Урок-семинар по теме "Решение иррациональных уравнений"
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Цели:  

Образовательные:

• обобщение знаний и способов решения иррациональных уравнений;
• знакомство с нестандартными методами решения иррациональных уравнений;
• проверка усвоения темы на обязательном уровне;
• формирование умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений.

Развивающие: развитие умений анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы.

Воспитательные: воспитание культуры общения, умения работать в коллективе.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Постановка целей и задач урока

- Сегодня на уроке мы продолжим решать иррациональные уравнения, повторим методы решения уравнений, рассмотрим новые нестандартные приемы, продолжим развитие умений анализировать, обобщать, делать выводы. И, в качестве эпиграфа к сегодняшнему уроку, я хочу предложить вам высказывание Л.Н. Толстого: «Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду».

                   3.  Устный опрос по теории

- Какие уравнения называются иррациональными? (Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная)

- Что называется областью определения уравнения? (Все значения переменной, при которых данное уравнение имеет смысл)

- Какие уравнения называются равносильными? (Уравнения, которые имеют одни и те же корни или не имеют корней вообще)

- Корень какой степени существует только из неотрицательного числа? (Четной)

- Назовите основной алгебраический метод решения иррациональных уравнений (Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, равную показателю корня)

- Может ли сумма нескольких корней быть отрицательной? Разность? Произведение? (Нет)

4. Устное решение уравнений (ответ, как решали)

1. = 2
2. = 2
3. = -3
4. = 0
5. = -1
6. = 1
7. =
8. += -2

                        5.  Проверочная работа, с последующей взаимопроверкой (по вариантам)

           Вы знаете, что в заданиях В5 ЕГЭ часто встречаются иррациональные уравнения. Выполняя эту работу, будем выявлять пробелы по этой теме.

                I вариант                                                      II вариант

                                №1. Найти корень уравнения

          = 6                                                 = 10

                                 №2. Найти корень уравнения

            =                                         =     

                                 №3. Найти корень уравнения. Если уравнение

                                 содержит более одного корня, укажите больший из них

             = х                                               = х    

         - Оценки.

                             6.  Проверка домашнего задания.  Проверка пройдет в форме игры — алгебраическое лото (на откидной доске таблица для лото с уравнениями). Все проверяют ответы в своих тетрадях.

          - Какой метод применили при решении уравнения?

                             7.  Решение уравнений

           Назовите уже известные вам методы решения иррациональных уравнений:

                     -  возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

                     -  метод введения новых переменных;

                     -  переход к равносильной системе;

                     -  функционально-графический метод;

                     -  выделение полного квадрата;

                     -  разложение на множители.

Перед вами карточка на 2 уровня (1-й легче и поэтому при правильном решении всех уравнений — оценка «4», 2-й труднее - «5»). Выберите себе уровень. Давайте вместе выберем способ решения уравнения, установим соответствие.

               1 уровень

1. = 1 — х                          - возведение обеих частей уравнения в одну и

                                                       ту же степень;

2. 2—= 1                       - метод введения новых переменных;

3. =               - переход к равносильной системе;

4. = х — 1                         - функционально-графический метод;

5. += 3                       - выделение полного квадрата;

6.  (х2 + 4х)= 0                     - разложение на множители.            

               2 уровень

1. = х2 — 4х + 2                 - возведение обеих частей уравнения в одну и

                                                        ту же степень;

2. х2 + 3х —= 0          - метод введения новых переменных;

3. =              - переход к равносильной системе;

4. = х2 — 1                         - функционально-графический метод;

5. +=    - выделение полного квадрата;

6.  (х + 5)= 2х + 10       - разложение на множители;

7. = х2 — 36

- Разобрали. У доски решаем уравнения 1, 2, 5, 6, 7 (из обоих уровней)

       8.  Историческая справка

А сейчас небольшая историческая справка (выходит учащийся и рассказывает наизусть):

История иррациональных чисел восходит к удивительному открытию Пифагорийцев ещё в VI веке до н.э. А началось все с простого, казалось бы, вопроса — каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1?

Пифагорийцы доказали, что — нельзя выразить отношением некоторых целых чисел m и n. — по их мнению вообще не было числом. Открыв новый математический объект они пришли в полное замешательство. В основе всеобщей гармонии мира, считали они, должны лежать целые числа и их отношения. Никаких других чисел они не знали. И вдруг эта гармония рушится — существуют величины, которые отношением целых чисел, в принципе — не являются.

В переводе с латыни «irrationalis» - «неразумный». Любопытно, что в средневековой Европе наряду с «irrationalis» в ходу был ещё и другой термин «surdus» - «глухой» или «немой». Судя по такому названию, математикам средневековья иррациональные числа представлялись чем-то настолько «неразумным», что «ни сказать, ни выслушать». Удивление и досада, с которыми древние математики в начале восприняли иррациональные числа, впоследствии сменились интересом и пристальным вниманием к новым математическим объектам.

Ну а в наше время необходимость изучения решения иррациональных уравнений очевидна. Иррациональным уравнением выражаются формулы, описывающие многие физические процессы:

• равноускоренное движение;
• 1 и 2 космические скорости;
• среднее значение скорости теплового движения молекул;
• период радиоактивного полураспада и другие.

                  9.  Разбор нового метода — метода оценки (ученик выступает с презентацией)

                      Рассмотрим специальный метод решения иррациональных уравнений. Так называемый метод оценки.

    = -х3 + 2х2 + 4х — 8

ОДЗ;

т. е. = 0

        Ответ: -2; 2.

                     10.  Домашнее задание: №423 (б,г), 425 (б,г), остальные уравнения из карточки.

                     11.  Оценки

                     12.  Итоги урока