Тригонометрические уравнения. Показательные уравнения. Применение технологии модульного обучения на уроках математики
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Применение технологии модульного обучения на уроках математики.

Вариативность учебных школьных планов, альтернативные учебники и программы по математике, достижение максимальных результатов при ограниченном учебном времени на изучение большого объёма учебного материала – всё это создаёт определённые трудности в преподавании предмета.

Рано или поздно встаёт проблема поиска технологии обучения, позволяющей практически решить эти трудности. В настоящее время существует множество технологий, значительно влияющих на результативность образовательного процесса. Мое внимание привлекает модульная технология, обеспечивающая высокий уровень индивидуализации обучения и формирование общеучебных умений и навыков учащихся.

Отличие модульного обучения от других педагогических технологий заключается в том, что учащиеся на уроке работают самостоятельно, руководствуясь технологической картой, состоящей из разноуровневых элементов. Задания учебных элементов модуля направлены на активное чтение изучаемого текста учебника, дополнительной литературы. Учащиеся из пассивных исполнителей и наблюдателей превращаются в активных участников процесса самообразования.  Теория модульного обучения подробно изложена в работах Шамовой Т.И., Юцявичене П.А., И.Б.Сенновского, П.И.Третьякова и др.

Система работы:

Модульные уроки удобно использовать в 10–11-х классах как обобщение после изучения основного материала по теме.

Работа по модульной системе начинается с планирования и определения целей и конечных результатов обучения. Учебный материал разбивается на отдельные логически завершенные учебные элементы (блоки) и определяются цели и рекомендации для каждого из них. После чего составляются модульная программа и технологические карты, содержащие разноуровневые обучающие модули и определяются способы учебной деятельности учащихся. По количеству учащихся делается распечатка технологических карт. В начале изучения блока проводится рекомендательная беседа, поясняющая содержание каждого модуля данного блока. По результатам работы учащийся может получить комплексную оценку за все модули блока или за каждый из модулей в отдельности. Учащийся имеет право пересдать тот или иной модуль из блоков, если более глубоко изучил его, чем на момент контроля. По итогам работы над блоком проводятся консультации и зачёт.

Опыт показывает, что учащимся эта система обучения нравится, растёт познавательный интерес к предмету, вырос уровень самостоятельности учащихся по освоению содержания учебного материала, учащиеся  учатся осуществлять самоконтроль, сопоставлять результаты самостоятельной работы и её цели.

Ниже представлены модули  по темам: «Показательные уравнения» и «Тригонометрические уравнения»

Вариант №1.

Уровень 1. Модуль 1.

1. Вспомните основные свойства степеней. Уверенное владение необходимым набором формул и свойств избавит Вас от множества непростительных ошибок и сэкономит время для решения более сложных заданий.

    Решение большинства показательных уравнений сводится к решению простейших уравнений вида   ,  , а1. Из монотонности показательной функции следует  .

 Решите самостоятельно:

1.1. 25х + 1 = 23х + 7,  (1балл);   1.2. 4х – 3 = 16, (1балл);   1.3. 56х + 4 = 1, (1балл);   1.4. ,  (2 балла);

1.5. 110,3х = 0,  (1балл);   1.6. ,  (2 балла).

Модуль 2.

2. Метод уравнивания оснований.    Решите уравнения,  

Пример:  Решить уравнение    .

     Решение: Используя формулу и свойства степеней, приведём уравнение к виду  .

 Это уравнение равносильно уравнению  2х2 – 4х = - 6. Решая квадратное уравнение х2 – 2х  + 3 = 0, получаем корни уравнения  х1 = - 1, х2 = 3.                                   Ответ: х1 = - 1, х2 = 3.

Решите самостоятельно: 2.1. , (1 балл);   2.2. , (2 балла);

3. 0,125 . 42х – 3 =  , (3 балла).

Модуль 3.

3. Метод разложения на множители заключается в представлении данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Т.о. уравнение можно представить в виде совокупности более простых множителей. Одними из более популярных способов разложения на множители являются вынесение за скобки общего множителя, группировка, применение формул сокращённого умножения.

Пример:  Решить уравнение  2 . 3х +1 – 6 . 3х – 1 – 3х = 9

     Решение:  Выносим за скобки степень с наименьшим показателем (так как а > 1), то есть, совершаем операцию деления. При делении основание степени остаётся прежним, а показатели вычитаются.

3х – 1(2 . 32 – 6 – 3) = 9;   3х – 1 .  9 = 9;    3х – 1 = 1;     х – 1 = 0;   х = 1.          Ответ: х = 1.

 Решите самостоятельно:  3.1. 7 . 5х – 5х + 1 = 2 . 5-3 , (2 балла);  3.2., (4 балла).

Модуль 4.

4. Метод введения новой переменной (способ подстановки).  Приняв , t >0, сводим показательное уравнение к алгебраическому.

      Пример:  Решить уравнение  

      Решение:  Положив  , t >0, переходим к квадратному уравнению t2 – 10t + 9 = 0, корни которого t1 = 1 > 0,  t2 = 9 > 0. Значит,   и  , откуда х1 = 0, х2 = 2. Ответ: х1 = 0, х2 = 2.                                                                

  Решите самостоятельно:  4.1 32х – 2 . 3х – 3 = 0; (2 балла)  4.2. , (3 балла).

Модуль 5.

5. Метод решения однородных уравнений.  Решение однородных уравнений первой степени вида  сводится к делению обеих частей уравнения на , а однородных уравнений второй степени вида  соответственно на .

      Пример:  Решить уравнение  

      Решение:  Запишем уравнение в виде . Относительно переменных 5х и 4х уравнение однородное второй степени. Поделим обе части уравнения на 42х . Получаем  ; Положив  , t >0, переходим к квадратному уравнению 4t2 – 9t + 5 = 0, корни которого t1 = 1 > 0,  t2 = > 0. Значит,   и  , откуда х1 = 0, х2 = 1. Ответ: х1 = 0, х2 = 1                                                                

  Решите самостоятельно:  5.1., (2 балла);   5.2., (3 балла).

Уровень 2. Модуль 6.

Вы прошли средний уровень усвоения материала. Теперь Вам самостоятельно придётся выбирать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы и решите самостоятельно:

6.1. (1 балл);    6.2. 2х -1 + 2х + 1 = 20 (1 балл);   6.3. 4 х -2 = 0,51 - х  (2 балла);

6.4. 3 х+2 + 3х + 1 + 3х = 39, (2 балла).

Уровень 3. Модуль 7.

         Молодец! Вы освоили решение уравнений II уровня сложности. Целью дальнейшей Вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.

     7.1. 9х + 6х = 22х + 1 , (2 балла);    7.2. , (3 балла);

     7.3. ,  (3 балла);      7.4. , (3 балла).

Вариант №2.

Уровень 1. Модуль 1.

1. Вспомните основные свойства степеней. Уверенное владение необходимым набором формул и свойств избавит Вас от множества непростительных ошибок и сэкономит время для решения более сложных заданий.

    Решение большинства показательных уравнений сводится к решению простейших уравнений вида   , , а1. Из монотонности показательной функции следует  .

 Решите самостоятельно:

1.1. 37х + 2 = 93х ,  (1балл);   1.2. 5х – 4 = 125, (1балл);   1.3. 123х + 1 = 1, (1балл);   1.4. ,  (2 балла);

1.5. 80,4х = 0,  (1балл);   1.6. ,  (2 балла).

Модуль 2.

2. Метод уравнивания оснований.    Решите уравнения,  

Пример:  Решить уравнение    .

     Решение: Используя формулу и свойства степеней, приведём уравнение к виду  .

 Это уравнение равносильно уравнению  2х2 – 4х = - 6. Решая квадратное уравнение х2 – 2х  + 3 = 0, получаем корни уравнения  х1 = - 1, х2 = 3.                                   Ответ: х1 = - 1, х2 = 3.

Решите самостоятельно:  2.1. , (1 балл);   2.2. , (2 балла);

3.  (0,8)3 - 2х  = 1,253 , (3 балла).

Модуль 3.

3. Метод разложения на множители заключается в представлении данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Т.о. уравнение можно представить в виде совокупности более простых множителей. Одними из более популярных способов разложения на множители являются вынесение за скобки общего множителя, группировка, применение формул сокращённого умножения.

Пример:  Решить уравнение  2 . 3х +1 – 6 . 3х – 1 – 3х = 9

     Решение:  Выносим за скобки степень с наименьшим показателем (так как а > 1), то есть, совершаем операцию деления. При делении основание степени остаётся прежним, а показатели вычитаются.

3х – 1(2 . 32 – 6 – 3) = 9;   3х – 1 .  9 = 9;    3х – 1 = 1;     х – 1 = 0;   х = 1.          Ответ: х = 1.

 Решите самостоятельно:

             3.1. 2х - 1 + 2х - 2 + 2 х - 3 = 448, (2 балла);  3.2., (4 балла).

Модуль 4.

4. Метод введения новой переменной (способ подстановки).  Приняв , t >0, сводим показательное уравнение к алгебраическому.

      Пример:  Решить уравнение  

      Решение:  Положив  , t >0, переходим к квадратному уравнению t2 – 10t + 9 = 0, корни которого t1 = 1 > 0,  t2 = 9 > 0. Значит,   и  , откуда х1 = 0, х2 = 2. Ответ: х1 = 0, х2 = 2.                                                                

 Решите самостоятельно: 4.1.  4х – 10 . 2х - 1 – 24 = 0; (2 балла)  4.2. , (3 балла).

Модуль 5.

5. Метод решения однородных уравнений.  Решение однородных уравнений первой степени вида  сводится к делению обеих частей уравнения на , а однородных уравнений второй степени вида  соответственно на .

      Пример:  Решить уравнение  

      Решение:  Запишем уравнение в виде . Относительно переменных 5х и 4х уравнение однородное второй степени. Поделим обе части уравнения на 42х . Получаем  ; Положив  , t >0, переходим к квадратному уравнению 4t2 – 9t + 5 = 0, корни которого t1 = 1 > 0,  t2 = > 0. Значит,   и  , откуда х1 = 0, х2 = 1. Ответ: х1 = 0, х2 = 1                                                                

  Решите самостоятельно:  5.1., (2 балла);   5.2., (3 балла).

Уровень 2. Модуль 6.

Вы прошли средний уровень усвоения материала. Теперь Вам самостоятельно придётся выбирать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы и решите самостоятельно:

6.1. (1 балл);    6.2. 3х +1 + 3х = 108 (1 балл);   6.3. 2 х + 5 + 23 . 2х - 1 – 22 = 0,  (2 балла);

6.4. 2 . 3 х+1 – 6 . 3х - 1 = 12, (2 балла).

Уровень 3. Модуль 7.

         Молодец! Вы освоили решение уравнений II уровня сложности. Целью дальнейшей Вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.

     7.1. 22х+ 1  + 2х + 2 - 16 = 0, (2 балла);    7.2. , (3 балла);

     7.3. ,  (3 балла);      7.4. , (3 балла).

Тема «Тригонометрические уравнения»

Вариант №1.

Уровень 1.

1. Вспомните основные правила решения тригонометрических уравнений. Решите самостоятельно:

1.1. cosx = ,  (1балл);   1.2. sinx =, (1балл);   1.3. tgx = 1, (1балл);   1.4. cos = 0,  (2 балла);

1.5. 2cosx = 1,  (1балл);   1.6. 3tgx = 0, (1балл);  1.7. sin 4x = 1,  (2 балла).

Уровень 2.

2. Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, что пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (sinx, cosx, tgx) или их комбинацию обозначить через t, получив при этом квадратное уравнение относительно t.

     Пример:  Решить уравнение    4 – cos2x = 4sinx.

     Решение: Вместо cos2x подставим тождественное ему выражение  1 – sin2x. Тогда исходное уравнение примет вид:      4 – (1 - sin2x) = 4sinx,

                          3 +  sin2x = 4sinx,

                          sin2x - 4sinx + 3 = 0.     Обозначив sinx = t, получим квадратное уравнение t2 – 4t + 3 = 0, которое имеет корни t1 = 1;  t2 = 3.  Значит исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

                         sinx = 1,   тогда  х =    или sinx = 3, которое не имеет решений.

                                                                           Ответ: х =    

Решите самостоятельно:  2.1. tg2x – 3tgx + 2 = 0, (2 балла);   2.2. 2cos2x + 5sinx – 4 = 0, (3 балла);

                                               2.3.   + 2sinx = 3, (3 балла).

Уровень 3.

3. Метод решения однородных уравнений.  Однородными называются уравнения вида

                a sinx + b cosx = 0,    a sin2 x + b sinx cosx  + c cos2 x = 0, где a, b, c – числа. Решение однородных уравнений сводится к делению обеих частей уравнения на cosx или cos2x соответственно.

      Пример:  Решить уравнение  5 sinx – 2cosx = 0.  

      Решение:  Поделим обе части уравнения на cosx, предварительно доказав, что cosx  не равно 0. Если cosx = 0, то 5 sinx – 2 . 0 = 0.  Т.е. sinx = 0. Но sinx и cosx одновременно быть равными 0 не могут, т.к. в этом случае не выполняется тождество sin2 x + cos2 x = 1. Значит, можно поделить уравнение на cosx.

                              ,  получим  5 tgx – 1 + 0.

                            Т. е.  tgx = 2/5, отсюда      x = arctg(2/5) +   Ответ:  x = arctg(2/5) +    

  Решите самостоятельно:  3.1. sinx – cosx = 0, (2 балла);   3.2. sin2x – sin 2x = 3 cos2x, (3 балла).

Уровень 4.

4. Метод разложения на множители заключается в представлении данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Т.о. уравнение можно представить в виде совокупности более простых множителей. Одними из более популярных способов разложения на множители являются вынесение за скобки общего множителя, группировка, применение формул сокращённого умножения.

       Пример: Решите уравнение    2 sin3x – cos2x - sinx = 0.

       Решение: Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а  cos2x   представим в виде  1 – 2sin2x. Получим

                                                        (2 sin3x – sinx) – (1 – 2sin2x) = 0,  из выражения, стоящего в первых скобках вынесем sinx, а из вторых скобок – (-1).  Уравнение примет вид

                                                       sinx(2 sin2x – 1) + (2sin2x - 1) = 0,

                                                       (2 sin2x – 1)(sinx + 1) = 0, это уравнение равносильно совокупности уравнений

                       2 sin2x – 1 = 0      или    sinx + 1 = 0,      

                         sin2x = 1/2,                     sinx = -1,

                         sinx = ,                     x = -

                         x =   Ответ: x =  x = -

Решите самостоятельно: 4.1  sin2x – sinx = 0, (2 балла),     4.2. 3cosx + 2sin2x = 0, (3 балла).

Уровень 5.

Вы прошли средний уровень усвоения материала. Теперь Вам самостоятельно придётся выбирать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы и решите самостоятельно:

5.1. cos2x – 5sinx – 3 = 0,  (1 балл);    5.2.  sin2x + cos2x = 0, (1 балл);   5.3. cos2x – cos2x = sinx, (2 балла);

5.4. sin4x – cos2x = 0, (2 балла);     5.5.  5 – 5cos, (2 балла).

Уровень 6.

         Молодец! Вы освоили решение уравнений I уровня сложности. Целью дальнейшей Вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.

     6.1. sin6x + cos6x = 1 – 2sin3x, (2 балла);    6.2. 29 – 36sin2(x – 2) – 36cos(x – 2) = 0, (3 балла);

     6.3. 2sinx cosx +  - 2cosx - sinx = 0, (2 балла);    6.4. sin4x = 2cos2x -1,   (2 балла);

     6.5. sinx (sinx + cosx) = 1,  (3 балла);      6.6. , (3 балла).

Вариант №2.

Уровень 1.

1. Вспомните основные правила решения тригонометрических уравнений. Решите самостоятельно:

1.1. sinx = -,  (1балл);   1.2. cosx =, (1балл);   1.3. ctgx = -1, (1балл);   1.4. sin = 0,  (2 балла);

1.5. 4sinx = 2,  (1балл);   1.6. cos4x = 0, (2 балла);  1.7. 5tgx = 0,  (1 балл).

Уровень 2.

2. Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, что пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (sinx, cosx, tgx) или их комбинацию обозначить через t, получив при этом квадратное уравнение относительно t.

     Пример:  Решить уравнение    4 – cos2x = 4sinx.

     Решение: Вместо cos2x подставим тождественное ему выражение  1 – sin2x. Тогда исходное уравнение примет вид:      4 – (1 - sin2x) = 4sinx,

                          3 +  sin2x = 4sinx,

                          sin2x - 4sinx + 3 = 0.     Обозначив sinx = t, получим квадратное уравнение t2 – 4t + 3 = 0, которое имеет корни t1 = 1;  t2 = 3.  Значит исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

                         sinx = 1,   тогда  х =    или sinx = 3, которое не имеет решений.

                                                                           Ответ: х =    

Решите самостоятельно:  2.1. 2 + cos2x – 3cosx = 0, (2 балла);   2.2. 4 – 5cosx – 2 sin2x = 0, (3 балла);

                                               2.3.   + 2sinx = 3, (3 балла).

Уровень 3.

3. Метод решения однородных уравнений.  Однородными называются уравнения вида

                a sinx + b cosx = 0,    a sin2 x + b sinx cosx  + c cos2 x = 0, где a, b, c – числа. Решение однородных уравнений сводится к делению обеих частей уравнения на cosx или cos2x соответственно.

      Пример:  Решить уравнение  5 sinx – 2cosx = 0.  

      Решение:  Поделим обе части уравнения на cosx, предварительно доказав, что cosx  не равно 0. Если cosx = 0, то 5 sinx – 2 . 0 = 0.  Т.е. sinx = 0. Но sinx и cosx одновременно быть равными 0 не могут, т.к. в этом случае не выполняется тождество sin2 x + cos2 x = 1. Значит, можно поделить уравнение на cosx.

                              ,  получим  5 tgx – 1 + 0.

                            Т. е.  tgx = 2/5, отсюда      x = arctg(2/5) +   Ответ:  x = arctg(2/5) +    

  Решите самостоятельно:  3.1. 5sinx + 6cosx = 0, (2 балла);   3.2. 3sin2x – 2sin 2x + 5 cos2x = 2, (3 балла).

Уровень 4.

4. Метод разложения на множители заключается в представлении данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Т.о. уравнение можно представить в виде совокупности более простых множителей. Одними из более популярных способов разложения на множители являются вынесение за скобки общего множителя, группировка, применение формул сокращённого умножения.

       Пример: Решите уравнение    2 sin3x – cos2x - sinx = 0.

       Решение: Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а  cos2x   представим в виде  1 – 2sin2x. Получим

                                                        (2 sin3x – sinx) – (1 – 2sin2x) = 0,  из выражения, стоящего в первых скобках вынесем sinx, а из вторых скобок – (-1).  Уравнение примет вид

                                                       sinx(2 sin2x – 1) + (2sin2x - 1) = 0,

                                                       (2 sin2x – 1)(sinx + 1) = 0, это уравнение равносильно совокупности уравнений

                       2 sin2x – 1 = 0      или    sinx + 1 = 0,      

                         sin2x = 1/2,                     sinx = -1,

                         sinx = ,                     x = -

                         x =   Ответ: x =  x = -

Решите самостоятельно: 4.1  tg2x – 4tgx = 0, (2 балла),     4.2. 5sin2x - 2sinx = 0, (3 балла).

Уровень 5.

Вы прошли средний уровень усвоения материала. Теперь Вам самостоятельно придётся выбирать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы и решите самостоятельно:

5.1. cos2x + 3sinx = 2,  (1 балл);  5.2. sin2x - cos2x = 0, (1 балл);   5.3. 6 - 10cos2x + 4cos2x = sin2x, (2 балла);

5.4. cosx cos2x = 1, (2 балла);     5.5.  cos2, (2 балла).

Уровень 6.

         Молодец! Вы освоили решение уравнений I уровня сложности. Целью дальнейшей Вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.

     6.1. sin6x + cos6x = 1 – 2sin3x, (2 балла);    6.2. 29 – 36sin2(x – 2) – 36cos(x – 2) = 0, (3 балла);

     6.3. 2sinx cosx +  - 2cosx - sinx = 0, (2 балла);    6.4. sin4x = 2cos2x -1,   (2 балла);

     6.5. sinx (sinx + cosx) = 1,  (3 балла);      6.6. , (3 балла).

Каждому учащемуся выдается технологическая карта с перечнем заданий. Самостоятельной работе учащихся предшествует краткий инструктаж, занимающий не более 1 минуты, так как необходимая информация содержится в раздаточном материале. Учитель по ходу урока, наблюдая и направляя деятельность учащихся, управляет процессом обучения.

Литература: 

1. Юцявичене П.А. Теория и практика модульного обучения. Каунас, 1998.
2. Третьяков П.И., Сенновский И.Б. Технология модульного обучения в школе: Практико-ориентированная монография / Под ред. П.И. Третьякова. М.: Новая школа, 2001.
3. Шамова Т. И. Модульное обучение: теоретические вопросы, опыт, перспективы. Москва, 1994.