изучаемой теме студенты готовят материал об истории тригонометрии и происхождении единиц измерения углов в виде докладов.

       Работа в группах, за компьютером и на доске, обсуждение тем, принятие самостоятельных решений дают хорошие результаты в процессе активизации познавательной деятельности, нацеливает студентов во время обучения к более глубокому пониманию изученных тригонометрических формул, вырабатываются умения и навыки их применения.

       Методическая разработка состоит из основных разделов:

-   подготовительный этап, в котором планируется порядок проведения урока;

-   структура занятия состоит в подробном распределении элементов занятия и изучаемых вопросов, а так же    методов обучения и времени, необходимого для изучения темы;                                                                        

-  методика проведения занятия включает в себя подробное описание каждого элемента занятия и его цели;

-    заключительный этап анализирует результаты работы и подводит итоги проведенного урока.

ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ  ЭТАП

Дверь в человеческие отношения открывается только на себя.

Не бойтесь сделать шаг навстречу!

                                                                                                     Веснин С.В.

         Для проведения занятия были подобраны задания для каждого этапа, подготовлены презентация с сопроводительными слайдами к каждому этапу занятия, лист оценивания, тесты в программе Краб 2, карточки-задания для индивидуального решения, карточки с выбором ответов для игры «Пасьянс».

       Студенты самостоятельно готовят доклады по темам: «История тригонометрии» и  «Происхождение единиц измерения углов».

      Обучающиеся заранее делятся на две команды, придумывают им названия и девизы, выбирают капитанов.

ПЛАН   ЗАНЯТИЯ

Учебная дисциплина: ОУД.04 Математика        

Профессия: «Повар, кондитер»

Курс: 1

Тема занятия: «Тригонометрические формулы»

Тип занятия: урок систематизации и совершенствования знаний, умений и навыков.

Форма проведения занятия: урок-игра

Продолжительность занятия: 90 мин

Место проведения занятия: учебная аудитория

Цель занятия: систематизировать и совершенствовать знания, умения и навыки обучающихся по теме: «Тригонометрические формулы»

Задачи:

Образовательные: закрепить знания, умения и навыки выполнения тождественных преобразований тригонометрических выражений, нахождения их значений; вывода и применения тригонометрических формул при доказательстве тождеств и решении тригонометрических уравнений.

Развивающая: способствовать развитию у обучающихся самостоятельности, логического мышления, внимательности, познавательного интереса к предмету, активности; развитию математической речи, навыков использования компьютерной техники при решении задач.

Воспитательная: воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию своих знаний; уверенности в себе, культуры общения и работы с вычислительной техникой, формировать умение работать группой.

Планируемые результаты:

Личностные: воспитание чувства само- и взаимоуважения; развитие сотрудничества при работе в группе; воспитание интереса к математике.

Метапредметные: формирование умений сравнивать; развитие у обучающихся самостоятельности; развитие внимательности при поиске ошибок.

Предметные: развитие умений работать с компьютером, овладение тригонометрическими формулами.

Методы проведения: фронтальный опрос, использование наглядного материала, использование ТСО, индивидуальная работа по карточкам, элементы дидактических игр, компьютерное тестирование, самостоятельная и групповая работа обучающихся.

Методическое обеспечение занятия: тесты, карточки-задания, карточки с выбором ответов, сопроводительные слайды к этапам урока.

Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, экран, раздаточный материал, справочный материал.

СТРУКТУРА  ЗАНЯТИЯ

МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЯ

1этап. Организационный момент (слайды 1,2)

       Рабочие места студентов следует организовать по кругу (по принципу круглого стола), это поможет настроить студентов на сплоченную работу.

1.1. Проверка явки обучающихся.

1.2. Проверка готовности обучающихся к уроку.

1.3. Создание эмоционального настроя у обучающихся на работу.

Преподаватель называет тему, цель и задачи урока (показ на слайдах).   

     Преподаватель: Сегодня у нас заключительный урок по теме «Тригонометрические формулы», на котором мы должны, систематизируя знания и умения, подготовиться к контрольной работе. Неслучайно великий чешский педагог Ян Амос Каменский говорил: «Все должно вестись в неразрывной последовательности так, чтобы все сегодняшнее закрепляло вчерашнее и пролагало дорогу для завтрашнего».(слайды 3-5)

А проведем мы урок в форме игры «Математический турнир». Как заметил Блез Паскаль: «Предмет математики настолько серьезен, что нельзя упускать случая, сделать его немного занимательным». Группа делится на две команды: «Синусы» и «Косинусы». Они заранее придумали девиз и выбрали капитанов.

    Представляет           команды и их капитанов.                                                                    Девиз команды «Синусы»:    «Набирайся ума в ученье, храбрости - в сраженье!». (слайд 6)                                                                                                                     Девиз команды «Косинусы»:   «Помни всегда, что без труда в учебе побед не добиться!».  (слайд 7)

     2 этап.                       Тур I

                         Устные упражнения

     Учитель. Первый тур мы начинаем.

                     Приготовьтесь-ка, друзья,

                     Отвечать на все вопросы,

                  Которые задавать вам буду я.

Вопросы задаются по очереди обеим командам. Если ответ неправильный, может ответить другая команда. Количество баллов - количество верных ответов.(слайды 8-12)

1. В какой четверти лежит угол α , если выполняется условие sin α > 0,    cos α < 0? (Bo II.)
2. Определите знак значения функции cos150.(-)
3. Вычислите sin7π. (0)
4. В какой четверти лежит угол α, если выполняется условие               sin α < 0, tg α > 0? (В III)
5. Определите знак значения функции tg 200. (+)
6. Может ли быть верным равенство sin² α + cos²α = ? (Нет)
7. Что больше cos π или sin ?  (sin  )
8. Вычислите sin² α + tg α ctg α + cos²α. (2)
9. Какие значения может принимать sin x?  (От -1 до 1включительно.)
10. Если tg α = , то можно ли утверждать, что sin α = 3? сos α = 5? (Нет.)

              3 этап.                      ТурII

                                       Вывод формул

      Учитель.    Тур второй – вывод формул.

                            Сложностей нисколько нет,

                              На картинках формулы,

                                 На доске ваш ответ.

 В этом туре нужно вывести тригонометрическую формулу. На слайде    представлены картинки – анимации, на обратной стороне которых записаны тригонометрические формулы. От каждой команды выходят к доске по одному человеку. Выбирают картинку и выводят заданную формулу. Всего в этом туре участвуют 4 человека ( по 2 от каждой команды).(слайды 13-17)

1. sin² α + cos² α = 1,
2. sin 2α = 2sin α cos α,
3. cos² =
4. sin α + sin β = 2 sin   .

   4 этап.                         Тур III

                          Индивидуальное задание.

Учитель.    Третий тур: пусть всякий знает,

                       Кто же лучше вычисляет?

                         Мне задачи вам раздать.

                         Вам же думать и считать.

  Каждая команда делится на три группы. Первая группа получает конверт  с названием « Найти », вторая - конверт с названием « Вычислить », третья - конверт с названием « Упростить ». В каждом конверте лежат листочки с заданием. Каждый учащийся берет одно задание, выполняет его и сдает на проверку. Количество баллов – количество верно выполненных заданий.

  Для защиты своего решения один учащийся из каждой команды выходит к доске и решает свое задание. (слайд 18)

5 этап.        Тур IV

Пасьянс

Учитель. Вы,ребята ,все устали .

                Много думали,считали .

                 Отдохнуть уже пора!

               Так четвертый тур-"Игра"!

Пасьянс содержит 20 карточек, на которых написано 10 формул

приведения (левая часть до знака равенства на одной карточке, правая

- на другой). Эти карточки раскладываются в 4 рада по 5 карточек в

каждом ряду. Карточки можно брать по 2 либо по вертикали ,либо по

горизонтали. Каждая пара считается удачей, если она составляет

формулу.(слайды 19,20)

Задание для игры

Удачные пары

        6 этап.        Тур V

Конкурс капитанов.

(тестирование)

Пятый тур мы начинаем,

Капитанов приглашаем.

Будут трудные задачи,

Пожелаем им удачи!

    Капитанам предлагается пройти тест за компьютерами, причём задания в тестах одинаковые.(слайд 21)

Тест

1. Угол 541 надится в а) I, б) II, в) III, г) IV координатной  четверти.
2. Вычислить ctg (-600)

а) , б) - , в) г) не существует.

3.Определите знак выражения cos (-1) sin (-2)

а) 0, б) 0, в) 0, г) не возможно

4. Упростите выражение cos²a – cos2a и найдите его значение, если .

а)  , в) 1 , г) 0.

5.Упростите выражение sin (2х + 4) – 2sin (х +)  cos (х)

а) 2 sin 2х , б) sin2х , б) -2sin²х , г) 0.

   7 этап.  В то врем, когда капитаны команд проходят тестирование, вниманию учащихся предлагаются сведения из истории. Команды готовятся заранее.

    Первая команда. О происхождении единиц измерения углов.  (слайды 22-26)

    Градусное измерение углов возникло в Древнем Вавилоне задолго до новой эры. Жрецы считали,  что свой дневной путь Солнце совершает за 180 «шагов» и, значит, один «шаг» равен  развернутого угла.

    Вавилонская система измерения углов оказалось достаточно удобной, и её сохранили математики Греции и Рима. Слово «градус» происходит от латинского gradus (шаг, ступень). В переводе с латинского minutus означает «уменьшенный». Наконец, secunda переводится как «вторая». Имеется в виду следующее: деление градуса на 60 частей, то есть минуты, - это первое деление, деление минуты на 60 секунд – второе деление градуса. Малоупотребительное название  секунды – терцина, латинское tercina означает «третье».

Принятая сейчас система обозначения величин углов получила широкое распространение на рубеже XVI и XVII вв.; ею уже пользовались такие известные астрономы, как Н.Коперник и Т.Браге. Но ещё К.Птолемей (II в. Н. э.) количество градусов обозначал кружком, число минут – штрихом, а секунд – двумя штрихами.

   Другая единица измерения углов – радиан – введена совсем недавно. Первое издание (это были экзаменационные билеты), содержащие термин «радиан», появилось в 1873 г. В Англии.

Сначала в обозначениях называлось, что имеется в виду именно радианная мера ( например,  - угол в  радиан), но вскоре индекс R стали опускать. Сам термин «радиан» происходит от латинского radius (спица, луч).

   Вторая команда. Об истории тригонометрии.(слайды 27-30)

   Слово «тригонометрия» впервые встречается (1505 г.) в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса. Происхождение этого слова греческого; переводится как «наука об измерении треугольников».

   Длительную историю имеет понятие синуса. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III в. До н. э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполлония Пергского. В IV – V вв. появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты (476 – 550), именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее привилось более краткое название джива. При переводе арабских математических текстов в XII в. Это слово было заменено латинским синусом (sinus – изгиб, кривизна).

   Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращённое латинское выражение complementy sinus, то есть «дополнительный синус» (или иначе «синус дополнительной дуги»; вспомните,            cos α=sin (90-α)).

   Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс, а также котангенс, введен в Х в. арабским математиком Абу-л-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским учёным, и тангенсы были заново открыты в XVI в. сначала английским учёным Т.Бравердином, а позднее немецким математиком Региомонтаном (1467г.) Само название «тангенс» ,происходящие от латинского tangens (касаться), появилось лишь в 1583 г.

   Длительное время тригонометрия развивалось как часть геометрии. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникли в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затмений и т.д.)

   Принципиальное значение имело составление К.Птолемеем первой таблицы синусов (долгое время она называлась таблицей хорд): появилось практическое средство решения ряда прикладных задач.

   Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик XVIII столетия Леонардо Эйлер (1707 – 1783), швейцарец по происхождению, долгие годы работавший в России и являющийся человеком Петербургской академии наук. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. Все это малая доля того, что за долгую жизнь Эйлер успел сделать в математике: он оставил свыше 800 работ, доказал многие ставшие классическими теоремы, относящиеся к самым разным областям математике.

8 этап. Решение задач. (слайд 31)

Вне конкурса учащимся предлагается решить следующие задания:

1). Доказать тождество:

         =

Решение:

  =  =  = =tg3a

2).Решить уравнение:

Решение: Предположив, что х- корень уравнения, применим формулу синуса разности углов 5х и 4х получим:

Ординату, равную единице, имеет точка (0;1) единой окружности.

Эта точка получается из точки Р (1;0) поворотом на угол  , а так же на углы  + 2πk, k  z

Ответ: х =  + 2πk, k  z.

9 этап.                 Подведение итогов урока.

Преподаватель  раздает Лист обратной связи.  Оцените по 5 бальной шкале степень удовлетворённости (слайд)

    9.1. Подводятся итоги каждого этапа урока, объявление команды - победителя.

    9.2. Ответы на вопросы обучающихся.

    9.3. Объявление и комментирование оценок.

         10 этап.    Преподаватель выдает и комментирует домашнее задание к следующему уроку: «Проверь себя» на стр. 166. (слайд 32)

Заключительное слово преподавателя: Для успешного решения задач по тригонометрии необходимо уверенное владение многочисленными формулами. Тригонометрические формулы надо помнить. Но это не значит, что их надо заучивать все наизусть, главное запоминать не сами формулы, а алгоритмы их вывода. Любую тригонометрическую формулу можно довольно быстро получить, если твердо знать определения и основные свойства функций sinα, cosα,  tgα, ctgα, соотношение sin2+ cos2=1 и формулы сложения. Каждый раз выводить нужную формулу, например, для преобразования тригонометрического уравнения время уйдет достаточно много. Поэтому круг формул, которые необходимо знать, должен быть достаточно широким.

              Разучивание тригонометрических формул не для того чтобы вы всю оставшуюся жизнь вычисляли синусы и косинусы, а для того чтобы ваш мозг приобрел способность работать. “Дороги не те знания, которые отлагаются в мозгу, как жир; дороги те, которые превращаются в умственные мышцы” -писал Г. Спесер, английский философ и социолог.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

         В процессе проведения такого занятия повторяется большой объем изученного материала, идет глубокое закрепление изученного материала. У студентов развивается большой интерес к дисциплине, осваиваются компьютерные технологии, нарабатываются навыки общения, права добровольного участия. Работают все студенты, даже  неуверенные в своих знаниях.

           Использование активных форм обучения позволяет включить в  процесс познания всех студентов группы без исключения. Совместная деятельность означает, что каждый вносит свой особый индивидуальный вклад. В ходе работы идет обмен знаниями, идеями, способами деятельности. Организуются индивидуальная, парная и групповая работа. Работа в группе способствует развитию таких умений, как  работать в команде,  аргументировать свою точку зрения, брать на себя ответственность принятия решения за команду.

 Включение в структуру учебного занятия групповой игры способствует созданию среды образовательного общения, которая характеризуется открытостью, взаимодействием участников, равенством их аргументов, накоплением совместного знания, возможность взаимной оценки и контроля.

Использование активных методов в учебном занятии способствует повышению эффективности занятия, формированию и развитию у студентов коммуникативных навыков и умений, эмоциональных контактов между студентами, аналитических способностей, ответственного отношения к принятию решений.

           Подготовка к такому занятию развивает ответственность у студентов за результаты своего труда, нацеливает и подготавливает к будущей профессиональной деятельности.

       Проведение контроля знаний при помощи активных форм работы позволяет развить и углубить мыслительную деятельность студентов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Алимов Ш. А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. — М., 2018.
2. Макеева А.В. Карточки по тригонометрии. 10-11 классы: Дидактический материал для учителя - ОАО “Издательство “Лицей”, Саратов, 2002.
3. Изучение алгебры и начал анализа 10-11: Методические рекомендации к учеб.; кн. для учителя / Н.Е.Федорова, М.В. Ткачева. – М.: Просвещение, 2007.
4. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класс/М.И. Шабунин, М.В. Ткачева и др. -2-е изд. - М.: Просвещение, 2007.
5. Решетников Н.Н. Материалы курса  «Тригонометрия в школе» лекции 1-8. – М.: Педагогический университет “Первое сентября”, 2006

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Решения:

Найти

1.Решение:

             cos α =  

   Т.к < α < π , то α-угол второй четверти cos α < 0

   Тогда cos α = =  = = 

2.Решение:

          1+ 

           tg² α =  – 1 = 1 :  – 1 =  

        Т.к  π < α < , то tg α =  =  

3. Решение:

            = 1+ tg² α = 1 + 8 = 9

                       cos² α =  

    Т.к  0 < α , то sin α =

4.Решение:

              1 + ctg² α =

               1 + 2 =  => sin² α =

        Т.к  π < α , то cos α =  =

5.Решение:

          cos α =

    Т.к  cos α > 0, то cos α =

6.Решение:

         = 1+ tg² α  = > tg² =  tg² α = 1 :  

 Т.к  sin α  cos α  > 0 и cos α =, то sin α > 0 => tg α =  = 2

Вычислить

1. Решение:

2sin75°·cos75°=sin150°=sin(90°+60°)=cos60°=

2.Решение:

=cos150°=cos(90°+60°)=sin60°

3.Решение:

sin=sin(8π-)=-sin=

tg=tg(6π+ )=tg =1

4.Решение:

cos+sin=cos(6π+ +sin(6π- )+sin(4π- )=cos()+sin()=

=cos-sin==0

5.Решение:

3cos3660°+sin(-1560°)=3cos(10·360°+60°)-sin(4·360°+120°)=3cos60°-sin120°=

=3·sin(90°+30°)=-cos30°=

6. Решение:

sincos+sincos=sin(= sin= sin=1

7.Решение:

sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°·sin45°=+·=+

8.Решение:
1195°=cos2·195°=cos390°=cos(360°+30°)=cos30°=

Упростить

1. Решение:

2– =

       2.Решение:

       3.Решение:

       4.Решение:   =  =  =

        5.Решение:

        6.Решение:  

        7.Решение:    =

        8.Решение:    = - (1+