Дата | 11. 03.2019 |
Класс | 11«Д» |
УМК | А. Н. Колмагоров, А. М. Абрамов и др. Алгебра и начала анализа. Москва. «Просвещение» 10 - 11 класс |
Тип урока | Урок - лекция |
Тема урока | Производная и первообразная показательной функции» |
Цель урока | Познакомить с функцией , с теоремами дифференцируемости показательной функции. |
Задачи урока (планируемый результат) | - Развивать навыки логического мышления, математической речи.
- Воспитать культуру труда
- Показать практическую направленность темы.
|
Методы обучения | наглядно - иллюстративный, поисковый, исследовательский, групповой, творческий, информационно-коммуникационная деятельность. |
Формы организации ПД | коллективная, индивидуальная, групповая. |
Средства обучения | УМК, карточки рефлексии, дидактический материал, компьютер, проектор. |
Ход урока |
Деятельность учителя | Деятельность учащихся |
Познавательная | Коммуникативная | Регулятивная |
Осуществляемые учебные действия | Формируемые способы действий | Осуществляемые учебные действия | Формируемые способы действий | Осуществляемые учебные действия | Формируемые способы действий |
Организационный момент | Учитель проверяет готовность рабочего места, создаёт ситуацию успеха | Отвечают на приветствие учителя | Выделение существенной информации из слов учителя. | Взаимодействуют с учителем | Слушание учителя | Мобилизуют силы и энергию. Прогнозируют результат. | Умение настраиваться на занятие |
2. Постановка цели и задач урока | Объявляет тему урока и раскрывает обучающие цели. Повторение Учитель задаёт вопросы: - Определение производной.
- Что значит функция, дифференцируемая в точке?
- Лемма о непрерывности дифференцируемой функции.
- Определение показательной функции
- Определение логарифма
- Определение первообразной функции
- Основное логарифмическое тождество.
| Отвечают на вопросы учителя | Актуализация личного жизненного опыта. | Развивают творческую и познавательную активность | Слушают учителя, товарищей. | Контроль правильности ответов обучающихся | Умение формулировать полученные знания, умение слушать в соответствии с целевой установкой. |
3. Актуализация знаний | Объяснение нового материала. (Графики спроектированы на экран) Посмотрим на графики показательных функций при различных . Все графики проходят через точку М (0;1) и Являются плавными кривыми. Значит, в каждой их точке можно провести касательную. Но существование касательной к графику функции в точке равносильно её дифференцируемости в этой точке. Поэтому естественно предположить, что показательная функция дифференцируема во всех точках. Проведём касательную в точке М(0;1) к графикам функций. Мы видим, что чем больше основание , тем круче расположение касательной, т. е. при непрерывном изменении угловой коэффициент касательной в точке М(0;1) ( к графикам функции) будет непрерывно меняться и найдётся такое значение , для которого этот коэффициент будет равен 1. Вывод (определение) Существует такое число, больше 2 и меньше 3 (Это число обозначают буквой е), что показательная функция y = в точке Оимеет производную, равную 1. | Ребята: отвечают на вопросы, в конце обсуждение. | Компетенция обучающихся в области алгебры. | Сотрудничество учителя и ученика. | Развитие монологической речи. | Развитие регулятивной учебной деятельности. Взаимоконтроль выполнения заданий в группе. | Проверка выполненных заданий, обсуждение допущенных ошибок, их коррекция. |
4. Первичное усвоение новых знаний
4. Первичное усвоение новых знаний
| Теорема (о дифференцируемости функции y = ). Показательная функция дифференцируема в каждой точке области определения и )’ = ) Доказательство. - Найдём приращение функции в точке
![](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%7B%D1%85%7D_%7B0%7D)
∆y = - = - = ( - 1) - Составим отношение:
![](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cfrac%7B%E2%88%86y%7D%7B%E2%88%86x%7D)
= = при 0
По определению производной y’ = при любом . Замечание: Доказано, что число eиррационально и поэтому записывается в идее бесконечной десятичной непериодической дроби. Это замечательное число вошло в обиход в 18 веке.
| Работа с презентацией. Слушают, обсуждают новую информацию, рассматривают графики, решают. Пример 1 Найти , если y = ![](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%7Be%7D%5E%7B3x%7D) Решение ( )’ = ![](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%7Be%7D%5E%7B3x%7D%5Cbullet%7B%7D%5Cleft%28%7B3x%7D%5Cright%29%E2%80%99%3D3%7Be%7D%5E%7B3x%7D)
| Формирование умения сравнивать | Работа в группах и индивидуально. | Умение работать в команде, распределение ролей, опыт выступления. | Контроль за работой обучающихся Самоконтроль и взаимоконтроль выполнения задания. | Умение работать в соответствии с целевой установкой. Планирование своих действий. |
В современной математике число «е» играет важную роль. С помощью ЭВМ найдено более 2000 знаков после запятой e = 2,7118281928459045… Функцию ещё называют экспонентой и обозначают expx. Экспонентами называют и функции более общего вида y = . Определение: Натуральным логарифмом Называется логарифм по основанию e: ln x = ![](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=x%5C+) По основному логарифмическому тождеству для любого положительного числа ![](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%CE%B1%3A) =![](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5C+%CE%B1)
Поэтому = ( = ![](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%7Be%7D%5E%7B%7Bxl%7D_%7Bn%7Da%7D) |
| Усвоение новых знаний, умение работать в коллективе. | Работа в группах | Строить монологическое высказывание | Обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание изучаемого материала учащимися. | Формирование навыков работы с информацией. Формирование навыков работы с графиками. |
Теорема 2. При любом положительном функция дифференцируема в каждой точке области определения и( )’ = ![](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%7B%5Calpha%7B%7D%7D%5E%7B%7Bxl%7D_%7Bn%7Da%7D)
| Доказывают теорему 2. Один ученик у доски, остальные в тетрадях. Доказательство: ( )’=( ’= = ![](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%7B%5Calpha%7B%7D%7D%5E%7B%7Bxl%7D_%7Bn%7Da%7D) Следствие. Показательная функция непрерывна в каждой точке своей области определения, т. е. при любом и любом имеем при x![](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5C+%E2%86%92%7Bx%7D_%7B0%7D)
| Выявление следственно - причинных связей. | Ответы на поставленный вопрос. | Умение высказывать свою точку зрения, оценивают результат. | рефлексия своих действий, объективная самооценка результатов своей деятельности.
| Использование речи для регуляции своего действия. |
5. Первичная проверка понимания | Даёт учащимся задание работать с карточками, задаёт вопросы. Наблюдает за работой учащихся.
| Выбирают карточку, решают Пример 2 Найти ( )’; ( )’ ( )’= ; ( )’=-3![](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cbullet%7B%7D%7B5%7D%5E%7B-3x%7D%7Bl%7D_%7Bn%7D5) Пример 3 Исследовать на возрастание (убывание) и экстремумы функцию y= x![](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%7Be%7D%5E%7Bx%7D) Решение y’=(x )’= x ’ +x( ) ’= +x = (1+x) y’= (1+x); для любого x y’ при x , y’ при x![](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%3C-1)
x | (- ; -1) | -1 | (-1; + ;) | y’ | - | 0 | + | y | ![](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%E2%86%98)
| -![](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D) | ↗ |
![](https://lh4.googleusercontent.com/Zqu-lw05P75Eiu9nFCpjjdTxm_IcfN02TWsZ8w4MhIPA5lIdqivyRO1HoO5aXnWU_Rbj8Es6dmx9ywx3KN0pfQw3DcCay1Yt2lDx0MJtDTmiX_FIwliwg7Jse_SFdnbVr6rdAdaTeD6Jl5KiZg)
|
| Работа в группах | Умение работать в команде |
|
|
6. Первичное закрепление | Теорема 3Функция есть первообразная для функции на R Первообразной для функции на Rявляется функция ![](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cfrac%7B%7B%5Calpha%7B%7D%7D%5E%7Bx%7D%7D%7B%7Bl%7D_%7Bn%7Da%7D)
Пример 4. Найти первообразные для функции ; б. 3 ; в. 5![](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%7Be%7D%5E%7B3x%7D)
Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y= , y=0, x=-1, x=2
| Доказывают теорему, отвечают на вопросы учителя. Доказательство: )’= для всех x )’ = ( )’ =![](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cfrac%7B1%7D%7B%7Bl%7D_%7Bn%7Da%7D%E2%88%99%5C+%7B%5Calpha%7B%7D%7D%5E%7Bx%7D%7Bl%7D_%7Bn%7Da%3D%7B%5Calpha%7B%7D%7D%5E%7Bx%7D)
Решение - F(x) =
; б. F(x) = ; в. F(x) =![](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cfrac%7B5%7Be%7D%5E%7B3x%7D%7D%7B3%7D)
Решение
![](https://lh4.googleusercontent.com/sT4jJY5ac__rDmYM0zNAZ-bxjYAISx9LbdAW4ph_mgMLzDhEHOfyaah_eL7TrRJSX44ZbZ_ZZqxoFwhxcnWGWemvYfByJ7j3J1qOzNwDEpsA7V7i4GzacGjkzDjME8ZGXWfkN7_Fs7PZBtJskA)
S= dx= = - = - = ![](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7Bl%7D_%7Bn%7D2%7D) Ответ: S= ![](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7Bl%7D_%7Bn%7D2%7D) | Перенос знаний в новые условия | работа в команде | Обсуждение. | Самооценка результатов своей деятельности.
| Выделение и осознание учащимися того что уже усвоено и что подлежит усвоению |
7. Домашнее задание | Информация о домашнем задании. Обеспечить понимание учащимися цели, содержания и способов выполнения ДЗ. Дает дифференцированное ДЗ. Представление права выбора ДЗ. | Делают выбор ДЗ, задают вопросы |
| Обсуждение вариантов ДЗ. | Осуществление выбора в выполнении ДЗ. |
|
|
8. Итог урока
| Подводит итоги учебного занятия: На уроке изучены новые понятия и теоремы | Отвечают на вопросы. | Осознанно и произвольно строят речевое высказывание | Формулируют собственное мнение и позицию. |
| Проводят контроль, самоконтроль |
|
9. Рефлексия
| Выявить уровень достижения учебных задач урока. Дать оценку результата учебной деятельности класса и отдельных учеников. Подвести итог занятия вместе с учащимися. Чему научились, что нового узнали на уроке? С середины 17 в. появилось предположение, что число е иррационально. Однако доказать эту догадку долгое время даже не пытались. И только в 1766 году Ламберт доказал, что «е» иррационально. Особый интерес к числу «е», проявившейся в 18 столетии, был вызван исключительной ролью, которое это число стало играть в математическом анализе. Оно входит в большое число формул. Логарифмы по основанию «е» позволяют выражать математическую зависимость, которая характеризует разнообразные химические, физические и др. процессы. По-видимому, этим и объясняется название «натуральные логарифмы», т. е. естественные.
| Подводят итог своей учебной деятельности (УД), оценивают результат своей УД. | Осознанно и произвольно строят речевое высказывание
| Использование речи для регуляции своего действия | Развитие монологической речи. | Подводят итог своей работы. | Объективная самооценка результатов своей деятельности. |