Урок по теме "Теория вероятностей"
план-конспект урока по алгебре (11 класс)

Урок-соревнование по разделу «Теория вероятностей»

Цели урока:

• в нетрадиционной, занимательной форме повторить и закрепить пройденный материал по теме;
• развивать познавательную активность и творчество учащихся;
• развивать и закреплять навыки решения задач;
• учить применять знания в новой ситуации;
• формировать навыки коллективной работы в сочетании с самостоятельной деятельностью учениковов.

Оборудование:  мультимедийный проектор, карточки с заданиями к конкурсам.

Ход урока.

1. Оргмомент – 5 мин.

(Предварительно учащиеся делятся на 2 команды, выбирают капитана и название. Заранее готовится ведомость, в которую жюри (или учитель) будут вносить оценки за каждый ответ каждому учащемуся. В итоге побеждает команда, набравшая больше баллов).

2. Сам урок состоит из нескольких конкурсов. (1 час 10 мин.)

1. Конкурс «Разминка» 

Каждый участник команды по цепочке выходит к доске и пишет одно слово, связанное с теорией вероятностей, создавая образ человека из слов. Каждый участник не знает, что написал предыдущий ученик. Итого 2 раза. Подводим итог: что получилось? Анализируем.

2. Конкурс «Ты мне, я тебе»

Конкурс вопросов. Каждая команда должна подготовить по 6 вопросов команде-сопернице (вопросы должны быть только по материалам лекций). За каждый правильный ответ команда получает по 1 баллу. Если ответа правильного нет, команда, которая сама задавала вопрос должна на него ответить и заработать 1 балл.

Примерные вопросы конкурса:

1. Что такое случайное событие? (Под случайным событием, связанным с н6екоторым опытом, понимается всякое событие, которое при осуществлении этого опыты либо происходит, либо не происходит.)
2. Какое событие называется достоверным? (Событие, всегда осуществляющееся при проведении опыта, называют достоверным событием)
3. Какое событие называется невозможным? (Невозможным называют событие, которое заведомо не может произойти в результате опыта)
4. Какие события называются равносильными? (События А и В называются равносильными, если событие А происходит тогда и только тогда, когда происходит событие В)
5. Какие события называются противоположными? (Для каждого события А можно рассмотреть событие, заключающееся в том, что событие А не произошло. Его называют противоположным событием.)
6. Что называется суммой событий? (Суммой событий А1 и А2 называют событие А, которое осуществляется в том случае, когда происходит хотя бы одно из событий А1 или А2)
7. Что называется произведением событий? (Произведением событий А1 и А2 называют событие А,  осуществляющееся только в том случае, когда события А1 и А2 происходят одновременно)
8. Какие события называются несовместными? (События А и В называются несовместными, если они не могут произойти одновременно, т.е. если их произведение есть невозможное событие)
9. Какой опыт будем называть опытом с равновероятными исходами? (Если при проведение опыта осуществление каждого из событий, образующих полную систему попарно несовместных событий, равновозможно, то такой опыт будем называть опытом с равновероятными исходами)
10. Что называется частотой случайного события? (Если при n-кратном проведении опыта случайное событие наступило k раз, то отношение k/n даст частоту случайного события)
11. Сформулировать классическое определение вероятности события? (Вероятностью события А, связанного с опытом с равновероятными исходами, называется отношение k/n числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т.е. )
12. Чему равна вероятность достоверного события? (Вероятность достоверного события равна 1)
13. Чему равна вероятность невозможного события? (Вероятность невозможного события равна 0)
14. Сформулировать теорему сложения двух несовместных событий. ( Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. )
15. Сформулировать теорему умножения двух независимых событий. (Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е. )
16. Что такое случайная величина? (Под случайной величиной, связанной с некоторым опытом, понимается всякая величина, которая при осуществлении этого опыта принимает то или иное числовое значение)

17) - формула Бернулли

18)  - размещение из n элементов по k элементов

19)  - сочетание из n элементов по k элементов

20)  - перестановки из n элементов

3. Конкурс «блиц-турнир» 

Конкурс посвящается решению задач. Каждая команда получает 10 несложных задач, примерно по 1 задаче на участника. Каждая задача решается устно в течение нескольких секунд.

Задания к конкурсу для 1 команды.

1. Из урны, в которой находятся 5 белых, 3 черных, 7 красных шаров, наудачу вынимается один. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым? (Ответ: 1/3)
2. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет  число очков, равное трем? (Ответ: 1/6)
3. В лотерее из 2000 билетов имеются 500 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный? (Ответ: 500/2000 = 0,25)
4. Найти вероятность того, что при подбрасывании игральной кости выпадет число очков меньше 15. (Ответ: 1)
5. Из урны, в которой находятся 10 шаров: 5 белых и 5 красных, наудачу вынимается один. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется зеленым? (Ответ: 0)
6. Найти вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет число очков, кратное 2. (Ответ:1/2)
7. Из слова «кванториум» выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что эта буква «у»? (Ответ: 0,1)
8. Сколько различных двузначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4,5 при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?  (Ответ: 20)
9. В классе 20 человек. Сколькими способами можно выбрать пару дежурных?(Ответ:380)

10) На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.  (57/60)

Задания для второй команды:

Задания к конкурсу для 1 команды.

1) Из урны, в которой находятся 7 белых, 3 черных, 7 красных шаров, наудачу вынимается один. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется черным? (Ответ: 3/17)

2) Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет  число очков, равное пяти? (Ответ: 1/6)

3. В лотерее из 5000 билетов имеются 500 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный? (Ответ: 500/5000 = 0,1)
4. Найти вероятность того, что при подбрасывании игральной кости выпадет число очков меньше 1. (Ответ: 0)
5. Из урны, в которой находятся 12 шаров: 5 белых и 7 красных, наудачу вынимается один. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется зеленым? (Ответ: 0)
6. Найти вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет число очков, кратное 5. (Ответ:1/6)
7. Из слова «квадрокоптер» выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что эта буква «р»? (Ответ: 1/6)
8. Сколько различных двузначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?  (Ответ: 6)
9. В классе 10 человек. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных?(Ответ:720)

10) На экзамен вынесено 25 вопросов, Андрей не выучил 5 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется невыученный вопрос. (Ответ 1/5)

4. Конкурс капитанов « Поиск» 

Капитаны выходят к доске и рассказывают за 2-3 минуты любой интересный факт из теории вероятностей, пытаясь заинтересовать зрителей. За этот конкурс максимально 5 баллов.

5. Конкурс «Реши задачу из егэ». Каждая команда решает задачи из ЕГЭ, записывает ответы в бланк по ЕГЭ. Учитывается правильность решения и верно заполненный бланк.

1)

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение.

За первые три дня будет прочитан 51 доклад, на последние два дня планируется 24 доклада. Поэтому на последний день запланировано 12 докладов. Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 

Ответ: 0,16.

2) На конференцию приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.

Решение.

Всего в семинаре принимает участие 3 + 3 + 4 = 10 ученых, значит, вероятность того, что ученый, который выступает восьмым, окажется из России, равна 3/10 = 0,3.

Ответ: 0,3.

3) В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по теме "Неравенства". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Неравенства".

Решение.

Из 25 билетов 15 не содержат вопроса по теме "Неравенства", поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Неравенства", равна

Ответ: 0,6.

4) На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

Решение.

На клавиатуре телефона 10 цифр, из них 5 четных: 0, 2, 4, 6, 8. Поэтому вероятность того, что случайно будет нажата четная цифра, равна 5 : 10 = 0,5.

Ответ: 0,5.

5) Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?

Решение.

Сумма очков может быть равна 5 в четырех случаях: «3 + 2», «2 + 3», «1 + 4», «4 + 1».

Ответ: 4.

6) В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй — решка).

Решение.

Всего возможных исходов — четыре: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Благоприятным является один: орел-решка. Следовательно, искомая вероятность равна 1 : 4 = 0,25.

Ответ: 0,25.

7) На олимпиаде по русскому языку 250 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 120 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Решение.

Всего в запасную аудиторию направили 250 − 120 − 120 = 10 человек. Поэтому вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории, равна 10 : 250 = 0,04.

Ответ: 0,04.

8) За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

Решение.

Пусть первой за стол сядет девочка, рядом с ней есть два места, на каждое из которых может сесть 8 человек, из которых только одна девочка. Таким образом вероятность, что девочки будут сидеть рядом равна 

Ответ: 0,25.

9) У Вити в копилке лежит 12 рублёвых, 6 двухрублёвых, 4 пятирублёвых и 3 десятирублёвых монеты. Витя наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит более 70 рублей.

Решение.

У Вити в копилке лежит 12 + 6 + 4 + 3 = 25 монет на сумму 12 + 12 + 20 + 30 = 74 рубля. Больше 70 рублей останется, если достать из копилки либо рублёвую, либо двухрублёвую монету. Искомая вероятность равна 18 : 25 = 0,72.

Ответ: 0,72.

10) Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 4, но не дойдя до отметки 7 часов.

Решение.

На циферблате между семью часами и четырьмя часами три часовых деления. Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна:

Ответ: 0,25.

11) Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение.

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,5 · 0,3 = 0,15.

Ответ: 0,15.

12) Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение.

Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий: 0,94·0,94 = 0,8836.

Ответ: 0,8836.

13)

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,82. Вероятность того, что окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,51. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 10 до 17.

Решение.

Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 10 пассажиров» и В = «в автобусе от 10 до 17 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 18 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,82 = 0,51 + P(В), откуда P(В) = 0,82 − 0,51 = 0,31.

Ответ: 0,31.

14) Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение.

Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он промахивается с вероятностью 1 − 0,8 = 0,2. Cобытия попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность события «попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся» равна

Ответ: 0,02.

3. подведение итогов (выступление членов жюри) – 5 мин. В это время смотрим ролик из интернета