Методы решения тригонометрических уравнений. Опорный конспект
учебно-методический материал по алгебре (10 класс)

Методы решения тригонометрических уравнений.

I. Простейшие тригонометрические  уравнения .

        sinx = а,  аЄ[-1; 1]

        x = (-1)n arcsin a + πn, nЄZ

        cos = a, aЄ[-1; 1]

        x= ± arcos a + 2πn, nЄZ

        tgx = a                                ctgx = a

        x = arctg a + πn; nЄZ                x = arcctga + πn, nЄZ

Частные случаи

sinx = 0                sinx = 1                        sinx =-1

x =πn, nЄZ                x = π  + 2πn; nЄZ                x = -π  + 2πn; nєz

                              2                                         2

cosx = 0                cosx = 1                        x = π  + 2πn, nєz

II.  Метод замены переменной .

        Одинаковое выражение заменяем новой буквой, приведя тригонометрическое уравнение к алгебраическому (квадратному, дробно- рациональному и др.)                

        Решаем получившееся уравнение. Производим обратную замену, перейдя к исходному  неизвестному.

III. Метод  размышления на множители.

        (х ) ( 0 ) = 0, значит

        (х) = 0  или  (0) = 0.

IV. Однородные уравнения.

        1 типа.        Asinx + bcosx = 0 /: cosx #0. если cosx=0, то asinx = 0.

                        (a,b – числа)

1 степени            atgx + b = 0                                sinx = 0  - противоречит  

                        Tgx = - d                                                sin2x+cos2x = 1.

                                   а

2 степени                asin2x + bcosxsinx + ccos2x = 0./: cos2x # 0.

                        (a, b, c – числа)

                        аtg2x + btgx + c = 0.

                        Метод замены переменной.

        Примеры.

I. 1) sinx = - 1

                2.

x = (-1)n arcsin ( -1 ) + πn, nєz.         arcsin (-a) = -arcsina,

                        2                         arcsin (-1 ) = - arcsin  1  = - π

                                                           2                     2             6.

x= (-1)n+1  π  +  πn, nєz.

               6

2) cos 3x = 1  -  частный случай.

        3х = 2πn, nєz.

        x= 2πn; nєz.

               3

3) tg (2x+ π ) = -1,  пусть t = 2x + π

               4                                     4.

    tg t= -1.

   t = arctg (-1) + πn,   nєz. т.к. arctg (-a) = - arctga.

   T = -  π  + πn,   nєz.                arctg(-1) = -arctg1 =  - π.

           4                                                               4

2x + π  =  -π + πn,   nєz.

4. 4

2x =  -π  =  -π + πn,   nєz.

   4       4

2x =  -π     + πn,   nєz.

   4    

 x =  - π + πn,   nєz.

   4      4

II. 1) cos2x – sin2x – xosx = 0

 т.к. sin2x + cos2x = 1, то sin2x = 1 – cos2x

cos2x  - (1 – cos2x) – cosx = 0.

cos2x  -  1 + cos2x  – cosx = 0.

2cos2x  - cos x  – 1  = 0.

Пусть cosx = t, тогда cos2x = t2.  Получим  2t2 – t – 1 = 0.

        t1 = 1

        t2 =  - 1

                 2.

Произведем обратную замену.

III.         1) 2sinx cos5x – cos5x = 0

        cos5x (2sinx – 1) = 0

        cos5x = 0                если        2sinx – 1 = 0

5x = π  +  πn,   nєz.                sinx =  1

2. 2.

x = π  +  πn;  nєz.                        x = (-1)n arcsin  1   +  πn,   nєz.

       2       5                                                      2

                                        x= (-1)n π   + πn,   nєz.

                                                   6

Ответ:  π  + πn,   nєz;                (-1)n π +  πn,   nєz.

          10        5                                6

IV. 1) 1 типа, 1 степени

        sinx + cosx = 0 /: cosx ≠0

        tgx + 1 = 0

        tgx = -1

        x= arctg (-1) + πn, nєz.

        x = - π  + πn, nєz.

                 4

Ответ: - π  + πn, nєz.

            4

        2) 1 типа, 2 степени

        sin2x – 3sinxcosx +  2 cos2x = 0 /: cos2x ≠0.

tg2x – 3tgx + 2 = 0

Пусть  tgx = t, тогда

t2 – 3t + 2 = 0

t1  = 1, t2 = 2

Обратная замена : t = tgx, тогда

tx = 1                                        tgx = 2

x = arctg1 + πn, nєz                x = arctg2 + πn, nєz.

        x =   π  + πn, nєz.

                 4

Ответ:  π  + πn, nєz ;        arctg2 + πn, nєz.

                     4

3) 2 типа

        3sinx + 4cosx = 5.                Перейдем к половинному аргументу

        3sin(2 ∙  x ) + 4cos( 2∙ x ) = 5(sin2 x   + cos2 x )

                   2                      2                    2                  2.

         6sin x  cos x   + 4(cos2 x   -  sin2 x   – 5sin2 x   - 5cos2 x  = 0

                2        2                      2                  2                 2              2

         6sin x  cos x   - cos2 x   - 9 sin2 x    = 0  /: cos2 x   ≠ 0

                2        2                    2                2                     2.

Получили   однородное уравнение 2 типа, 2 степени.

        6tg  x  - 1 – 9tg2 x  = 0   пусть  tg  x  = t, тогда

               2                   2                             2

9t2 – 6t + 1 = 0

(3t – 1)2 = 0

3t – 1 = 0

t =  1

      3.

Обратная замена  t = tg x

                                  2

tg x  = 1

    2     3

x =  arctg 1  +  πn, nєz.

2              3

x = 2arctg 1   + πn, nєz.

                3

V. sin5x + cos3x = 0.

По формулам приведения

cosL = sin (π  - L),   поэтому

                  2

cos3x = sin (π – 3x).

                2

 sin5x + sin (π – 3x) = 0.

                2

2sin 1 (5x + π  - 3x) cos 1  (5x – π  + 3x) = 0 /: 2

       2                2                2          2

sin (x + π ) cos (4x – π ) = 0

           4                    4

sin (x + π ) = 0                  или  cos (4x – π ) = 0

3. 4

x + π  = πn                                4x – π =  π  + πn,

     4                                                 4     2

x = πn – π, nєz                        4x = π  + π  + πn

               4                                        2              4

                                        4x = 3π + πn,

                                                4

                                        x = 3π + πn

                                             16             4

Ответ: πn – x ;  nєz;  3n + πn, , nєz.

                4             16             4