Конспект урока по теме "Различные способы решения одного логарифмического неравенства" в 2 частях
план-конспект занятия по алгебре (11 класс)

План-конспект урока на тему «Различные способы решения одного логарифмического неравенства» (часть 1).

Автор: Семёнов Илья Владимирович,
учитель ГАОУ РМЭ «Лицей Бауманский».

Цель урока: показать многообразие способов решения логарифмических неравенств.

Задачи урок:

- образовательная: научить учащихся решать сложные логарифмические неравенства рациональным способом, при этом правильно применять свойства логарифма;  

- развивающая: развитие умения составлять алгоритмические предписания и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом, развить навык рационального способа решения задач, развивать творческое мышление;

- воспитательная: воспитать культуру оформления сложных логарифмических неравенств, культуру графической иллюстрации, самостоятельность, внимательность, умение работать в коллективе, умение вести диспут.

Тип урока: урок решения одной задачи.

Метод преподавания: словесный, объяснительно-иллюстративный.

Требования к учащимся:

1. учащиеся должны знать: определение логарифма, его свойства; формулу перехода к новому основанию; особенности решения логарифмических неравенств по разному основанию; определение модуля.
2. учащиеся должны уметь: решать дробно-рациональные неравенства, использовать метод интервалов, раскрывать модуль.

Оборудование: мел, доска.

Формы работы: фронтальная, индивидуальна, групповая.

Структура урока:

1. Организационная часть урока.

Проверка учащихся и класса к уроку: наличие учебников и тетрадей, тишина в классе, чистота доски и влажность губки. Приветствие учащихся.

2. Основная часть. Первичное закрепление.

Учащимся сообщается тема урока и задачи, которые необходимо достичь.

Учащимся предлагается решить логарифмическое неравенство:

и 5-7 минут на нахождения решений.

Учителю необходимо скоординироваться между 4-мя способами решений и решениями, предлагаемыми учащимися.

1 способ. По определению логарифма с использованием модуля.

Прежде чем приступить к решению логарифмического неравенства учащимся предлагается составить некоторый алгоритм для решения логарифмических уравнений и неравенств. Его суть заключается в следующем:

1. Нахождение области допустимых значений (О.Д.З.) логарифмического уравнения или неравенства, или же когда оно существует.
2. Решить логарифмическое уравнение или неравенство и проверить влияет ли О.Д.З.
3. Найти пересечение множеств решения О.Д.З. и решения логарифмического уравнения или неравенства.

О.Д.З.:     .

Данные неравенства системы равносильны друг другу и имеют одно решение: .

Переходим к решению логарифмического уравнения.

Воспользуемся определением модуля: .

Решим первую систему совокупности:

Решим первое неравенство системы:

Решим второе неравенство системы:

Одна из основных и частых проблем при решении логарифмических уравнений и неравенств является то, что они переходят в дробно-рациональные неравенства. Учащихся можно спросить:

1. Какого вида является данное неравенство?
2. Как решаются данного вида неравенства?

С данного шага можно спросить учащихся, что есть метод рационализации и в чем он заключается?

Решением данного неравенства является:

Найдем пересечение множеств первой системы совокупности: :  Решение данной системы:

Переходим к решению второй системы совокупности:

Решим первое неравенство системы:

Решим второе неравенство системы:

Разложим числитель на линейные множители. Для это найдем его корни. Т.к. дискриминант данного выражения меньше , то выражение в числителе не имеет решения.

Решением данного неравенства является промежуток  и он совпадает с решением первого неравенства системы (соответственно решение второй системы совокупности).

Найдем объединение множеств совокупности: .

Решение данной совокупности является промежуток: .

Найдем пересечение множеств решения логарифмического неравенства и О.Д.З.: . Решение данной системы является промежуток: .

Итак, данное логарифмическое неравенство решено при помощи модуля. Довольно часто учащиеся не хотят,, а порой и не могут правильно решить логарифмическое неравенство с модулем, как же им поступить в данном случае? На помощь в данном случае приходит второй способ решения данного логарифмического неравенства.

2 способ. По определению логарифма без использования модуля.

О.Д.З. как и для прошлого неравенства остается таким же

  и имеет аналогичное решение: .

Переходим к решению логарифмического уравнения.

С данного шага стоит акцентировать внимание на двух возможных путях решения:

1) решать, как было решено в первом способе.

2) не избавляться от степени логарифма и переходить к его решению.

С данного шага можно спросить у учащихся как можно поступить для решения данного дробно-рационального неравенства. Возможные ответы:

1. раскрыть скобки в числителе и разложить его на линейные множители;
2. приглядеться и увидеть разность квадратов.

Решим по второму пути:

Разложим числитель на линейные множители. Для это найдем его корни. Т.к. дискриминант данного выражения меньше , то выражение в числителе не имеет решения.

В знаменателе квадрат линейного выражения. На этом стоит акцентировать внимание, так как зачастую учащиеся забывают, что у корней линейных выражений, степень которых четна необходимо сделать «петлю».

Решением данного неравенства является промежуток: .

Осталось найти пересечение множеств решения логарифмического неравенства и О.Д.З.: .

Решение данной системы является промежуток: , как и при решении первым способом.

3. Информация о домашнем задании.

Решить логарифмическое неравенство аналогично способами разобранным на уроке:

Ответ:

Можно дать совет, чтобы учащиеся разложили знаменатель подлогарифмического выражения на линейные множители.

4. Подведение итогов урока.

Учитель спрашивает, полезна ли была данная информация для учащихся, весь ли материл был доступен и понятен. Есть ли у учащихся вопросы?

Учитель прощается. Урок окончен.

План-конспект урока на тему «Различные способы решения одного логарифмического неравенства» (часть 2).

Автор: Семёнов Илья Владимирович,
учитель ГАОУ РМЭ «Лицей Бауманский».

Цель урока: показать многообразие способов решения логарифмических неравенств.

Задачи урок:

- образовательная: научить учащихся решать сложные логарифмические неравенства рациональным способом, при этом правильно применять свойства логарифма;  

- развивающая: развитие умения составлять алгоритмические предписания и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом, развить навык рационального способа решения задач, развивать творческое мышление;

- воспитательная: воспитать культуру оформления сложных логарифмических неравенств, культуру графической иллюстрации, самостоятельность, внимательность, умение работать в коллективе, умение вести диспут.

Тип урока: урок решения одной задачи.

Метод преподавания: словесный, объяснительно-иллюстративный.

Требования к учащимся:

1. учащиеся должны знать: определение логарифма, его свойства; формулу перехода к новому основанию; особенности решения логарифмических неравенств по разному основанию; метод рационализации;
2. учащиеся должны уметь: решать дробно-рациональные неравенства, использовать метод интервалов.

Оборудование: мел, доска.

Формы работы: фронтальная, индивидуальна, групповая.

Структура урока:

1. Организационная часть урока.

Проверка учащихся и класса к уроку: наличие учебников и тетрадей, тишина в классе, чистота доски и влажность губки. Приветствие учащихся.

2. Проверка домашнего задания.

Учащимся предлагалось решить логарифмическое неравенство аналогично способами разобранным на прошлом уроке:

Ответ:

3. Основная часть. Первичное закрепление.

Учащимся сообщается тема урока и задачи, которые необходимо достичь.

Учащимся предлагается решить логарифмическое неравенство:

и 5-7 минут на нахождения решений.

3 способ. Использую свойства логарифма (его разложение).

Как и прежде решение логарифмического неравенства начинаем с нахождения его области допустимых значений.

О.Д.З.:     ,

и имеет решение .

Переходим к решению логарифмического уравнения.        

Стоит дать возможность решить учащимся, так как они заходят, при этом учитель лишь конспектирует слова учащихся на доске.

Таково возможное решение учащихся.

Решением данного неравенства является:

Найдем пересечение решения логарифмического неравенства и О.Д.З.: .Решением данной системы является промежуток .

С данного шага можно попросить учащихся сравнить ответ. Учащиеся замечают, что ответы различны, что нет еще одного промежутка.

Возможные варианты исхода (ответы учащихся):

1. Т.к. нет одного промежутка, то возможно в ходе решения мы что-то забыли учесть и отбросили корень.
2. Учащиеся захотят сравнить решения и заметят, что в выражении (*) в знаменателе не хватает модуля.

Далее учитель задает наводящие вопросы:

1. О.Д.З. логарифма что является?
2. При каких случаях подлогарифмическое выражение больше нуля.

В нашем случае роль подлогарифмических выражений выполняют .

Второй вопрос можно поставить иначе: когда произведение и частное двух множителей больше нуля. Ответ: когда оба из них положительны или когда оба из них отрицательны.

После этого умозаключения учащиеся должны прийти к выводу, что мы рассмотрели, когда оба выражения принимали положительные значения, а область допустимых значений это промежуток . Следовательно, мы рассмотрели случай когда .

С учетом введенных ограничений получаем . Решением данной системы является промежуток .

Теперь необходимо рассмотреть как ведет наше выражение на промежутке

С данного шага у учащихся может стать вопрос а как же расскрывать выражение с отрицательным знаком. Выражение примет следующий вид.

Решением данного дробно-рационального неравенства является промежуток

С учетом введенных ограничений получаем, что решение

Объединим решения на промежутках  и , т.е. .

Ответ совпал с первыми двумя способами.

Но главное заключается в следующем. При использовании разложения логарифма часто допускается ошибка. И часто в учебниках так же на это не акцентируется внимания, разве что только в профильных учебниках в замечаниях написанных маленьким почерком. А разложение принимает следующий вид:

Осталось решить 4 способом.

4 способ (Метод рационализации).

Учащимся предлагается вспомнить суть метода рационализации для выражения вида:  

Воспользуемся методом рационализации:

Найдем пересечение множеств решения логарифмического неравенства и О.Д.З.: . Получаем:

Ответ: .

Итак, мы решили данное неравенство 4 способами. Дело каждого ученика, каким способом решать. Задача учителя – показать его возможности.

4. Информация о домашнем задании.

Решить логарифмическое неравенство аналогично способами разобранным на уроке:

Ответ:

5. Подведение итогов урока.

Учитель спрашивает, полезна ли была данная информация для учащихся, весь ли материл был доступен и понятен. Есть ли у учащихся вопросы?

Учитель прощается. Урок окончен.