Методическая разработка урока математики в 11 классе по теме "Определенный интеграл и его приложения"
план-конспект урока по алгебре (11 класс)

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Гимназия № 11 Василеостровского района Санкт-Петербурга

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

урока математики для 11 класса по теме

«Определенный интеграл и его приложения»

                                                                                      Разработал:

                                                                                 Ляпустина Н.В.

                                                                                 учитель математики      

                                                                                 ГБОУ Гимназия № 11                                                                            

                                              Санкт-Петербург   2019  

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение……………………………………………………………..………………….3
2. План урока…………………………………………………………………..…………..5

Формальная часть………………………………………………………………………5

Содержательная часть (технологическая карта)……………………………………..6

3. Литература……………………………………………………………….……………..8
4. Приложения…………………………………………………………….………………9

Мотивационная беседа………………………………………………………………...9

      Задачи к уроку из сборника для подготовки к ЕГЭ…………………………………10

      Материалы, представленные учащимся на карточках………………………………12

ВВЕДЕНИЕ

Данный урок был разработан и проводился в рамках школьной методической декады «Управление познавательной деятельностью учащихся на уроке».

Управление – это процесс, состоящий из непрерывной последовательности действий, осуществляемой субъектом управления для изменения объекта с определенной целью. Учитель на уроке может управлять целеполаганием, мотивацией учащихся, формированием умений, созданием обратной связи.

Предварительная работа

1. За неделю до проведения урока учащимся дается домашнее задание по материалам ЕГЭ и индивидуальные задания на применение определенного интеграла.
2. Учащимся сообщаются вопросы теории.
3. Накануне учитель проводит урок-консультацию, на котором сам отвечает на каждый вопрос теории.
4. Учитель вместе с учащимися готовят всё необходимое к уроку: ведомости, плакат со списком учащихся класса, на котором указаны максимальные баллы за задание и выставляются баллы учащихся за выполненные задания; оценки за урок согласно выработанным критериям.
5. В журнал по решению педагога может быть выставлено несколько оценок.

На предлагаемом уроке для управления познавательной деятельностью применяются следующие активные методы: самостоятельная работа с самопроверкой, поиск новой информации при подготовке к уроку, сравнение, решение задач с практическим содержанием и задач из банка заданий ЕГЭ. При этом включение в содержание учебного материала интересных сведений, фактов, исторических данных способствует пробуждению интереса к изучаемому материалу, значимость деятельности придает установка на подготовку к контрольной работе и предстоящей итоговой аттестации.

Учащиеся класса обучаются по учебнику «Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс» авторов Ш.А.Алимова и других. Целью урока является повторение, обобщение и систематизация знаний, а также закрепление умений решения задач. В план включены задания по теме из банка ЕГЭ, так как одной из важных целей всех занятий в 11классе является подготовка к итоговой аттестации.

Методическая разработка содержит триединую цель урока, методическую цель, планируемые результаты обучения, основные понятия темы, в ней указаны методы и формы организации деятельности учащихся. Структура урока представлена в виде технологической карты с определением деятельности учителя и учащихся. Приведен список литературы и источников. В приложениях размещены образцы раздаточных материалов, вопросы и задачи домашнего задания к уроку. К уроку разработана мультимедийная презентация.

 Данная разработка может быть полезна учителям математики при подготовке к уроку по указанной теме, а также учителям других предметов для ознакомления с методами управления познавательной деятельностью учащихся.

ПЛАН УРОКА

Тема  урока   Определенный интеграл и его приложения  

Тип урока  урок обобщения и систематизации знаний

Вид урока  смешанный

Цели урока 

Образовательная:  повторение, обобщение и систематизация знаний по теме «Определенный интеграл», подготовка к ЕГЭ.

Развивающая:  создание условий для развития мышления (умения строить аналогии, систематизировать и обобщать), развитие познавательного  интереса.

Воспитательная: воспитание осознанного отношения к учебной деятельности.

Методическая: управление познавательной деятельностью учащихся на уроке обобщения и систематизации знаний.

Межпредметные связи:   физика, геометрия, экономика

Планируемые результаты обучения

Уметь вычислять определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница, использовать таблицу интегралов,  уметь выделять необходимую информацию из текстов задач, интерпретировать с точки зрения математического анализа, устанавливать взаимосвязи между понятиями, составлять математическую модель, уметь обнаруживать и устранять арифметические ошибки; проявлять внимание, познавательный интерес; осуществлять самоконтроль, оценивать собственную учебную деятельность, отвечать на вопросы.

 Основные понятия темы

Интеграл, таблица интегралов, формула Ньютона-Лейбница  

Способы организации деятельности: фронтальный, индивидуальный, групповой

Методы, приемы и формы

по характеру восприятия: словесные методы (беседа, работа с учебником), практические (решение задач, самостоятельная работа); по характеру деятельности: репродуктивный (воспроизведение определений, формул), частично-поисковый (решение задач, поиск ответов на вопросы, поиск дополнительной информации); логические приемы (выявление признаков, сравнение, выводы, обобщение); технические приемы (использование таблиц, постановка вопросов).

Ресурсы:  учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс» Ш.А.Алимов и др.; мультимедийный проектор и презентация; карточки с таблицей, задачами, тестовыми заданиями; бланки ответов;   листы самооценки результатов деятельности.

Эпиграф  урока   

Технологическая карта урока

Литература и источники

1. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс : учеб. для общеобразоват. Учреждений: базовый уровень / [Ш.А.Алимов, Ю.М. Колягин, М.В.Ткачёва и др.] ;. – 19-е изд. – М. : Просвещение, 2013. – 464 с. : ил.
2. Асмолов, А. Г. Системно-деятельностный подход в разработке стандартов нового поколения/ А. Г. Асмолов // Педагогика. – 2009. - №4. - С18-22.
3. Глейзер, Г.И. История математики в школе.7-9 кл. Пособие для учителя. –  М.: Просвещение, 1982.
4. Ляликова Е. Р. Приложения определенного интеграла к решению задач экономики // Молодой ученый. — 2015. — №19. — С. 11-17. — URL https://moluch.ru/archive/99/22155/
5. Сухов, В.П. Системно-деятельностный подход в развивающем обучении школьников. СПб.: РГПУ им. А.И.Герцена, 2004.
6. Шубина, Т.И. Деятельностный метод в школе [Электронный ресурс] // Издательский дом «Первое сентября». [Офиц. сайт]. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». URL: http://festival.1september.ru/articles/527236/ (дата обращения: 02.02.2015)
7. Федеральный институт педагогических измерений [Офиц. сайт]. Открытый банк заданий ЕГЭ. Математика. Числовые последовательности.  URL: http://opengia.ru/subjects/mathematics-9/topics/4 (дата обращения: 02.02.2015)
8. Ященко, И.В., Шестаков, С.А., Трепалин, А.С., Семенов, А.В., Захаров, П.И. ГИА 2014. Математика. 3 модуля. 30 вариантов типовых тестовых заданий / Ященко, С.А. Шестаков, А.С. Трепалин, А.В. Семенов, П.И. Захаров. — М. : Издательство «Экзамен», 2014. — 175, [1] с.

Приложение 1

Мотивационная беседа

Сережа насыпал в цилиндрическую кастрюлю немного пшена и спросил соседку т. Люду: «Сколько нужно налить воды, чтобы получилась вкусная каша? - «Это очень просто, - ответила соседка, - Наклони кастрюлю, постучи, чтобы крупа пересыпалась и закрыла ровно половину дна. Теперь заметь точку на стенке кастрюли у края, до которого поднялась крупа, и зажми ее пальцем. До этого уровня надо налить воду!»- «Так ведь пшена можно насыпать побольше или поменьше, да и кастрюли бывают разные - широкие, узкие», - усомнился Сережа. «Все равно. Мой способ годится в любом  случае», - гордо ответила соседка.

Докажите, что соседка права.

Работа в группах показывает, что необходимо найти отношение объемов воды и крупы и доказать, что они одинаковы. Но формулы для вычисления объема данной фигуры нет. Если можно с помощью определенного интеграла вычислить площадь фигуры,  то может быть с помощью него возможно вычислить и объем.

Математика имела вовсе времена бесспорное культурное и практическое значение, играла важную роль в научном, техническом и экономическом развитии.

«Интеграл»-«интегрирование» - «интеграция»… Однокоренные слова, к тому же вышедшие за пределы математики и ставшие почти «обиходными». В газетах читаем об интеграции наук, интеграции культур, интеграции экономики…

Любопытно, что идеи интегрального исчисления возникли задолго до появления идей дифференциального исчисления, еще на заре развития математики. Греческие математики Евдокс (IV в до н.э), а затем Архимед (IIIв до н.э) для решения задач на вычисление площадей и объемов придумали разбивать фигуру на бесконечно большое число бесконечно уменьшающихся частей и искомую площадь (или объем) вычислять, как сумму площадей (или объемов) полученных элементарных кусочков. Идея Евдокса и Архимеда была гениальной. Этот метод получил название метода «исчерпывания». На протяжении следующих девятнадцати столетий идея вычисления целого как суммы бесконечно большого числа бесконечно малых его частей не раз возникала в умах многих ученых. Особенно «богатыми» оказались XVI и   XVIIвека. Иоганн Кеплер, Галилео Галилей, Бона вентура Кавальери, Блез Паскаль, Пьер Ферма и др. мыслители разрабатывали и применяли эту идею в самых разных задачах, ранее не поддававшихся решению.

Однако  только во второй половине XVII века идеи. Подготовленные всем предыдущим развитием математики были обобщены в трудах двух великих ученых И.Ньютона (1643-1727) и  Г.Лейбница(1646-1716). Г.Лейбниц вводит термин «интеграл» и знак интеграла ∫.

Сегодня предпоследний урок по данному разделу, на следующем уроке – контрольная работа. Давайте определим цель урока (то есть, к чему мы будем стремиться, что нам надо осуществить за урок).

Что именно нам нужно повторить? Обратимся к домашнему заданию: вы решали 12 задач из банка ЕГЭ. Какие типы заданий вам встретились?

Что нам необходимо сделать, чтобы достичь цели урока? Сформулируйте задачи урока.

 Приложение 2

Домашние задачи к уроку из сборника для подготовки к ГИА

1. На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [−2; 4]

2. На рисунке изображён график некоторой функции  (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

3. На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция  — одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

4. На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция  — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

5. На рисунке изображен график некоторой функции.  Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл

Задания для самостоятельной работы в парах

Карточка №1

1.Если площадь S(x) сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, является непрерывной функцией на отрезке [a,b], то объем тела вычисляется по формуле

V=

Выражение для функции S(x) достаточно просто получается в случае тел вращения. Так, если криволинейная трапеция, ограниченная кривой y=f(x),a≤x≤b вращается вокруг оси Ox,  то объем вычисляется по формуле:

Vx=π,

Vy=π

2.Пример с решением

Найти объем тела. Образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y=, y=0,x=0, где x≥0 вокруг оси Ох.

3.Решить самостоятельно

Найти объем тела. Образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y=4-, y=,  вокруг оси Ох.

Карточка № 2

1.Если площадь S(x) сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, является непрерывной функцией на отрезке [a,b], то объем тела вычисляется по формуле

V=

Выражение для функции S(x) достаточно просто получается в случае тел вращения. Так, если криволинейная трапеция, ограниченная кривой y=f(x),a≤x≤b вращается вокруг оси Ox,  то объем вычисляется по формуле:

Vx=π,

Vy=π

2.Пример с решением

Найти объем тела. Образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y=, y=0,x=0 x=1 вокруг оси Ох.

3.Решить самостоятельно

Найти объем тела. Образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y=, y=0,x=0 x=1 вокруг оси Оy.

Карточка № 3

1.Если площадь S(x) сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, является непрерывной функцией на отрезке [a,b], то объем тела вычисляется по формуле

V=

Выражение для функции S(x) достаточно просто получается в случае тел вращения. Так, если криволинейная трапеция, ограниченная кривой y=f(x),a≤x≤b вращается вокруг оси Ox,  то объем вычисляется по формуле:

Vx=π,

Vy=π

2.Пример с решением

Найти объем тела. Образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y=+1 y=0,x=1, x=2 вокруг оси Ох.

3.Решить самостоятельно

Найти объем тела. Образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y=+1 y=0,x=1, x=2 вокруг оси Оy.

Задания для самостоятельной работы в группах

1.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y=, y=1, x=0 вокруг оси Ох.

2.Определить работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если известно, что сила, растягивающая пружину на х м, равна F(x)=kx, где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от упругости пружины, и что для растяжения пружины на 0,01 м необходима сила 1 кг.

Приложение 3

Физические задачи

1.Путь пройденный телом со скоростью v(t)v(t) за отрезок времени [t1,t2], выражается ин- тегралом

S=                   

2.Работа переменной силы f(x), действующей вдоль оси Ox на отрезке [a,b],  выражается интегралом

     A=             

Пример. Определить  работу А, необходимую для запуска тела массой m с поверхности  Земли вертикально вверх на высоту h

Решение: Обозначим через F силу притяжения тела Землей. Пусть  –масса Земли. Согласно закону Ньютона, F=G , где x – расстояние от тела до центра Земли.  Полагая Gm=k, получаем F(x)= , R≤x≤h+R, где R-радиус Земли. При x=R сила F(x) равна весу тела P=mg, т.е. =P, откуда k=P, и F(x)=

Таким образом  A= = P =

3.

Пример. Задана функция предельных издержек. Найти функцию издержек  и вычислить издержки на изготовление 15 ед. товара.
Решение:

Приложение 4

Лист самооценки

Ф. И. _________________________________________________

Задание 1  

1. _________________________________   2. ______________________________

3. _________________________________   4. ______________________________

5. _________________________________   6. ______________________________

7. _________________________________  8. ______________________________

Количество баллов  ___________________________________________________

                                    (по 1 за каждый верный ответ, максимум 8) 

Домашняя работа  

Количество баллов_____________________________+  ______________________

                                     по 1 баллу за каждое верное задание ЕГЭ,             (От 1  до 4 баллов за

                                                    максимум 5баллов)                                          дополнительное                                                                                                    

                                                                                                                                задание)

 Решение задач по готовым чертежам  Количество баллов  _____________________

                                                                                                              (указано учителем, максимум 3)

Самостоятельная работа  Количество баллов  _________________________________

                         (по 1 баллу за каждое верно выполненное задание )

Сумма баллов ______________     Оценка за урок   _________________________

                                                                                     11-12 баллов – «3»

                                                                                        13-15 баллов – «4»

                                                                                     16-18 баллов – «5»