Доклад на тему :Виды уравнений и способы их решения
материал по алгебре

Доклад по математике на тему:

«Виды уравнений и способы их решения»

ВВЕДЕНИЕ

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Я расположила материал по степени его сложности, начиная с самого простого. В него вошли как известные нам виды уравнений из школьного курс алгебры, так и дополнительный материал. При этом я попыталась показать виды уравнений, которые не изучаются в школьном курсе, но знание которых может понадобиться при поступлении в высшее учебное заведение. В своей работе при решении уравнений я не стала ограничиваться только действительным решением, но и указала комплексное, так как считаю, что иначе уравнение просто не законченно. Ведь если в уравнении нет действительных корней, то это еще не значит, что оно не имеет решений.

Математика... выявляет порядок,

симметрию и определенность,

а это – важнейшие виды прекрасного.

Аристотель.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

1. УРАВНЕНИЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Основные определения.

В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения.

Тождество – это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него букв). Для записи тождества наряду со знаком также используется знак .

Пример: 5 *7 – 6 = 20 + 9

Пример:

Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения и обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита: ,,c, ... – или теми же буквами, снабженными индексами:, , ... или , , ...); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными (их обычно обозначают последними буквами латинского алфавита:x, y, z. По числу неизвестных уравнения разделяются на уравнения с одним, двумя, тремя и т. д. неизвестными

Решением уравнения называют такой буквенный или числовой набор неизвестных, которые обращает его в тождество (соответственно числовое или буквенное). Часто решение уравнения называют его также его корнем.

1.1. Линейное уравнение

Линейным уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида

ax + b = c, где a ≠ 0

Это уравнение имеет единственное решение:

1.2 Квадратное уравнение

Квадратным уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида

a + bx + c = 0, где a ≠ 0

Дискриминантом квадратного уравнения называют число D =

Справедливы следующие утверждения

1. Если D 0 , то уравнение решений не имеет
2. Если D = 0 , то уравнение имеет единственное решение
3. Если D 0, то уравнение имеет 2 решения
   

1.2.1 Неполное квадратное уравнение

Неполным квадратным уравнением называют квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

При c =0, уравнение принимает вид:

a+ bx = 0 или x (ax + b) = 0

т.е. либо х=0, либо ax + b = 0, откуда х=0,

При b =0, уравнение принимает вид: a+ c = 0

т.е.

если выражение 0, то уравнение решений не имеет

если с=0, то уравнение имеет единственное решение: х=0

если выражение, 0,то решений два:

= ; = ;

1.2.2 Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета

Приведённым квадратным уравнением называют уравнение вида

+ px + q = 0

т.е. квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице.

Любое квадратное уравнение можно сделать приведённым. Для этого достаточно каждый коэффициент данного уравнения разделить на первый коэффициент, т.е. на а

Теорема Виета: Если приведённое квадратное уравнение имеет действительные корни, то их сумма равна второму коэффициенту, взятому со знаком минус, т.е. –p, а их произведение- свободному члену q.

Теорема, обратная теореме Виета: Если сумма двух чисел и равна числу –p, а их произведение равно числу q, то они являются корнями приведённого квадратного уравнения + px + q =0

Пример: Используя теорему, обратную теореме Виета, найти корни уравнения

Это уравнение имеет целые корни, Корни легко угадать: это действительно: (-1) * (-2) = 2 и (-1) +(-2) = -3. Значит, числа -1 и -2 являются корнями данного уравнения.

3. Биквадратное уравнение

Уравнение вида a + b + c = 0 называют биквадратным

Такое уравнение решается методом замены переменной. Обозначим , тогда . Заметим что t ≥ 0, так как t = исходное уравнение имеет вид

Т.е. является обыкновенной квадратным уравнением, которое решается по приведенной выше схеме.

Пусть и – корни полученного квадратного уравнения. Если > 0 и , исходное биквадратное уравнение имеет четыре корня:

Если одно из чисел или отрицательно, а другое неотрицательно, то имеем два корня, либо один (x = 0).

Введение нового переменного – наиболее распространенный метод решения самых разных уравнений.

Пример:

Решение. Обозначим и заметим, что t ≥ 0

Тогда исходное уравнение примет вид:

Имеем:

Так как D > 0, то полученное квадратное уравнение имеет два корня

Оба эти корня удовлетворяют условию (*) следовательно, уравнение имеет четыре действительных решения

3. Разложение квадратного трёхчлена на множители

Из теоремы Виета следует очень важное утверждение:

теорема о разложении квадратного трёхчлена на множители.

Если квадратное уравнение a + bx + c = 0, где a ≠ 0 имеет действительные корни то квадратный трёхчлен

a + bx + c = 0 раскладывается на множители следующим образом: a + bx + c = а ( х- ) ( х - )

Пример: Разложить н множители выражение 3 + 5x

Решение: Найдём корни уравнения 3 + 5x = 0

= 49

По теореме о разложении квадратного трёхчлена на множители имеем:

+ 5x = 3

3. Уравнение, содержащие переменную под знаком модуля

Модулем числа называют само это число, если оно неотрицательно, либо число - | |.

Формальная запись этого определения такова:

| | =

При решении уравнений, содержащих переменную плд знаком модуля, используется определение модуля.

пример: решить уравнение: | |=

решение: по определению модуля:

Говорят, что выражение модулем меняет свой знак в точке x=1, поэтому все множество чисел разбивается на два числовых промежутка.

а) При x ≥ 1 исходное уравнение принимает вид:

Так как < 1, то это решение не принадлежит рассматриваемому промежутку т.е. не является корнем первоначального уравнения.

б) при x < 1 исходное уравнение принимает вид:

Поскольку -1 < 1 то найденное решение принадлежит рассматриваемую промежутку и, значит, является корнем исходного уравнения.

Ответ: -1

3. Иррациональные уравнения

1. Уравнения, содержащие один знак радикала второй степени

Возведение обеих частей уравнения в степень

При возведении обеих частей уравнения в четную степень (в частности, в квадрат) получается уравнение, неравносильному исходному.

Кроме корней исходного уравнения могут появиться посторонние корни, т.е. числа, являющиеся решениями возведенного в четную степень уравнения, но не являющимися корнями исходного уравнения.

Избавиться от посторонних корней помогает непосредственная проверка полученных корней в исходном уравнении, т.е. корни поочередно подставляет в начальное уравнение и проверяют, верное ли получается числовое неравенство.

Пример. Решить уравнение

Решение возведем обе части уравнения в квадрат. Имеем:

Проверка. При но 1 ≠ -1 следовательно корень x=-1 посторонний

При x = 2; так как 2=2, то проверяемое число действительно является корнем исходного уравнения

Ответ: 2.

1.7 Тригонометрические уравнения

+ 7 - 5 = 0

Решение: так как то уравнение можно переписать следующим образом:

2 ( 1 - ) + 7 - 5 = 0, т.е. 27

Полагая, что = y, приходим к квадратному уравнению

2 – 7 y + 3 = 0, откуда = = 3, и получаем совокупность двух простейших уравнений

Первое из них имеет решение

, а второе решений не имеет

1.8 Системы уравнений

Система уравнений состоит из двух и более алгебраических уравнений.

Решением системы называют такой набор значений переменных, который при подстановке обращает каждое уравнение системы в числовое или буквенное тождество.

Решить систему – значит найти все её решения или доказать, что их нет.

2. СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим несколько способов решения систем уравнений

2.1 Графический способ решения системы уравнений

Пример: y

1

0 1 x

Решение. Каждое уравнение системы задаёт линейную функцию. Построим графики этих уравнений в одной системе координат. Координаты пересечений графиков обращают оба уравнения системы в верные равенства. Решением системы является пара значений переменных: х=1,у=1. Ответ можно записать так: ( 1; 1 )

Графический способ решения систем уравнения состоит в следующем:

1. Строятся графики каждого уравнения системы
2. Определяются точки пересечения графиков
3. Записывается ответ: координаты точек пересечения построенных графиков.

2.2 Метод подстановки

Пример:

Решение: Из первого уравнения выразим x через y:

Подставив полученное выражение во второе уравнение системы, получим уравнение с одним неизвестным

Подставив это число в выражение

Получим ответ: x = 3

Ответ: (3;4)

Алгоритм решения систем уравнений методом подстановки

1. Из одного уравнения системы одна переменная выражается через другую.
2. Полученное выражение подставляется во второе уравнение системы.
3. Решается полученное после подстановки уравнение
4. Полученное решение подставляется в выражение из п.1
5. Если при решении последнего уравнения получается тождество 0=0, то это означает, что исходная система имеет бесконечное множество решений вида (х, у), каждое из которых удовлетворяет первому уравнению системы. Если же при тождественных преобразованиях последнего уравнения получится неверное числовое равенство, то система решений не имеет.

2.3 Метод сложения

Пример:

Решение: Домножим первое уравнение системы на 2, а второе - на 3. Сложим получившиеся уравнения почленно и запишем результат вместо второго уравнения системы.

0 + 11 = 22

Ответ :(-3; 2)

Числа, на которые домножают уравнения перед сложением, выбирают так, чтобы при суммировании коэффициент перед одной из переменных стал равен нулю.

В результате преобразований уравнений системы и замены одного из уравнений результатом суммирования других получены равносильные системы.

Две системы называют равносильными, если каждое решение одной системы является решением другой системы и наоборот.

2.4 Метод введения новой переменной

При решении систем нелинейных уравнений, как правило, применя-ются различные комбинации нескольких методов решения систем.

Пример:

Решение. Преобразуем второе уравнение системы воспользовавшись формулой сокращенного умножения

Из первого уравнения системы x-y =1; подставим 1 во второе уравнение. Запишем получившуюся систему:

К этой системе уже вполне применим метод – выразить одно неизвестное из первого уравнения системы и подставить во второе:

Ответ: (-1;-2), (2;1).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XXI век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.

В данной работе были представлены далеко не все, способы решения уравнений и даже не все их виды, а только самые основные. Я надеюсь, что мой доклад может послужить неплохим справочным материалом при решении тех или иных уравнений. В заключении хотелось бы отметить, что при написании данного доклада я не ставила себе цели показать все виды уравнений, а излагал лишь имеющийся у меня материал.

На основании всего выше изложенного можно сделать вывод, что уравнения необходимы в современном мире не только для решения практических задач, но и в качестве научного инструмента. Поэтому так много ученых изучали этот вопрос и продолжают изучать.

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Большой справочник для школьников, поступающие в вузы

П.И. Алтынов, И. И. Баврин, Е. М. Бойченко и др. – М. Дрофа, 2016-840 с.

2. Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. Справочник по математике для средней школы. – М.: Наука, 1980.- 400 с.

3. https://www.bestreferat.ru/referat-261398.html

4. http://mirznanii.com/a/314809-10/uravneniya-i-sposoby-ikh-resheniya-10

5. http://www.hintfox.com/article/vidi-yravnenij-i-sposobi-ih-reshenija.html