Методическая разработка. Способы решения показательных неравенств
методическая разработка по алгебре (10 класс)

Урок математики в 10-м классе

Тема урока:  «Способы решения показательных неравенств».

учитель  математики

                                                                                                                            ГБОУ СОШ № 591

                                                                                                                           Чернышева Е.А.

Проблема: 

На уроке будут рассмотрены новые для обучающихся неравенств – показательные, решение которых требует хорошего знания теоретического материала. Данные неравенства ежегодно присутствуют в вариантах ЕГЭ по математике.

 Цели урока:

Образовательные:

• обобщение знаний и умений учащихся по применению методов решения показательных уравнений;
• закрепление свойств показательной функции в процессе решения показательных неравенств;
• развитие умения систематизации изученного материала, выделения общих и отличительных признаков и свойств изучаемых понятий, умения применять функционально-графический метод при решении уравнений и неравенств;
• формирование заинтересованности учащихся в решении нестандартных показательных уравнений и неравенств при подготовке к ЕГЭ.

Развивающие:

• активизация познавательной деятельности посредством использования компьютерных технологий;
• развитие навыков самоконтроля и самооценки, самоанализа своей деятельности.

Воспитательные:

• формирование умения работать самостоятельно, принимать решения и делать выводы;
• воспитание устремленности к самообразованию и самосовершенствованию;
• осознание учащимися социальной, практической и личной значимости учебного материала по изучаемой теме

Оборудование: компьютер, мультимедийное оборудование.

                                                    ХОД УРОКА

1. КОММЕНТАРИЙ К ОРГАНИЗАЦИИ УРОКА

Урок построен таким образом, чтобы учащиеся, опираясь на свойства степени и свойства числовых неравенств, а также на свойство монотонности показательной функции, самостоятельно пришли к алгоритму решение показательных неравенств и применили его при решении простейших неравенств.

Актуализация знаний:

Теоретический опрос:

 а) определение показательной функции;

 б) какова область определения показательной функции;

 в) какова область значений  показательной функции;

 г) в каком случае показательная функция является возрастающей, убывающей;

 д) как расположен график;

е) каковы основные методы решения показательных уравнений (метод замены, однородное уравнение, разложение левой части уравнения на множители и переход к совокупности, функционально - графический, метод интервалов);

 ж) что называется решением  неравенства, что значит решить неравенств.

2. ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

Цель: Проверка домашнего задания.

 Повторение приемов решения показательных уравнений                               используемых также при решении показательных неравенств.

На интерактивной доске заранее записаны решения уравнений из домашнего задания. Учащимся предлагается сверить свои решения с записями на доске и найти допущенные в решениях ошибки.

1.                      2)  

Ответ: ;                             

                                                                       Ответ:  ;

           3)                             4)   

    Ответ:                                              

                                                                                  Ответ:             

Ошибки допущены в уравнениях 2,3,4 и выделены полужирным шрифтом, а та часть решения, где содержится ошибка, подчеркнута.

3. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА В ПАРАХ

Цель: Повторение свойства степени при работе с числовыми неравенствами.

На каждом столе находится карточка с заданиями. Учащиеся обсуждают в парах. Для выполнения этих заданий им необходимо вспомнить свойства степени:

- Если  ,

- Если

Задание 1

 Сравните числа (поставьте знаки  или  вместо многоточия):

1) ; 2); 3) ; 4);

5)

Задание 2

Сравните показатели  и , если верны неравенства:

1); 2) ; 3)  4) ;

5)

Задание 3

Сравните с единицей основания , если известно, что:

1. ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)

4. ФРОНТАЛЬНАЯ РАБОТА С КЛАССОМ

Цель: Повторение свойство возрастания-убывания показательной функции и применение его при решении показательных неравенств.

Вопрос к классу: Какое свойство показательной функции было доказано ранее c помощью свойств степени, использованных в задания 1,2 и 3 ?

Ответ: Свойство монотонности.

Ученики формулируют данное свойство, опираясь на графическую иллюстрацию на доске.

  функция  возрастает                                                              функция  убывает                                                                                                                                                                         

Задание 4

Применяя свойство монотонности показательной функции

1. указать несколько значений x, которые следующие неравенства обращают в верные числовые неравенства
2. записать все решения следующих неравенств

           Ответ:                           Ответ:    

           Ответ:                        Ответ:

Задание 5

Проанализировать результаты задания 4 и попытаться сформулировать правило решения простейших показательных неравенств вида

  и .

Далее на доске записывается тема урока: Решение показательных неравенств

Правило, сформулированное учениками, переводится на математический язык и запаисывается на доске:

5. ОБУЩАЮЩАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

Цель: Применение алгоритма решения показательных неравенств при решении простейших показательных неравенств.

Задание 6

а)Решить неравенства:

Б)Решить неравенства:

Ответ:

                                                                                                       Ответ:    

Выполняя это задание, учащиеся обсуждают решение в парах, а затем решение комментируется одним из учеников, а ответы записываются на доске.

6. РЕШНИЕ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТ

Цель: Решение более сложные показательных неравенств сведением их различными способами к простейшим, когда можно применить сформулированный на уроке алгоритм.

 Рассмотрим методы решения показательных неравенств, не являющихся простейшими. При их решении используются приёмы преобразования выражений, стоящих в левой и правой частях неравенства, аналогичные тем, которые использовались и при решении показательных уравнений.

Задание 7

а) Метод замены переменной. В этом случае новая неизвестная подбирается так, чтобы относительно неё неравенство не было показательным.

Пример :

Решение:

Вернемся к переменной х

Функция возрастает при всех х из области определения

Ответ:

б) Решение однородных неравенств. При решении однородных неравенств используется свойство показательной  функции  , производим деление обеих частей неравенства на положительную величину и вводим новую переменную. Однородное неравенство первой степени +n решается делением обеих частей неравенства на , а однородное неравенство второй степени  решается делением на

Пример №1:  

Решение:

возрастает на всей области

Ответ:

Пример №2:  

Решение:

Убывает на всей области определения

Ответ:

в) Метод интервалов.      

  Пример:  

  Решение.

Вернемся к переменной х

Возрастает на всей области определения

Ответ:

г) Функционально-графический метод.

Пример:  

Решение. Функции  иопределены на всём множестве действительных чисел. Функция возрастающая на R, а функция   убывающая на R, значит, уравнение  имеет не более одного корня. Не сложно убедиться в том, что  1 является единственным корнем уравнения. Таким образом, графики функций имеют одну точку пересечения. Неравенство имеет решение тогда, когда график функции  лежит не выше графика функции

 то есть при                 Ответ: (

7. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Цель: Закрепление навыка решения показательных уравнений повышенной сложности и умения решать показательные неравенства.

Задание:

1) Решить уравнения:

2) Решить неравенства №№ 29 (3, 4), 30 (3, 4).