Диагностический тест – 1

1. Составьте по образцу систему уравнений к задаче:

Для приготовления коктейля используют молоко, жирностью 2%, и мороженое, жирность которого 10%. Сколько грамм мороженого нужно взять, чтобы получить 500 грамм коктейля жирность которого 4%?

Образец

2. Выберите систему, соответствующую условию задачи

3. Составьте систему уравнений по условию задачи:

Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявлений за 8 ч. Если первый оператор будет работать 3 ч, а второй 12 ч, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?

Диагностический тест – 2

1. Составьте по образцу систему уравнений к задаче:

Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то получится в частном 4 и в остатке 3. Если же это число разделить на произведение его цифр, то получится в частном 3 и в остатке 5. Найдите это число.

Образец

     При делении двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 6, а в остатке 4. При делении этого же числа на произведение его цифр в частном получается 2, а в остатке 16. Найти это число.

►

Пусть двузначное число будет записано как 10х+у. Используя правило о взаимодействии компонентов при делении с остатком, составим систему:

2. Выберите систему, соответствующую условию задачи

3. Составьте систему уравнений по условию задачи:

Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава.

Диагностический тест – 3

1. Составьте по образцу систему уравнений к задаче:

Из двух городов вышли одновременно навстречу друг другу поезда и встретились через 18 часов. Определи скорость каждого поезда, если расстояние между городами 1620 км, а скорость одного поезда на 10 км больше, чем скорость другого.

Образец

Расстояние между городами 564 км. Навстречу друг другу из городов одновременно вышли поезда и встретились через 6 часов. Скорость одного поезда на 10 км больше скорости другого. Чему равна скорость каждого поезда?

►

      Пусть х км/ч - скорость 1-го поезда, а у км /ч – скорость 2-го поезда. По условию задачи поезда встретились через 6 ч. Тогда, 6х км - пройдёт до встречи 1-й поезд, 6у км - 2-й поезд. Их встреча означает, что суммарно они прошли путь в 564 км.

      Скорость 1-го поезда на 10 км/ч больше скорости 2-го, то есть, разность между скоростями равняется 10. В итоге получим систему уравнений:

2. Выберите систему, соответствующую условию задачи

3. Составьте систему уравнений по условию задачи:

      После деления некоторого двузначного числа на сумму его цифр получается 7 и в остатке 6. После деления этого же числа на произведение его цифр в частном получается 3 и в остатке 11. Найдите искомое двузначное число

Диагностический тест – 4

    1. Составьте по образцу систему уравнений к задаче:

Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявлений за 8 ч. Если первый оператор будет работать 3 ч, а второй 12 ч, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?

Образец

Два мастера, работая вместе, могут выполнить заказ за 6 ч. Если первый мастер будет работать 9 ч, а потом его сменит второй, то он закончит работу через 4 ч. За сколько времени может выполнить заказ каждый из мастеров, работая отдельно?

►     Всю работу примем за единицу. Пусть ч требуется первому мастеру для выполнения заказа, ч – второму.  Тогда за 1 час первый сделает часть заказа, а второй   часть заказа, тогда за 6 ч первый сделает  частей, а второй частей заказа и выполнят весь заказ, т.е. 1. За 9 ч первый сделает   частей заказа, а второй за 4 часа   частей заказа. По условию задачи вместе это составит весь заказ, то есть 1. Составим систему уравнений:  

2. Выберите систему, соответствующую условию задачи

3. Составьте систему уравнений по условию задачи:

      Катер может пройти 40 км против течения реки 80 км по течению за 6 ч 30 мин, а 80 км против течения и 40 км по течению за 7 ч. Определите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Лист развития -1.1                                     Ф.И.________________

1. Весной катер идёт против течения реки в  раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в  раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

2. Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

3. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 2 дня выполняет такую же часть работы, какую второй – за 3 дня?

Лист развития -2.1                                     Ф.И.________________

1. Весной катер идёт против течения реки в 2 раза медленнее, чем по течению. Летом скорость течения становится на 2 км/ч меньше. Поэтому летом катер идёт против течения в  раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч)

2. Имеются два сосуда, содержащие 4 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 57% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

3. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 3 дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за 4 дня?

Лист развития -3.1                                     Ф.И.________________

1. Весной катер идёт против течения реки в  раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в  раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

2. Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 30 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 73% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 72% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

3. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 9 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 5 дней выполняет такую же часть работы, какую второй — за 3 дня?

Лист развития -4.1                                     Ф.И.________________

1. Весной катер идёт против течения реки в 2 раза медленнее, чем по течению. Летом скорость течения становится на 2 км/ч меньше. Поэтому летом катер идёт против течения в  раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч)

2. Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 33% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

3. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 20 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 3 дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за 4 дня?

Самостоятельная работа                             Ф.И.__________________

Заполните пропуски в системах уравнений:

1. Два комбайна, работая вместе, могут выполнить задание за 6 часов. Первый комбайн, работая один, выполняет задание на 5 часов дольше, чем второй комбайн. За сколько времени может выполнить задание первый комбайн, работая один?

2. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите число.

   3. Смешали 10% -ный и 25% -ный растворы соли и получили 3 кг 20% -ного раствора. Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано? 

4. Составьте систему уравнений к задаче:

Мастер и ученик должны были выполнить некоторое задание. После четырех дней совместной работы ученик был переведен в другой цех, и, чтобы закончить выполнение задания, мастеру пришлось еще 2 дня работать одному. За сколько дней мог бы выполнить каждый из них это задание, если известно, что мастеру для этого требуется на 3 дня меньше, чем ученику?

Самостоятельная работа                             Ф.И.__________________

Заполните пропуски в системах уравнений:

1. Две бригады, работая вместе выполнили работу за 12 дней. Сколько дней потребовалось бы каждой бригаде на выполнение этой работы, если одной из них на это требуется на 10 дней меньше, чем другой?

2. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 50. Если от этого числа вычесть 54, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите число.

3. Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй - 20% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 15% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго? 

4. Составьте систему уравнений к задаче:

Две машинистки получили рукопись для перепечатки. Известно, что второй машинистке потребовалось бы на перепечатку всей рукописи на 3 дня больше, чем первой. За какое время смогла бы перепечатать всю рукопись каждая машинистка, если вторая работала 6 дней, а первая – на 4 дня больше?

Технология «полного усвоения» на уроках математики

Решение задач с помощью систем уравнений (урок 1)

Цель: обучение решению задач с помощью систем уравнений

Задачи: - научить учащихся составлению систем уравнений к текстовым задачам;

- прививать учащимся интерес к предмету посредством применения информационных технологий; воспитывать интерес к познавательному процессу; терпеливость; упорство в достижении цели, аккуратность при выполнении заданий;

- развивать познавательные способности учащихся, внимание, память, логическое мышление, сообразительность.

Этапы урока:

1. Оргмомент

2. Изучение нового материала

3. Закрепление

4. Домашнее задание

5. Рефлексия

1. Оргмомент

2. Изучение нового материала

При решении задач можно вводить две переменные и составлять систему уравнений.

Решить задачу двумя способами: «Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7 см больше другого».

Решение:

1 способ-  уравнением (с помощью одной переменной).

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен х см, а второй катет – х+7 см. Используя теорему Пифагора, составим уравнение:

х²+(х+7)²=13²

х²+х²+14х+49-169=0

2х²+14х-120=0

х²+7х-60=0

Д=49-4х1х(-60)=289

х1=-12 - не удовлетворяет условию х>0,  х2=5

Один катет равен 5 см, второй 12 см

2 способ- с помощью введения двух переменных.

Пусть первый катет х см, второй катет у см (х>0, у>0)

,

,

,

2у²+14у-120=0

у²+7у-60=0

у1=5, у2=-12 (не удовл. условию)

если у=5, то х=7+5=12

один катет равен 5 см, второй катет 12 см

Ответ: 12 см, 5 см

При решении задач с помощью системы уравнений можно придерживаться следующего алгоритма:

1. Внимательно изучить условие задачи;
2. Обозначить буквами искомые величины;
3. Выразить искомые величины через данные;
4. Составить уравнения и из них соответствующую систему;
5. Найти решение системы;
6. Проверить, какие из решений системы удовлетворяют условиям задачи.

Рассмотрим основные типы задач, которые можно решить с помощью систем уравнений и алгоритмы составления к ним систем.

1. Задачи на совместную работу
2. Задачи, в которых используется формула двузначного числа
3. Задачи на смеси, сплавы, растворы
4. Задачи на движение

1. Задачи на совместную работу

Алгоритм решения задач на совместную работу

1. Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить за 1.

2. Находим производительность труда каждого рабочего в отдельности, где t – время, за которое этот рабочий может выполнить всю работу, работая отдельно.

3. Находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий отдельно за время их совместной работы.

4. Составляем уравнение, приравнивая объем всей работы к сумме слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненная отдельно каждым из рабочих

Задача №1

Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной работе они закончат уборку урожая за 35 часов. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай?

Составим систему:

Задача №1.1 (Составить систему уравнений по образцу)

Две бригады, работая совместно, могут выполнить некоторое задание за 3 ч 36 мин. Сколько времени затратит на выполнение этого задания каждая бригада, работая в отдельности, если известно, что первой бригаде требуется для этого на 3 часа больше времени, чем второй.

2. Задачи, в которых используется формула двузначного числа

Алгоритм решения задач на использование формулы двузначного числа

1. Вводится обозначение: х – цифра десятков, у – цифра единиц

2. Искомое двузначное число 10х + у

3. Составить систему уравнений

Задача №2

Двузначное число в четыре раза больше суммы его цифр. Если к этому числу прибавить произведение его цифр, то получится 32. Найдите это двузначное число.

Пусть х – цифра десятков, у – цифра единиц. Тогда 10х + у – искомое число. Составим систему:

Задача №2.1 (Составить систему уравнений по образцу)

Двузначное число в трое больше суммы его цифр. Если из этого числа вычесть произведение его цифр, то получится 13. Найдите это двузначное число.

3. Задачи на смеси, сплавы, растворы

Алгоритм решения задач на смеси, сплавы, растворы

1. Пусть х – масса первого раствора, у – масса второго раствора, (х + у ) – масса полученной смеси. 

2. Найти содержание растворенного вещества в растворах, т.е. а % от х, в % от у, с % от (х+у) 

3. Составить систему уравнений.

Задача №3

Смешали 30% -ный раствор соляной кислоты с 10% -ным и получили 600г 15% -ого раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято? 

Введем обозначение. Пусть взяли х г первого раствора, у г – второго раствора, тогда масса третьего раствора – (х+у) г. 

Определим количество растворенного вещества в первом, втором, третьем растворах, т.е. найдем 30% от х, 10% от у, 15% от 600.  Составим систему уравнений:

Задача №3.1 (Составить систему уравнений по образцу)

Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого их этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля? 

3. Закрепление (решение задач)

Одна из дорожных бригад может заасфальтировать некоторый участок дороги на 4 ч быстрее, чем вторая. За сколько часов может заасфальтировать этот участок каждая из бригад, работая отдельно, если известно, что за 24 ч совместной работы они заасфальтировали 5 таких участков?

    х = у + 4      D = 784+1920=2704    у=28+52      у = 8 ч    х = 12 ч

4. Домашнее задание: №37-39, выучить алгоритмы

5. Рефлексия

Технология «полного усвоения» на уроках математики

Решение задач с помощью систем уравнений (урок 2)

Цель: обучение решению задач с помощью систем уравнений

Задачи: - отработка навыков составления систем уравнений к задачам и навыков

                решения систем уравнений;

              - развивать познавательные способности учащихся, внимание, память,  

                логическое мышление, сообразительность; навыки самостоятельной

                работы.

Этапы урока:

1. Оргмомент

2. Проверка выполнения д/з

3. Устная работа

4. Решение задач на составление систем

5. Диагностический тест

6. Домашнее задание

7. Рефлексия

1. Оргмомент

«Чем невозможнее кажется задача, тем интереснее её решать»  Этель Лилиан Войнич (95 лет), англ. , америк. писательница, автор романа «Овод»

2. Проверка выполнения д/з

№37

Пусть х – первое число, у – второе число. Составим систему:

Ответ: 15 и 9, -9 и -15

№38

Пусть х – большее число, у – меньшее число. Составим систему:

Ответ:24 и 6, 19,5 и 1,5

№39

Пусть х – длина прямоугольника, у – ширина. Составим систему:

Ответ: 3 см и 4 см

3. Устная работа

Определить тип задачи, повторить алгоритм, составить систему уравнений

1. Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

2. Два мастера, работая вместе, могут выполнить заказ за 6 ч. Если первый мастер будет работать 9 ч, а потом его сменит второй, то он закончит работу через 4 ч. За сколько времени может выполнить заказ каждый из мастеров, работая отдельно?

3.  Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

4. Решение задач на составление систем

1. За 7 часов катер прошел 60 км по течению реки и 64 км против течения реки. На следующий день катер  за 7 часов прошел 80 км по течению реки и 48 км против течения. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Решение:

Пусть км/ч собственная скорость катера и  км/ч скорость течения реки.

Тогда скорость по течению реки равна км/ч, а скорость против течения равна км/ч.

По течению реки 60 км катер прошел за  ч, а 64 км против течения реки за ч. Всего затратил 7 часов. Из первого предложения получаем уравнение

Рассуждая аналогично, получим второе уравнение

Имеем систему уравнений

Данную систему рационально решать методом замены переменной.

Ответ: Собственная скорость катера 18 км/ч, скорость течения реки 2 км/ч

2.  Один насос может наполнить бассейн на 24 часа быстрее, чем другой. Через 8 часов после того, как был включен второй насос, включили первый, и через 20 часов совместной работы оказалось, что заполнено 2/3 бассейна. За сколько часов может наполнить бассейн каждый насос, работая самостоятельно?

Пусть за х ч  полностью наполняет бассейн первый насос, за у ч – второй и х < у.

х2  - 48х -720 = 0, х1 = 60 ч – первый насос, х2 = -12- п.к., тогда 60 + 24 = 84 ч – второй насос

Ответ: 60 ч и 84 ч

5. Диагностический тест (см.приложение)

6.Домашнее задание: №41, 58, №22(ОГЭ)

№22 (ОГЭ)

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?.

Технология «полного усвоения» на уроках математики

Решение задач с помощью систем уравнений (урок 3)

Цель: обучение решению задач с помощью систем уравнений

Задачи: - отработка навыков составления систем уравнений к задачам и навыков

                решения систем уравнений;

               - развитие знаний учащихся, освоивших алгоритмы составления систем

                 уравнений к задачам, коррекция знаний остальных учащихся.

                - развитие познавательные способностей учащихся, внимания, памяти,  

                логического мышления, сообразительности; навыков самостоятельной

                работы

Этапы урока:

1. Оргмомент

2. Проверка выполнения д/з

3. Анализ результатов диагностического теста

4. Работа с учащимися:

а) Развитие: решение задач из ОГЭ

б) коррекция знаний + самостоятельная работа

5. Рефлексия

6. Домашнее задание

1. Оргмомент

      «Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить её. Без сильного желания решить задачу невозможно. Где есть желание, найдётся путь!»

Дьёрдь По́йа  — венгерский, швейцарский и американский математик.(97 лет)

Живя в США, Пойа много работал со школьными учителями математики и внёс большой вклад в популяризацию науки, написал несколько книг о том, как решают задачи.

2. Проверка выполнения д/з

3. Анализ диагностического теста.

Тест оценивается суждениями: «усвоил» - «не усвоил»

4. Работа с учащимися

1) Справившиеся с заданиями теста получают «Листы развития» и продолжают работать самостоятельно. Их задача: составить системы уравнений по заданным условиями и решить хотя бы 1 задачу. Остальные системы могут быть доделаны в классе или дома. Составленные системы  и задача оцениваются.

2) Коррекция знаний учащихся, не справившихся с работой:

а) Повторить основные типы задач, решаемые с помощью систем уравнений (повторение)

б) Повторить алгоритмы составления систем уравнений к задачам и пошаговое составление систем уравнений (повторение, коррекция)

Задача 1

    Две трубы, работая совместно, наполняют бассейн за 4 часа. Первая труба в отдельности может наполнить его на 6 часов быстрее, чем вторая. За сколько часов заполняет бассейн первая труба?

Задача 2

Найди двузначное число, которое в 4 раза больше суммы своих цифр и 3 раза больше их произведения.

Задача 3

Сколько нужно взять 10% и 30% растворов марганцовки, чтобы получить 200 г 16% раствора марганцовки?

Физ. пауза

 Закройте глаза, расслабьте тело,

Представьте – вы птицы, вы вдруг полетели!

Теперь в океане дельфином плывете,

Сейчас в саду яблоки спелые рвете.

Посмотрели направо, посмотрели налево,

Открыли глаза, и снова за дело!

в) составление систем уравнений к задачам (закрепление)

1. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько надо взять «бедной» руды, чтобы при смешивании с «богатой» получить 20 т руды с содержанием меди 8%?

2. Расстояние между городами 564 км. Навстречу друг другу из городов одновременно вышли поезда и встретились через 6 часов. Скорость одного поезда на 10 км больше скорости другого. Чему равна скорость каждого поезда?

3. Один экскаватор может вырыть котлован на 10 ч быстрее, чем другой. После того как первый экскаватор проработал 10 ч, его сменил второй экскаватор и закончил работу за 15 ч. За сколько часов могли бы вырыть котлован оба экскаватора, работая одновременно?

4. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то получится в частном 4 и в остатке 3. Если же это число разделить на произведение его цифр, то получится в частном 3 и в остатке 5. Найти это число.

г) самостоятельная работа (см. приложение)

5. Рефлексия

6. Домашнее задание: №50, 51,52