Повторительно-обобщающий урок по теме Свойства показательной функции. Решение показательных уравнений
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Учитель математики МОУ «Петровская СОШ» Приданникова Г.В.

Повторительно-обобщающий урок по теме

Свойства показательной функции.

Решение показательных уравнений

 Цели:

-повторить свойства показательной функции;

-проверить навыки выполнения заданий ЕГЭ базового уровня по данной теме;

- повторить и систематизировать способы решения показательных уравнений;

-расширить представления учащихся о показательной функции, применении её свойств в нестандартных ситуациях;

-развивать интерес к истории математики и её практическим приложениям;

-воспитывать познавательную активность, чувство ответственности, культуру общения

Технологии: ИКТ, проектная, дифференцированное обучение.

Компетенции: учебно-познавательная, информационная, коммуникативная.

Оборудование: компьютер, мультимедийная презентация

Ход урока

1. Организационный момент.
2. Домашнее задание: 1 уровень: Сборник ЕГЭ №424,№784, №837, №899, №995, №1026

2 уровень:учебник №166(в,г), №167 (а,б), №168(в,г)

3. Актуализация знаний. (устная работа)

(презентация)

1. Дайте определение показательной функции

2. Сформулируйте основные свойства показательной функции

1. Область определения – множество действительных чисел (R)
2. Область значений – множество положительных действительных чисел   (R+)
3.   При       - функция возрастает на всей числовой прямой

При  - функция убывает на всей числовой прямой

4. При любых х и у

3. Какие из перечисленных функций являются показательными?

4. Какие из перечисленных функций являются

а) возрастающими?

б) убывающими?

5. При каком значении a график функции  проходит через точку:

1. P(1;2)  
2. M(
3. C(3;125)  
4. M (2;9)      

6. Сравните с единицей:

7. Решите уравнение:

   x=2   

      x=3        x = -4  

4.   (каждому учащемуся  выдаётся вариант работы, ответы записываются для дальнейшей самопроверки)

5. Проверка самостоятельной работы (слайд)
6. Сообщение учащегося «Из истории числа е» (презентация)

Текст к презентации

Из истории числа е

• Число «е» играет в высшей математике огромную роль, - не меньшую, пожалуй, чем знаменитое число Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен .

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует.

Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.

• Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода. Бернулли показал, что процентный доход в случае сложного процента имеет предел: и этот предел равен 2,71828…
• Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.
• Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще,  и в наши дни является стандартным обозначением.

Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой.

• Число можно запомнить как 2, 7 и затем повторяющиеся 18, 28, 18, 28,45,90,45
• Мнемоническое правило: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), цифры 45, 90 и 45 можно запоминать как «год победы над фашистской Германией, затем дважды этот год и снова он».
• затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45, 90 и 45 градусов).
• Правила e связывается с президентом США Эндрю Джексоном: 2 — столько раз избирался, 7 — он был седьмым президентом США, 1828 — год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем  углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45, 90 и 45 градусов).
• —Число е с точностью до трёх знаков после запятой определяется через «число дьявола»: нужно разделить 666 на число, составленное из цифр 6−4, 6−2, 6−1 (три шестёрки, из которых в обратном порядке удаляются три первые степени двойки): .
• Число е играет огромную роль в математике, физике, астрономии и других науках. Вот лишь некоторые вопросы, при математическом рассмотрении которых приходится пользоваться этим числом (список можно увеличивать неограниченно):

Барометрическая формула(уменьшение давления с высотой)

Закон охлаждения тел

Радиоактивный распад и возраст Земли

Колебания маятника в воздухе

Колебательные явления в радиоконтуре

Рост клеток

V. Работа по теме урока (Решение уравнений)

Цитата А.Энштейна « Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно.»

7. Сообщение учащегося «Применение показательной функции» (презентация)

Текст к презентации.

Тема «Показательная функция» является основополагающей при изучении таких тем, как «Производная показательной функции», «Термодинамика», «Электромагнетизм», «Ядерная физика», «Колебания», используется для решения некоторых задач судовождения.

1) Все, наверное, замечали, что если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее. Дело в том, что скорость остывания пропорциональна разности между температурой чайника и температурой окружающей среды. Чем меньше становится эта разность, тем медленнее остывает чайник. Если сначала температура чайника равнялась То, а температура воздуха T1, то через t секунд температура Т чайника выразится формулой:

T=(T1-T0)e-kt+T1,

где k - число, зависящее от формы чайника, материала, из которого он сделан, и количества воды, которое в нем находится.

2) При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно возрастает. При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти определенной величины. Рассмотрим задачу о падении парашютиста. Если считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости падения парашютиста, т.е. что F=kv , то через t секунд скорость падения будет равна: v=mg/k(1-e-kt/m), где m - масса парашютиста. Через некоторый промежуток времени е-kt/m станет очень маленьким числом, и падение станет почти равномерным. Коэффициент пропорциональности k зависит от размеров парашюта. Данная формула пригодна не только для изучения падения парашютиста, но и для изучения падения капли дождевой воды, пушинки и т.д.

3) Много трудных математических задач приходится решать в теории межпланетных путешествий. Одной из них является задача об определении массы топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Эта масса М зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости v0, с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя. Если не учитывать сопротивление воздуха и притяжение Земли, то масса топлива определится формулой: M=m(ev/v0-1) (формула К.Э.Циалковского). Например, для того чтобы ракете с массой 1,5 т придать скорость 8000 м/с, надо при скорости истечения газов 2000 м/с взять примерно 80 т топлива.

4) Когда радиоактивное вещество распадется, его количество уменьшается. Через некоторое время остается половина первоначального количества вещества. Этот промежуток времени to называется периодом полураспада. Вообще через t лет масса m вещества будет равна: m=m0(1/2)t/t0, где m0 - первоначальная масса вещества. Чем больше период полураспада, тем медленнее распадается вещество. Явление радиоактивного распада используется для определения возраста археологических находок, например, определен примерный возраст Земли, около 5,5 млрд. лет, для поддержания эталона времени.

5)  Для планирования развития городов, других населённых пунктов, строительства жилья, дорог, других объектов мест проживания людей, необходимы расчёты – прогнозы на 5, 10, 20 лет вперёд.

        Покажем, как в таких расчётах применяются показательная функция и логарифмы.

        Задача.  Население города возрастает ежегодно на 3%. Через сколько лет население этого города увеличиться в 1,5 раза?

         Для решения этой задачи применим формулу сложных процентов:

          Примем население города за a, тогда А = 1,5а, p = 3 и x – неизвестно. Сделав подстановку в формулу и сократив на а, получим:

 или

        Чтобы решить это показательное уравнение прологарифмируем его.

 откуда x =

        Ответ: Примерно через 14 лет.

Как видите, во всех приведенных выше исследованиях использовалась показательная функция.

Вот некоторые из Нобелевских лауреатов, получивших премию за исследования в области физики с использованием показательной функции:

Пьер Кюри - 1903 г.

Ричардсон Оуэн - 1928 г.

Игорь Тамм - 1958 г.

Альварес Луис - 1968 г.

Альфвен Ханнес - 1970 г.

Вильсон Роберт Вудро - 1978 г.

8. Подведение итогов.