Урок"Методы решения тригонометрических уравнений"
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Тема: Методы решения тригонометрических уравнений.

Цели: Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений;

             Содействовать развитию математического мышления учащихся;

              Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.

Ход урока:

1. Проверка домашнего задания:

а) Поменяться домашними тестами с соседом по парте и проверить работы, глядя на доску (слайд1)

б) Приготовить карточки с уравнениями, где вы должны были дома определить методы решения этих уравнений и устно объяснить свой выбор.(слайд 2)

1. sin  - cos 6x = 2;

2.  sin x = 4sin2x cosx 

3. sinx - . sin2x= sin2x

4. 5 sinx – 2 cosx = 1

5. sin3x cos2x = 1

6. cos2x = (cos x – sin x)

7. 1 – sin2x = cos x – sin x

8. cos3x = sin x

9. 4 – cos2x = 4 sin x

10. sin3x – sin5x = 0

11. tg3x tg(5x + ) = 1

12. 2 tg - cos x = 2

Методы решения тригонометрических уравнений:

1.Разложение на множители.

2.Введение новой переменной:

а)   сведение к квадратному;

б)   универсальная подстановка;

в)   введение вспомогательного аргумента.

3.   Сведение к однородному уравнению.

4.   Использование свойств функций, входящих в уравнение:

      а) обращение к условию равенства тригонометрических функций;

      б) использование свойства ограниченности функции.

2. Устная работа:

а) 1. Какие методы решения тригонометрических уравнений вы знаете?

2. Определите и ответьте,  какими методами нужно решать данные тригонометрические уравнения?  

                              а)   sin 2x – cos x = 0,

                              б)    2sin²x - 5sinx = -3,

                              в)    cos²x – sin²x =  sinx – cosx,

                              г)    sin2 x – 3sinx cosx + 2cos²x = 0. (по 1 человеку у доски)

б) 3. Какие основные формулы решения простейших тригонометрических уравнений вы знаете?

4. Определите и ответьте, какое уравнение имеет данное множество решений? (найти соответствие)

      1.     x =  (-1) arcsinα + πn, n∈z

2.     x  =  arctgα +π n, n∈ z

3.     x =  arcсosα+2πn, n∈ z

4.     x = π +2πn, n∈z        

5.     x  = +2πn, n∈ z

6.     x=  πn,   n∈z

7.     x = 2πn, n∈z

8.     x = -  +2πn, n∈z

9.     x =  +πn,   n∈z

(1.sin x = а, 2.tg х = а, 3.соs x = a, 4.cos x = -1, 5.sin x = 1, 6.sin x = 0, 7.соs x = 1, 8.sin x = -1, 9.соs x = 0)

5. Решите простейшие тригонометрические уравнения:

( а) x = +2πn, n∈z;  б) x = π + 2πn, n∈z;  в)  x = +2πn, n∈z; г) нет решений; д) x = arctg 2 +  n, n∈z.)

3. Решение уравнений:

      Тригонометрическими называются уравнения, которые содержат переменную под знаком тригонометрической функции. Уравнения sin x = х; tg3x = 2х +1 и так далее не являются тригонометрическими, они относятся к типу трансцендентных уравнений и, как правило, решаются приближенно или графически. Возьмите карточки в клеточку и решите уравнение sin x = х (х = 0)

Может случится так, что уравнение не является тригонометрическим согласно определению, однако оно может быть сведено к тригонометрическому. Например, 2(х-6) cos 2x = x-6, (x-6) (2cos 2x – 1) =0, x = 6  или  x = + πn, n ∈Z. Решить тригонометрическое уравнение – значит найти все его корни – все значения неизвестного, удовлетворяющие уравнению. Для решения различных видов тригонометрических уравнений необходимо уметь решать простейшие тригонометрические уравнения, знать тригонометрические формулы и определять нужный метод решения для данного вида тригонометрического уравнения.

1. Решим уравнение №1.   sin  - cos 6x = 2. (1 ученик у доски)

 Решим методом использования свойства ограниченности функции.

Суть этого метода заключается в следующем: если функции f(х) и g(х) таковы, что для всех х выполняются неравенства  f(х)а и g(х) в, и дано уравнение

f(х) + g(х) = а + в, то оно равносильно системе

Так как  и , то имеем систему: ; ;  

.

Покажем общее решение на тригонометрической окружности. Решение первого уравнения системы обозначим , а второго – точкой и найдем их общее решение.

Ответ: + 6πm, m.

Трое учеников решают уравнения №10, №8, №11 на доске, остальные учащиеся решают любой из этих номеров.

2.Решим уравнение №10.   sin 3x – sin 5x = 0.

При решении уравнений, сводящихся к равенству одной тригонометрической функции от различных аргументов можно применить метод использования условий равенства одноименных тригонометрических функций. Равенство этих функций имеет место тогда и только тогда, когда, соответственно, x = (-1)n y +πn, x =  ,    x = y + .

На основании условий равенства двух синусов имеем:

,

Ответ: x = πk,k∈Z; x = (2n+1),n∈Z.

 3. Решим уравнение №8.    cos 3x = sin x.

Используя формулы приведения, получим

cos 3x = cos ( - x). Воспользуемся равенством косинусов двух углов, имеем:

Ответ: x = (4n+1) , nZ, x = (4k-1) ,kZ.

4. Решим уравнение №11.     tg 3x tg (5x + ) = 1.

Разделим обе части уравнения на tg 3x. Это допустимо, так как в данных условиях tg 3x не может равняться нулю:

 tg (5x + ) = , tg (5x + ) = сtg 3x, tg (5x + ) = tg ( - 3x).

На основании условия равенства тангенсов двух углов имеем:

5x + -  + 3x = πn;

8х =  + πn; х = + ; х = (6n + 1) , nZ.

При каждом значении х из этой совокупности каждая из частей уравнения  tg (5x + ) = tg ( - 3x) существует.

Уравнения  sin x =  sin у и  cos x = cos у можно решать и с применением формул, заменив разность функций произведением.

5. Уравнения вида a sinx + b cosx = c (a, b, c 0).

Если а=в=0, а с не равно 0, то уравнение теряет смысл;

Если а=в=с=0, то х – любое действительное число, то есть уравнение обращается в тождество.

Рассмотрим случаи, когда а,в,с не равны 0.

                            sin x + 4 cos x = 1,

        3 sin 5x - 4 cos 5x = 2,

                            2 sin 3x + 5 cos 3x = 8.

Последнее уравнение не имеет решений, так как левая часть его не превосходит 7. Уравнения, этого вида можно решить многими способами: с помощью универсальной подстановки, выразив sin x и cos x через tg ; сведением уравнения к однородному; введением вспомогательного аргумента и другими.

Решение этих уравнений существует при  a2 + b2  c2 .

6. Решить уравнение  sin x + cos x = 1 введением вспомогательного аргумента.

Разделим обе части уравнения на  = , получим sin x + cos x = ,  cos sinx + sin cos x = , sin(x + ) = ,  x +  = (-1)n arcsin+ πn, n∈z,  x = (-1)n -  + πn, n∈z.

Ответ: x = (-1)n -  + πn, n∈z.

Какими еще методами можно решать данное уравнение?

( Сведением к     однородному уравнению, выразив  sin x, cos x и 1 через функции половинного аргумента; с использованием универсальной подстановки, выразив   sin x и cos x через tg , sin x =  ,  cos x = .  ()

Обращение к функции tg  предполагает, что cos, то есть x≠ π± 2πn, n∈z и другими)

Рассмотреть решение уравнения 2 sin x + cos x = 2   на слайдах (14 и15) сведением к однородному уравнению и введением вспомогательного аргумента.

Решить уравнение самостоятельно      

Проверим с помощью следующего слайда (16 – 17).

7. Самостоятельная работа:

1 в. №6, №2.  (№6: x=(4n+1)  , x = (8k+1) n,kZ; №2: x= (2m+1) π, x= (-1)n + , m,nZ.

2в. №7, №3.  (№7: x= (4n+1) , x = ,n,k∈ Z; №3: х=2πk, x = (-1)n + πn, n,kZ.

Дополнительно: Решить уравнение  sin x + cos x = 1 разными способами .

Итоги урока: При решении тригонометрических уравнений могут возникнуть некоторые проблемы.

Например: При решении уравнения cos2 x + sin x cos x = 0  делить на соs x нельзя, так как в условии не указано, что  соs x≠ 0. Но можно утверждать, что        sin x ≠ 0, так как в противном случае соs x = 0, что невозможно по основному тригонометрическому тождеству. Значит можно решать либо делением на sin2 x, либо разложением на множители.

 Потеря корней, лишние корни.

1.Потеря корней:  

1. Делим на g(х).
2. Опасные формулы (универсальная подстановка).

Этими операциями мы сужаем область определения.

2. Лишние корни:    

1. Возводим в четную степень.
2. Умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя).

Этими операциями мы расширяем область определения.

      Нужна ли проверка решения тригонометрического уравнения? На этот вопрос утвердительно ответить нельзя. Если тригонометрическое уравнение представляет собой целый многочлен относительно синуса и косинуса и если грамотно решать уравнение, то проверка может понадобится только для самоконтроля – для уверенности в правильности решения. Проверка, как правило, не нужна. Если следить в процессе решения уравнения за равносильностью перехода, то проверку решения можно не делать. Если же решать уравнение без учета равносильности перехода, то проверка обязательно нужна, особенно когда уравнение содержит тангенс, котангенс, дробные члены или тригонометрические функции от неизвестного, входящие под знак радикала. Не сделав в этом случае проверку, приходят к грубым ошибкам, к посторонним решениям. При решении уравнений, содержащих дробные члены, нужно следить за сокращением дробей, ссылаясь на основное свойство дроби. В этом случае мы избегаем посторонних корней и избавляем себя от проверки найденных решений.

Домашнее задание: Решить уравнения №4 (несколькими способами), №5,№9.