Конспект и презентация урока алгебры в 10 классе по теме "Общие методы решения тригонометрических уравнений"
методическая разработка по алгебре (10,11 класс) на тему

Муниципальное  общеобразовательное учреждение

Малоибряйкинская основная  общеобразовательная школа

Похвистневского района  Самарской области

Методическая разработка урока

по алгебре и началам анализа

«Общие методы решения тригонометрических уравнений»

для учащихся 10-11 классов

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Автор разработки: учитель математики  Бурякова Вера Николаевна

Самарская область

2011 год

Цели урока:

Образовательные:  

- актуализировать знания учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений» и обеспечить их применение при решении задач вариантов ЕГЭ;

- рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;

- закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;

- познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

Развивающие: 

- содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

- формировать и  развивать  общеучебные  умения и навыки:  обобщение, поиск способов решения;

- отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора  задания, соответствующего их уровню развития.

Воспитательные: 

-     вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;

- способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

Продолжительность урока: 2 часа

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Оборудование:  компьютер и мультимедийный проектор.

Структура урока:

1. Вводно-мотивационная часть.

1.1. Организационный момент.

1.2. Устная работа.

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

3.2. Информация о домашнем задании.

3.3. Подведение итогов урока.

Ход урока.

1. Вводно-мотивационная часть

 1.1.Организационный момент.

Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.

Содержание этапа:

1. Приветствие.

Учитель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок обобщения по теме  «Общие методы решения тригонометрических уравнений». Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ.

2. Проверка готовности учащихся к уроку.

Учитель: Ребята, кто сегодня отсутствует? Все готовы к уроку? Итак, внимание. Начинаем!

3. Озвучивание целей урока и  плана его проведения.

Учитель: Тема нашего урока – решение тригонометрических уравнений. Я думаю, вам будет интересно на уроке.

Цель урока сегодня - рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения, кроме того,  познакомить с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

В начале урока мы вспомним решение линейных и квадратных уравнений, основные формулы тригонометрии.

Далее работа будет чередоваться: мы повторим числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомним формулы решения простейших тригонометрических уравнений.  Решим тригонометрические уравнения по известным алгоритмам, однородные тригонометрические уравнения,  уравнения вида

A sinx + В cosx = С. После каждого блока заданий проводим  разноуровневые проверочные работы, задания которых вы будете выбирать самостоятельно, учитывая свои знания,  умения и навыки. Проверяем решения, и вы выставляете себе оценку за каждый вид заданий.  

После чего познакомимся  с решением симметричных тригонометрических уравнений, решением тригонометрических уравнений путем разложения на множители и методом оценки левой и правой частей. Обсудим полученные результаты работы на уроке,  оценим  индивидуальную работу. Затем  получите инструктаж по выполнению домашнего задания и подведем итоги урока. Согласны с таким планом работы? Хорошо!  Итак, приступаем.

1.2. Устная работа.

Задачи этапа: актуализировать знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.

Содержание этапа:

Учитель:  Первое задание для устной работы -  решите уравнения:

 На экране проецируется задание, затем  появляются ответы

Учитель: Второе задание – используя основные формулы тригонометрии, упростите выражение:

На экране проецируется задание, затем появляются ответы

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

Задачи этапа: обеспечивать развитие у учащихся общеучебных умений и навыков: умение анализировать, синтезировать, сравнивать, обобщать, поиск способов решения, отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора разноуровневого задания.

Содержание этапа:

Учитель:  Ребята, давайте вспомним свойства четности и нечетности тригонометрических функций, значения тригонометрических функций для различных углов поворота, применение формул приведения

Учащиеся формулируют свойства четности и нечетности, правило применения формул приведения, называют значения тригонометрических функций для различных углов поворота.

Учитель: А теперь выполним самостоятельную работу. Работа предлагается в 2 вариантах, после чего проверим правильность ее выполнения.

Найдите значения тригонометрических выражений:

На экране проецируется задание.

Учитель:  Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:  

На экране проецируются ответы

Учитель:  А теперь вспомним определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Учащиеся дают определения обратных тригонометрических функций, обращая внимание на область определения и множество значений.

Учитель:  Выполняем следующую работу также самостоятельно.  Вычислите:

На экране проецируется задание.

Учитель:  Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:                                                                                    

  На экране проецируются ответы

Учитель:  Ребята, а теперь перейдем к решению простейших тригонометрических уравнений. Напомните, пожалуйста, формулы решения уравнений вида sinx =а,  cosx = а, tg х=а.

Учащиеся называют формулы решения уравнений

Учитель: Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений.

 А) Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.

 а) тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:

A sin2 х + В sin х + С =0 или

A sin2 х + В cos х + С =0

Решим уравнение:

sin2 х + 5 sin х - 6 =0.

Учащиеся решают уравнение,  вводят замену sin х = z, решая квадратное уравнение

 z2 + 5 z - 6 = 0, находят z1  = 1; z2  = -6

Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х =  π/2  +2 π k, k Z.

Уравнение sin х = - 6 не имеет решения, так как  -6 не принадлежит  Е ( sin х ),

                                                                         т.е.   -6  не принадлежит  [-1; 1]

Учитель: При решении  уравнения вида A sin2 х + В cos х + С =0 вводим замену sin2 х  = 1 - cos2 х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.

Решите уравнение    2 sin2 х + 3 cos х -3 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin2 х  = 1 - cos2 х, получили        

   2 (1 - cos2 х) +3 cos х -3 =0.

 - 2 cos2 х + 3 cos х - 1 = 0   | (-1)

    2 cos2 х  - 3 cos х  + 1 = 0  

 Замена cos х= t

Решая квадратное уравнение 2 t 2 - 3t +1 = 0,

 находят t1  = 1; t2  = 0,5

Решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 π k, k   Z.

Решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида  х =  ± arccos 0,5+ 2π n,  n   Z.

Учитель:  А теперь  выберите одно из предложенных уравнений и самостоятельно решите его.

 На экране проецируется задание.

Учитель:   Ребята, проверьте свое решение с  ответами

На экране проецируются ответы

Физкультминутка.

Учитель:  Ребята, а сейчас давайте немного отдохнем. Для этого я предлагаю выполнить несколько упражнений.

Упражнение 1 Цель этого упражнения - устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в течение длительного периода времени и профилактика грыжи межпозвоночных дисков поясничного отдела.

• В положении стоя положите руки на бедра.
• Медленно отклоняйтесь назад, глядя на небо или в потолок.
• Вернитесь в исходное положение.

Повторите 10 раз.

Упражнение 2 Цель - укрепление мышц задней стороны шеи для улучшения осанки и предотвращения болей в области шеи.

Поза: сидя или стоя

Смотрите прямо перед собой, а не вверх и не вниз.

Надавите указательным пальцем на подбородок.

Сделайте движение шеей назад.

Совет: совершая это движение, продолжайте смотреть прямо перед собой, не смотрите вверх или вниз. Для этого представьте, что кто-то, стоящий позади вас, тянет за нить, проходящую через ваш подбородок. Оставайтесь в этом положении в течение 5 секунд.
Повторите 10 раз.

Учитель:  Ну вот, немного отдохнули, теперь продолжим вспоминать основные методы решения тригонометрических уравнений.

б) однородные тригонометрические уравнения.

Рассмотрим самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени:                               A sin x+ B cos x = 0. Разделив обе части уравнения на  cos x ≠ 0, получим уравнение вида  tg x = С.

Решите уравнение  2 sin x+ 3 cos x = 0.

Учащиеся решают уравнение.

2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0

2 tg x + 3 =0

tg x = -1,5

х= arctg (-1,5) + πk,  k Z  или  х = - arctg 1,5 + πk,  k   Z

Учитель:   Теперь рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение второго порядка: А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = 0. Разделив обе части уравнения на  cos2 x ≠ 0, получим уравнение вида  А tg 2x + В tg x + С = 0. Такого вида уравнения мы уже рассматривали.

Решите  уравнение 2 sin2 х  - 3 sinх  cos х - 5 cos2х =0  

Учащиеся решают уравнение  2 sin2 х  - 3 sinх  cos х - 5 cos2х =0

                           2 sin2 х  - 3 sinх  cos х - 5 cos2х =0  | : cos2х ≠ 0

                           2 tg 2x - 3 tg x - 5 = 0

      замена    tg x = t

                             2 t2 – 3 t – 5 =0

                              t1  = -1;  t2  = 2,5

Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = -π/2 + πk , k   Z.

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида  х = arctg 2,5+ πn,  n  Z.

Учитель: К  однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.

Рассмотрим уравнение: А sin2 х  + В sinх  cos х + С  cos2х = D, преобразуем данное уравнение А sin2 х  + В sinх  cos х + С  cos2х =D (sin2 х  +   cos2х)

или           (А –D) sin2 х  + В sinх cos х + (С-D)  cos2х =0.

Уравнение A sin x+ B cos x = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

      A sin x+ B cos x = С

       A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2)  = С

       2 A sin(x/2)  cos(x/2)   + В (cos2(x/2)  - sin2(x/2)  )= С (sin2(x/2)   +   cos2(x/2)).  А теперь  выберите два уравнения и   самостоятельно решите их.

 На экране проецируется задание.

Учитель:   Ребята, проверьте свое решение с  ответами.

На экране проецируются ответы

Учитель:  Продолжим рассмотрение  основных методов решения тригонометрических уравнений.

 Б) различные  алгоритмы решения уравнений вида  A sin x+ B cos x = С

  1) переход к половинному аргументу мы рассмотрели ранее.

  2) использование универсальной подстановки

                       2 tg x/2                                     1 - tg2 x/2

          sinх = -------------------      ,  cos х =  -----------------------

                     1 + tg2 x/2                                 1 + tg2 x/2

 3) введение вспомогательного угла

         A sin x+ B cos x = С | :    √A2 + B2 ≠ 0

             A      sin x  +            В         cos x  =       С      .

      √A2 + B2                     √A2 + B2                          √A2 + B2

 Если         A     = cos β, то          A     = sin β, получим

           √A2 + B2                          √A2 + B2                     

cos β · sin x  + sin β · cos x  =      С    , откуда sin (x + β) =        С        или

                                                 √A2 + B2                                          √A2 + B2                        

 x = (-1)k arcsin     С         - β + πk,   k   Z.

                        √A2 + B2                                         

 А теперь попробуйте решить  уравнение  √3  sin x +  cos x = 1 одним из предложенных способов.

Учащиеся решают уравнение, консультируются у учителя в случае возникновения затруднений.

Учитель:  А теперь сверьте свои ответы с  ответами соседа. Сверили. Молодцы! А сейчас выполним самостоятельную работу следующего характера. Решите  тригонометрическое уравнение вида  A sin x+ B cos x = С рассмотренными способами.

На экране проецируется задание.

На экране проецируются ответы

2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

Задачи этапа: организовать деятельность учащихся по применению знаний, умений и навыков при решении тригонометрических уравнений незнакомыми способами.

Содержание этапа:

Учитель: А сейчас познакомимся  с решением тригонометрических уравнений новыми способами:

А) введением нетрадиционной замены при решении симметричных тригонометрических уравнений

Введем понятие симметричного уравнения

Пусть R (х; у) – выражение, которое рационально зависит от х и у. Такое выражение называют симметричным, если R (х; у) =  R (у; х).

Рассмотрим уравнение  4 sin х  - 6 sinх  cos х + 4  cosх + 1 = 0 ,

т.к. (sin x + cos x)2 = 1 + 2 sin x  cos x, то  sinx ·cos x =  (sin x + cos x)2 - 1   , получим

                                                                                                        2

4 sin х  + 4  cosх -  6   (sin x + cos x)2 - 1   + 1 = 0 ,

                                               2

4 sin х  + 4  cosх  -  3  ( (sin x + cos x)2 – 1) + 1  = 0 ,

Введем обозначение  t = sin x + cos x, получим

4 t – 3 (t2 -1) + 1  = 0

– 3 t2  + 4 t + 4 = 0

3 t2  - 4 t - 4 = 0 . Решая квадратное уравнение, найдем t 1   =  2, t 2  = -2/3, после чего переходим к решению уравнений sin х  +  cosх    = 2   и   sin х  +   cosх  = -2/3

Б) методом разложения на множители.

Вспомним использование данного метода при решении известного вида уравнений:

sin х  +  sin 3 х  + sin 5 х = 0

 сгруппируем слагаемые:

  (sin х  +  sin 5 х)  + sin 3 х   = 0

2 sin  3х  cos 2х  +  sin  3х  = 0

sin  3х   ( 2 cos 2х + 1 ) = 0

переходим к решению простейших тригонометрических уравнений:

sin  3х  = 0     или      2 cos 2х + 1 = 0

                                   cos 2х  = - 1/2

Рассмотрим более сложное уравнение, решаемое методом разложения на множители:

4 sin 3 х  + 3 sin  х  - 7 = 0.

Легко можно заметить, что 4 + 3 = 7 или   4 ·1 3   + 3 · 1  - 7 = 0.

Выполним преобразование

4 sin 3 х  + 3 sin  х   - 7 – (4 · 1 3   + 3 · 1   - 7 ) = 0

или  4 ( sin 3 х  - 1 )  + 3 ( sin  х  - 1 )  = 0 .

Разложим на множители:   4 ( sin  х  - 1 )  ( sin 2 х   + sin  х  +1 ) + 3 ( sin  х  - 1 ) =0

                                                ( sin  х  - 1 )   ( 4 ( sin 2 х   + sin  х  + 1) + 3 ) = 0

                                                ( sin  х  - 1 )   ( 4  sin 2 х   + 4  sin  х  + 4 + 3 ) = 0

                                                ( sin  х  - 1 )   ( 4  sin 2 х   + 4  sin  х  + 7 ) = 0, откуда

                                                   sin  х  - 1  = 0            или           4  sin 2 х   +4  sin  х  + 7  = 0

                                                 х = π/2 + 2пk,  k  Z                           решений нет

В) методом оценки левой и правой частей.

Рассмотрим уравнение sin x/4   + 2 cos (x- 2 π)/3   = 3

Вспомним, что            – 1 ≤ sin     ≤ 1

                                – 2 ≤  2 cos  (x-2 π)/3  ≤ 2

                           -----------------------------------

                          – 3 ≤  sin x/4  +  2 cos(x-2 π)/3  ≤ 3.

 Исходное уравнение будет иметь решение тогда  и только тогда, когда одновременно выполняются равенства:

sin  x/4    = 1  и   2 cos (x-2 π)/3 = 2  или

sin  x/4    = 1  

cos (x-2 π)/3 = 1  .   Решая уравнение sin x/4    = 1 , получим х = 2 π+ 8πn,   n   Z.

                                 Решая уравнение cos (x-2 π)/3 = 1 , имеем  (x-2 π)/3 = (2 π+ 8πn - 2 π)/3. Или (x-2 π)/3 = 8πn /3. Итак, cos 8πn /3 = 1.

Это возможно только в тех случаях, когда, n  делится нацело на 3, т.е.  n = 3 k, k   Z.

Значит,  решением исходного уравнения являются числа вида  х = 2 п + 24 п k, k   Z.

3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

Задачи этапа: дать качественную оценку работы каждого ученика по выполнению самостоятельной работы.

Содержание этапа:

Учитель: А теперь вы оцените свою работу на уроке.  Вы  самостоятельно выполнили 5  упражнений:

1 – находили значения тригонометрических функций;

2 – находили значения обратных тригонометрических функций;

3 – решение уравнений по известным алгоритмам;

4 – решение однородных тригонометрических уравнений;

5 – решение уравнений вида a sinx+b cosx = c

Найдите среднее арифметическое всех выставленных оценок, округлите результат,  и эти оценки я вам выставляю в журнал.  

3.2. Информация о домашнем задании.

Задачи этапа: сообщить  учащимся о домашнем задании, обеспечить понимание цели, содержания и способов решения.

Содержание этапа:

Учитель: Для закрепления навыков решения тригонометрических уравнений новыми способами я предлагаю вам выполнить домашнее задание следующего содержания:

1.  введением нетрадиционной замены решите  симметричное тригонометрическое уравнение   cos6х  + sin6 х   = 16 sin2 х  cos2х ;

2. выражение sin3 х  + 3 sin х  - 4 разложить на множители различными способами;

3. методом разложения на множители решите тригонометрическое уравнение

sin3 х  + 3 sin х  - 4 = 0

4.  методом оценки левой и правой частей решите тригонометрическое уравнение

2 (  сosх  + sin х )  + sin 2 х  + 1 = 0

3.3. Подведение итогов урока.

Задачи этапа: вспомнить основные моменты урока, проанализировать усвоение предложенного материала и умение применить полученные знания  в дальнейшем

Содержание этапа:

Учитель: Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

- Что нового узнали на уроке?

- Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

- Испытывали ли вы затруднения при выборе самостоятельной работы?

- Какие из способов решения тригонометрических уравнений  из рассмотренных оказались наиболее трудными?

- Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?

- Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?

Учитель: Дорогое ребята! Спасибо вам за работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Благодарю вас за помощь в проведении урока. Надеюсь на дальнейшее сотрудничество. Урок окончен. До свидания!

 Список литература:

1. Ананьев Ю.А., Дворянинов С.В., Неценко Ю. Н. «Экзаменационные задачи по алгебре и началам анализа за курс средней школы». Самара, СОИПКПРО, 1993
2. Блошкин Б.Ф. «Самостоятельные и контрольные работы по математике 9-10 классы».  М., Просвещение 1969
3. Богомолов И.В., Сергиенко Л.Ю. «Сборник дидактических заданий по математике. М., Высшая школа, 1986
4. Зильберберг Н.И. «Алгебра и начала анализа в 10 классе» (для углубленного изучения математики) Псков, ПОИПКРО, 1994
5. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. «Контрольные и проверочные работы по алгебре 10-11 классы» М., Дрофа, 2001
6.  Ивлев Б.М. «Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа». М., Просвещение, 1990
7. Ивлев Б.М., Саакян  С.М., Шварцбурд С.И. «Дидактические материалы по алгебре и началам анализа. 10 класс». М., Просвещение, 1997
8. Кононов А.Я. «Устные занятия по математике в старших классах» М., Столетие, 1997
9. Краснова Л.Г., Матвеева Е.Д., Степанова М.И. «Сборник контрольных заданий» Чувашия, РИПКРНО, 1983
10. Мордкович А.Г. «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» М., Мнемозина, 2001
11. Самусенко А.В. «Математика: типичные ошибки  абитуриентов» Минск, Высшая школа, 1995
12. Щукина В. «Репетитор. Математика. Физика» М., НПО Перспектива, 1993
13. http://www.falto.ru/article/article4_1.html