Разложение квадратноготрехчлена на множители
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Тема урока

 Разложение квадратного трехчлена на множители

Цели урока:

Образовательная

Изучить основные понятия, связанные с квадратным трехчленом; вывести формулу для разложения квадратного трехчлена на множители и сформировать умение ее применять

Развивающая

Развивать алгебраический аппарат у учащихся, грамотную математическую речь

Воспитательная

Воспитывать ответственность, чувство долга, аккуратность, лаконичность оформления решений

Тип урока

 Изучение нового материала

Основные термины и понятия

Квадратное уравнение, формула для разложения трехчлена на множители

Оборудование

ПК, проектор, раздаточный материал, презентация

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Распознавать квадратные уравнения, классифицировать их. Решать квадратные уравнения-полные и неполные. Проводить простейшие исследования квадратных уравнений. Решать уравнения сводящиеся к квадратным, путем преобразований, а также с помощью замены переменной. Применять теорему Виета для решения разнообразных задач. Решать текстовые задачи алгебраическим способом: переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путем составления уравнения; решать составленное уравнение; интерпретировать результат. Распознавать квадратный трехчлен, выяснять возможность разложения на множители, представлять квадратный трехчлен в виде произведения линейных множителей. Применять различные приемы самоконтроля при выполнении преобразований. Проводить исследования квадратных уравнений с буквенным коэффициентами, выявлять закономерности.

Л: умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками: определять цели, распределение функций и ролей участников, взаимодействие и общие способы работы;

Р: планирование и прогнозирование своей деятельности, самоконтроль;

К: умение владеть приёмами монологической и диалогической речи, работать индивидуально и в группе, формулировать, аргументировать и отстаивать своё мнение;

Этапы урока

Время

Содержание

Формируемые УУД

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Организационный этап

2 мин

Приветствие. Создание благоприятной рабочей обстановки.

Вступительное слово учителя

Приветствие учителя. Настрой на урок.

Л:самоопределение, настрой на работу; Р:целепологание.

Актуализация знаний

5мин

Организует устную работу.

– Назовите коэффициенты квадратного уравнения. На какое число нужно умножить обе части уравнения, чтобы все его коэффициенты стали целыми?

а) ; е) ;

б) ; ж) ;

в) ; з) ;

г) ; и) ;

д) ; к) 

Фронтально работают с места

П: анализ предлагаемых заданий, выделение существенной информации;

Р: умение слушать, дополнять и уточнять;

К: решение возникающих проблемных вопросов.

Изучение нового материала

15мин

Организует изучение учебного материала по учебнику

Объяснение материала проводится в несколько этапов.

1. Введение основных понятий.

Начать следует с известных учащимся понятий. Так, они знают, что выражение 5x2 + 3x – 2 является многочленом второй степени с одной переменной. Сообщить им, что такой многочлен имеет специальное название – «квадратный трехчлен».

Понятие 1. Квадратный трехчлен.

Определение. Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax2 + bx + c, где х – переменная, а, b и с – некоторые числа, причем а ≠ 0.

Для усвоения понятия следует дать учащимся задание: определить, какие из следующих выражений являются квадратным трехчленом; ответ объяснить.

а) ; г) 2x – 1;27

б) 2x3 + 5x – 1; д) ;

в) ; е) .

Далее заметить, что значение квадратного трехчлена 5x2 + 3x – 2 зависит от значения х. Например,

если х = 0, то 5x2 + 3x – 2 = –2;

если х = 2, то 5x2 + 3x – 2 = 24;

если х = –1, то 5x2 + 3x – 2 = 0.

Обратить внимание учащихся, что при х = –1 квадратный трехчлен 5x2 + 3x – 2 обращается в нуль. Сообщить им, что в этом случае число –1 называют корнем данного квадратного трехчлена и попросить их сформулировать определение корня квадратного трехчлена.

Понятие 2. Корень квадратного трехчлена.

Определение. Корнем квадратного трехчлена называется значение переменной, при котором значение этого трехчлена равно нулю.

Спросить учащихся, как отыскать корни квадратного трехчлена (решить соответствующее квадратное уравнение). Предложить им найти корни квадратного трехчлена 5x2 + 3x – 2.

Затем заметить, что количество корней квадратного трехчлена зависит от количества корней соответствующего квадратного уравнения, которое, в свою очередь, зависит от дискриминанта. Так появляется новое понятие – дискриминант квадратного трехчлена.

Понятие 3. Дискриминант квадратного трехчлена.

Определение. Дискриминантом квадратного трехчлена ax2 + bx + c называется значение выражения D = b2 – 4ac.

Сделать вывод, что если D 0, то квадратный трехчлен имеет два корня; если D = 0, то один корень; если D

2. Формула для разложения на множители квадратного трехчлена.

Обратить внимание учащихся, что существует ряд задач, в которых требуется разложить на множители квадратный трехчлен. Затем показать им, как это можно сделать с помощью группировки (с. 128 учебника).

После доказательства формулы разложения на множители квадратного трехчлена вынести на доску запись:

Сделать вывод: если квадратный трехчлен имеет корни, то он раскладывается на множители. Затем задать учащимся вопрос: можно ли разложить на множители квадратный трехчлен, не имеющий корней? В классе с высоким уровнем подготовки можно привести доказательство соответствующего утверждения.

Доказательство. Пусть трехчлен ax2 + bx + c не имеет корней. Предположим, что его можно представить в виде произведения многочленов первой степени:

ax2 + bx + c = (kx + m)(px + q),

где k, m, p и q – некоторые числа, причем k ≠ 0 и p ≠ 0.

Произведение (kx + m)(px + q) обращается в нуль при  и . Следовательно, при этих значениях х обращается в нуль и трехчлен ax2 + bx + c, то есть числа  и  являются его корнями. Мы пришли к противоречию, так как по условию этот трехчлен корней не имеет.

Итогом этого этапа объяснения материала должны быть следующие усвоенные учащимися утверждения:

– если квадратный трехчлен имеет корни, то его можно разложить на множители; если квадратный трехчлен корней не имеет, то на множители (линейные) разложить его нельзя;

– чтобы выяснить, разлагается ли трехчлен на множители, достаточно вычислить его дискриминант;

– существует специальная формула, с помощью которой квадратный трехчлен, имеющий корни, можно разложить на множители: ax2 + bx + c =
= a(x – x1)(x – x2).

3. Примеры разложения на множители квадратных трехчленов.

Разобрать предложенные в учебнике примеры разложения квадратных трехчленов на множители, предложив при этом образец оформления соответствующих рассуждений.

Пример. Разложить на множители трехчлен –3x2 – 5x + 2.

Сначала следует сделать следующую запись:

–3x2 – 5x + 2 = –3(х – ) (х – ).

Затем найти корни данного квадратного трехчлена:

–3x2 – 5x + 2 = 0;

 и x2 = –2.

Эти корни записать в оставленное для них место, а затем можно выполнить некоторые преобразования.

Изучают новый материал совместно с учителем. Делаю соответствующие записи в тетрадях.

П: умение логически рассуждать, анализировать и осмысливать текст задания;

Л: осознание работы в группе;

Р: контроль и коррекция выбора способа действий, критическая оценка полученного ответа;

Закрепление изученного материала

15мин

Организует закрепление учебного материала по учебнику

На этом уроке основное внимание следует уделить усвоению учащимися всех введенных понятий, а также формированию умения пользоваться формулой разложения на множители квадратного трехчлена.

1. Какие из чисел –4, –3, –1, , 1 являются корнями квадратного трехчлена 3x2 + 7x – 6?

2. Проверьте, что число 1 является корнем каждого трехчлена:

а) 7x2 – 6x – 1;

б) –x2 + 5x – 4;

в) .

3. № 531 (а, в), 532.

4. № 533 (а, в, д), 534 (а, в), 535 (а, в, д).

После разложения на множители квадратных трехчленов, у которых коэффициент а равен единице, учащиеся могут допускать распространенную ошибку: при разложении на множители трехчленов, у которых коэффициент а отличен от единицы, подменяют формулу a(x – x1)(x – x2) формулой (x – x1)(x – x2), то есть забывают про коэффициент а. Во избежание этой ошибки следует на первых порах подставлять в формулу и значение а, равное 1, акцентируя внимание учащихся, что в рассматриваемой формуле всегда три множителя.

Самостоятельно решают по учебнику (1 человек у доски для самоконтроля)

П: самостоятельное выполнение действий, умение структурировать свои знания;

Р: контроль и коррекция;

Подведение итогов урока. Рефлексия.

2мин

Организует обсуждение:

Вопросы учащимся:

– Что называется квадратным трехчленом?

– Что называется корнем квадратного трехчлена?

– Что такое дискриминант квадратного трехчлена?

– Сколько корней может иметь квадратный трехчлен?

– Как разложить на множители квадратный трехчлен?

– Когда можно, а когда нельзя разложить квадратный трехчлен на множители?

Отвечают на вопросы учителя. Проводят самооценку своей деятельности на уроке.

Л: умение подводить итоги;

Р: умение осуществлять самооценку;

К: умение грамотно выражать свои мысли;

Домашнее задание

1мин

П.3.7 № 531 (в), 533 (в), 534 (в), 535 (в)

.

Записывают домашнее задание в дневник.